1、【导数】 （1）（u v） u v （2）（u v） uv u v （记忆方法：u v u v ，分别在“u”上、“v”上加） （3）（c u） c u（把常数提前） uv u v （4） （ v 0 ） v 【关于微分】 左边：d 打头 右边：dx 置后 再去掉导数符号即可 【微分】 设函数u（x），v（x）皆可微，则有： （1）d（u v） du dv （2）d（u v） duv udv duv udv （3）d （ v 0 ） v（5）复合函数（由外至里的“链式法则”） dy f（u）（x） dx 其中 y f（u），u （x） （6）反函数的导数： 1 f（y） f（x） 其中， f（
2、x） 0【导数】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的导数： （c） 0 （2）x 的 次幂： 【】 【 1】 （3）指数类： 【x】 【x】 lna （其中 a 0 ，a 1） 【x】 【x】 （4）对数类： 1 1 log log （其中 a 0 ，a 1） a x a xlna 1 （lnx） x （5）正弦余弦类： （sinx） cosx （cosx） sinx 【微分】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的微分： dC 0 （2）x 的 次幂： 【】 【 1】 d dx （3）指数类： 【x】 【x】 d lnadx （其中 a 0 ，a 1） 【x】 【x】 d dx （4）对
3、数类： 1 1 dlog log dx （其中 a 0 ，a 1） a x a xlna 1 dlnx dx x （5）正弦余弦类： dsinx cosxdx dcosx sinxdx【导数】 （6）其他三角函数： 1 （tanx） secx cosx 1 （cotx） cscx sinx （secx） secxtanx （cscx） cscxcotx （7）反三角函数： （arcsinx） （1 x 1） / 1x （arccosx） （1 x 1） / 1x （arctanx） 1x （arccotx） 1x 【微分】 （6）其他三角函数： 1 dtanx secxdx cosx 1 dc
4、otx cscxdx sinx dsecx secxtanxdx dcscx cscxcotx dx （7）反三角函数： darcsinx dx （1 x 1） / 1x darccosx dx （1 x 1） / 1x darctanx dx 1x darccotx dx 1x导数的应用（一） 中值定理 特殊形式 【拉格朗日中值定理】【罗尔定理】 【拉格朗日中值定理】 如果函数 y f（x）满足： （1）在闭区间a ，b上连续； （2）在开区间（a ，b）上可导。 则：在（a ，b）内至少存在一点 （ a b ），使得 f（b） f（a） f（） b a 【罗尔定理】 如果函数 y f（x）
5、满足： （1）在闭区间a ，b上连续； （2）在开区间（a ，b）上可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f（a） f（b）。 则：在（a ，b）内至少存在一点 （ a b ），使得 f（）0。 导数的应用（二） 求单调性、极值（辅助作图） 【单调性】 （1）如果 x （a ，b）时，恒有 f（x） 0 ， 则 f（x）在（a ，b）内单调增加； （2）如果 x （a ，b）时，恒有 f（x） 0 ， 则 f（x）在（a ，b）内单调减少。 【极值】 若函数 f（x）在点 x处可导，且 f（x）在 x处取得 极值，则 f（x） 0 。 导数的应用（三） 曲线的凹向与拐点（辅助作图 ） 【凹
6、向】 设函数 y f（x）在区间（a ，b）内具有二阶导数， （1）若当 x（a ，b）时，恒有 f（x） 0 ， 则曲线 y f（x）在区间（a ，b）内上凹； （2）若当 x（a ，b）时，恒有 f（x） 0 ， 则曲线 y f（x）在区间（a ，b）内下凹。 【拐点】 曲线上凹与下凹的分界点。第一类：常数的积分 0dx C dx x C （1 的积分） kdx kx C 第二类：x 的 次幂的积分 【】 1 【1】 x dx x C （ 1） 1 第三类：倒数的积分 【注意：绝对值】 1 dx ln|x| C （x 0） x 第四类：指数的积分 【x】 1 【x】 a dx a C （a
7、 0 ，a 1） lna 【x】 【x】 e dx e C 第五类：三角函数的积分 sinxdx cosx C cosxdx sinx C tanxdx ln|cosx| C 【选记】 cotxdx ln|sinx| C 【选记】 secxdx tanx C cscxdx cotx C 第六类：结果为反三角函数 1 dx arcsinx C arccosx C / 1x 1 dx arctanx C arccotx C 1xb b f（x）dx F（b） F（a） F| a a导 数 表基 本 函 数 推 到 过 程这 里 将 列 举 几 个 基 本 的 函 数 的 导 数 以 及 它 们 的
8、 推 导 过 程 ： y=c(c 为 常 数 ） y=0 y=xn y=nx(n-1） 3.y=ax y=axlnay=ex y=ex y=logax(a 为 底 数 ， x 为 真 数 ） y=1/x*lna y=lnx y=1/x y=sinx y=cosx y=cosx y=-sinx y=tanx y=1/cos2x y=cotx y=-1/sin2x y=arcsinx y=1/ （ 1-x2） y=arccosx y=-1/ （ 1-x2） y=arctanx y=1/（ 1+x2） y=arccotx y=-1/（ 1+x2） y=uv = y=v * uv * lnu + u
9、* u(v-1） * v 引 用 的 常 用 公 式在 推 导 的 过 程 中 有 这 几 个 常 见 的 公 式 需 要 用 到 ： y=fg(x),y=fg(x)g(x） fg(x)中 g(x） 看 作 整 个 变 量 ，而 g(x） 中 把 x 看 作 变 量 y=u/v,y=（ uv-uv） /v2 y=f(x） 的 反 函 数 是 x=g(y） ， 则 有 y=1/x 编 辑 本 段 推 导 过 程证 ： 1.显 而 易 见 ， y=c 是 一 条 平 行 于 x 轴 的 直 线 ， 所 以 处 处 的 切 线 都 是平 行 于 x 的 ， 故 斜 率 为 0。 用 导 数 的 定
10、义 做 也 是 一 样 的 ： y=c， y=c-c=0,lim x 0 y/ x=0。 这 个 的 推 导 暂 且 不 证 ， 因 为 如 果 根 据 导 数 的 定 义 来 推 导 的 话 就 不 能 推广 到 n 为 任 意 实 数 的 一 般 情 况 。 在 得 到 y=ex y=ex 和 y=lnx y=1/x 这两 个 结 果 后 能 用 复 合 函 数 的 求 导 给 予 证 明 。 y=ax, y=a(x+ x)-ax=ax(a x-1） y/ x=ax(a x-1） / x 如 果 直 接 令 x 0， 是 不 能 导 出 导 函 数 的 ， 必 须 设 一 个 辅 助 的
11、函 数 =a x-1 通 过 换 元 进 行 计 算 。 由 设 的 辅 助 函 数 可 以 知 道 ： x=loga（ 1+ ） 。 所 以 （ a x-1） / x= /loga（ 1+ ） =1/loga（ 1+ ） 1/ 显 然 ， 当 x 0 时 ， 也 是 趋 向 于 0 的 。 而 lim 0（ 1+ ）1/ =e， 所 以 lim 01/loga（ 1+ ） 1/ =1/logae=lna。 把 这 个 结 果 代 入 lim x 0 y/ x=lim x 0ax(a x-1） / x 后得 到 lim x 0 y/ x=axlna。 可 以 知 道 ， 当 a=e 时 有 y
12、=ex y=ex。 y=logax y=loga(x+ x)-logax=loga(x+ x)/x=loga（ 1+ x/x)x/x y/ x=loga（ 1+ x/x)(x/ x)/x 因 为 当 x 0 时 ， x/x 趋 向 于 0 而 x/ x 趋 向 于 ， 所 以 limx 0loga（ 1+ x/x)(x/ x)=logae， 所 以 有 lim x 0 y/ x=logae/x。 可 以 知 道 ， 当 a=e 时 有 y=lnx y=1/x。 这 时 可 以 进 行 y=xn y=nx(n-1） 的 推 导 了 。 因 为 y=xn， 所 以y=eln(xn)=enlnx,
13、所 以 y=enlnx（ nlnx)=xnn/x=nx(n-1） 。 y=sinx y=sin(x+ x)-sinx=2cos(x+ x/2） sin（ x/2） y/ x=2cos(x+ x/2） sin（ x/2） / x=cos(x+ x/2） sin（ x/2） /（ x/2） 所 以 lim x 0 y/ x=lim x 0cos(x+ x/2） lim x 0sin（ x/2） /（ x/2） =cosx 类 似 地 ， 可 以 导 出 y=cosx y=-sinx。 y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-sinx(cos)/cos2x=(cos2x+sin2
14、x)/cos2x=1/cos2x y=cotx=cosx/sinx y=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x y=arcsinx x=siny x=cosy y=1/x=1/cosy=1/ 1-sin2y=1/ 1-x2 y=arccosx x=cosy x=-siny y=1/x=-1/siny=-1/ 1-cos2y=-1/ 1-x2 y=arctanx x=tany x=1/cos2y y=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x2 y=arccotx x=coty x=-1/sin2y y=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2 联 立 ： （ ln(uv)=(v * lnu)
