1、 导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 1 -导数与微分第一节 导数概念教学目标：1理解导数的概念. 2了解 导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系 3.能按导数的定义求导数的方法和函数的可导性判定方法4.会初步运用导数的几何意义讨论函数的切线和法线问题教学重点：导数的概念；函数的可导性与连续性之间的关系教学难点：导数的概念4 学时一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐 标为 s s 是 t的函数 S=f(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 00)(tfts 这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0 内的平均速度 如果时间间隔选较短
2、这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 t0 的速度 但这导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 2 -样做是不精确的 更确地 应当这样 令 t t00 取比值 0)(tf的极限 如果这个极限存在 设为 v 即 0)(lim0tft这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果割线 绕点旋转而趋于极限位置 MT 直线就称 为曲线有点 处的切 线 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)处
3、的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 00)(tanxfxy其中 为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0 时 上式的极限存在 设为 k 即 0)(lim0xfx存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan 其中 是切线 MT 的倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 3 -的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义1 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看
4、出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 0)(lim0xfx令xxx0 则yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0) xx0 相当于x 0 于是 0)(lim0xfx成为 xy0lim或 xff)(li00定义：设函数 yf(x)在点 x0 的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增量x( 点 x0x 仍在该邻域内)时 相应地函数 y 取得增量yf(x0x)f(x0) 如果y 与x 之比当x 0 时的极限存在 则称函数 yf(x)在点 x0 处可导 并称这个极限为函数 yf(x)在点 x0 处的导数 记为 0|xy 即 xffxyf )(limli)( 000也可记
5、为 0|xy 0xd或 0xf 函数 f(x)在点 x0 处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在 导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 4 -导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 hxffxfh)(lim)(00000)(li)(0xffx在实际中 需要 讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限 xffx)(lim00不存在 就说函数 yf(x)在点 x0 处不可导 如果不可导的原因是由于 xffx)(li00 也往往说函数 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 如果函数
6、 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 f(x)在开区间 I 内可 导 这时 对于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数 记作 y )(xf dy 或 xf)( 导函数的定义式 xffyx)(lim0 hxffh)(lim0f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0 处的函数值 即导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 5 -0)(0xfxf导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0 处的导数或导
7、数 f (x)在x0 处的值 左右导数 所列极限存在 则定义f(x)在 0x的左导数 hxffxfh)(lim)(000f(x)在 的右导数fffli如果极限 hxh)(li00存在 则称此极限值为函数在 x0 的左导数如果极限ffh)(lim00存在 则称此极限值为函数在 x0 的右导数导数与左右导数的关系 Axf)(0 Axff)(02求导数举例例 1求函数 f(x)C（C 为 常数）的导数 解 hxffxfh)(lim)(00lih 即(C ) 0 例 2 求 xf1(的导数 解 hxhffxfh 1lim)(li)( 00 2001)(lim)(li xhxhh 例 3 求 xf)(的
8、导数解 hxhffh 00li)(li导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 6 -xhxhxh 21lim)(li00 例 2求函数 f(x)x n (n 为正整数)在 xa 处的导数 解 f (a) axf()li axnlixlim(x n1ax n2 a n1)na n1 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1 即 (x n)nx n1 (C)0 21)(x )( 1)(x更一般地 有(x ) x 1 其中 为常数 例 3求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x) hffh)(lim0hxhsin)si(l0 2sin)co(21lim0hxhhs2i)
9、s(li0 即 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 例 4求函数 f(x)a x(a0 a 1) 的导数 解 f (x) hxffh)(lim0hx0liax1lit令 )1(logimtaaxexalnlog 特别地有(e x )e x 导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 7 -例 5求函数 f(x)log a x (a0 a 1) 的导数 解 hxhffxf ahh log)(lim)(li)( 00 hxahahah xx)1(li)1(logi)(log1im000elnl 解 hxfaah)(li)(0)1(logim0xhax1l
10、ogeln 即 axaln)(l 特殊地 1 axaln)(log x)(l3单侧导数 极限 hxffh)(lim0存在的充分必要条件是ffli及 hxffh)(li0都存在且相等f(x)在 0x处的左导数ffxfh)(lim)(0f(x)在 处的右导数xfffli 导数与左右导数的关系 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)都存在且相等 导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 8 -如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在 就说 f(x)有闭区间a, b上可导 例 6求函
11、数 f(x)x|在 x0 处的导数 解 1|lim)0(li)0( hhfffh |lili00 fff 因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导 四、导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0 处的导 数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率 即f (x 0)tan 其中 是切线的倾角 如果 yf(x)在点 x0 处的导 数为无穷大 这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 xx0 为极限位置 即曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 xx0 由直线的点斜式方程 可知曲线 yf(
12、x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为yy0f (x0)(xx0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲 线 yf(x)在点 M 处的法线如果导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 9 -f (x0)0 法线的斜率为 )(10xf 从而法线方程为)(0fy 例 8 求等边双曲线 xy1在点 )2 ,(处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法线方程 解 21xy 所求切线及法线的斜率分别为4)(211xk 412k所求切线方程为 )(y 即 4xy40 所求法线方程为 214x 即 2x8y150 例 9 求曲线 y的通过点(0 4)的切线方程 解 设切点的横坐标为
13、 x0 则切线的斜率为021303)(0xxxf 于是所求切线的方程可设为)(2300xxy 根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此)0(2340xx 解之得 x04 于是所求切线的方程为)4(23xy 即 3xy40 四、函数的可导性与连续性的关系导数与微分精品课程教案 hanlianjun- 10 -设函数 yf(x)在点 x0 处可导 即 )(lim00xfyx存在 则lililimli 000 fyxyxx 这就是说 函数 yf(x)在点 x0 处是连续的 所以 如果函数 yf(x)在点 x 处可导 则函数在该点必连续 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7 函数 3)(xf在区间( , )内连续 但在点 x0 处不可导 这是因为函数在点 x0 处导数为无穷大hffh)0(lim0h0li3 第二节 函数的求导法则教学目标：1掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；2掌握基本初等函数的导数公式；3.会初步进行函数导数的运算 教学重点：导数的四则运算法则; 复合函数的求导法则; 基本初等函数的导数公式 教学难点：复合函数的求导4 学时x
