1、第 1 页 共 16 页定积分在求极限中的应用1、知识准备1.1 绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养.求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“ ”型的极限和“ ”型
2、极限的.0泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念.1.2 定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义:定积分:设函数 在闭区间 上有定义,在闭区间 内任意插入 n-1 个分点将()fxab,ab分成 n 个区间 ,记 , ,作
3、乘积 (称,abi(1,2iixn ） 1ix)ifx为积分元),把这些乘积相加得到和式 (称为积分形式)设1niifx,若 极限存在唯一且该极限值与区是 的分法max:1in01lim()nif,ab及分点 的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数 在 上的定积分,记作i ()fxab,即 .否则称 在 上不可积.b a()fxd 01()li()nbaifxdfx f,注 1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关 ,故这里借助了不定积分的符号.注 2:若 存在,区间 进行特殊分割,分点 进行特殊的取法得到的和式()bafxdabi极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考
4、题中经常出现,请读者要真正第 2 页 共 16 页理解.注 3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即 ()()().bbbaaafxdftfud仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,定积分与某一连续函数有紧密的关系,它的一般项受到这一连续函数的约束,它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学主要学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的
5、自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于解决连续函数的相关极限.那么就让我们先一一来回忆它们吧！1.3 极限的概念数列的极限设 为数列, 为实数,若对任给的正数 ,总存在正整数 ,使得当 时有naaNn, 则称数列 收敛于 ,实数 称为数列 的极限,并记作 或|nanalima.()na(读作:当 趋于无穷大时, 的极限等于 或 趋于 ).由于 限于取正整数,所以在naann数列极限的记号中把 写成 ,即 或 .lim()a若数列 没有极限,则称 不收敛,或称 为发散数列.nann注 1:关于 : 的任意性.定义中的正数 的作用在于衡量数列通项 与常数 an的接近程度, 越小,表示接近得越好;
6、而正数 可以任意小 ,说明 与常数 a 可以接近到n任何程度; 的暂时固定性.尽管 有其任意性,但一经给出 ,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出; 的多值性. 既是任意小的正数 ,那么 等等,同样也是任意小23的正数,因此定义中的不等式 中的 可用 等来代替.从而|na,“ ”可用“ ”代替;正由于 是任意小的正数,我们可以限定 小于一|na|na 个确定的正数.注 2:关于 :相应性,一般地, 随 的变小而变大,因此常把 定义作 来强NNN()调, 是依赖于 的; 一经给定,就可以找到一个 ; 多值性 的相应性并不意味着第 3 页 共 16 页是由 唯一确定的,因为对给定的 ,若 时能使得
7、当 时,有 ,则N10NnN|na或更大的数时此不等式自然成立.所以 不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重10要的是 的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的 也不必限于自然数,只要 是正数即可;而且把“ ”改为“ ”也无妨.nn函数的极限设函数 在点 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数 ,对于任意给定的正()fx0 A数 (不论它有多么小), 总存在某正数 ,使得当 满足不等式 时,对应的函 x0x数值 都满足不等式 ,那么常数 就叫做函数 当 时的极限,记)fx()fxAA()f为 .0 0lim(xAf或 当可以看出，数列极限与函数极限定义的思想是一致的,都是相应的某个表
8、达上的值无限地接近某个常数值.不同的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是连续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与相应的常数值以任意程度地接近.2、定积分与极限2.1 定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限还是函数的极限,它们都与定积分的定义存在着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥秘吧.事实上,定积分的定义中蕴含着一列数 的和,并且只要 充分地小,和()ifxix式 就可以任意地接近确定的实数 J= ,这正是极限思想的存在,即1()niifxbafd.这就为我们求极限提供了一种独特而有力的方法利1lm()J()nbiaiffxd用定积分求极限.因为在积分
9、学中有大量的积分公式,所以我们运用之解决众多类型的和式极限.2.2 定积分求极限中应用思想的形成先让我们看一个简单的例子:例 1.求极限 .11lim()2n Jn分析:此极限式的求解,不容易直接用极限的定义解决 ,因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题,因此这里不适合;重要极限的结论显然也在这里没有用武之地,因为形式上根本不同;再考虑洛必达法则 ,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来解决连第 4 页 共 16 页续函数的极限问题,通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式,以简化形式从而求解,
10、看来这里也不适用.那是不是就没有什么合适的办法了呢？答案当然是否定的,事实上,它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的,那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这个问题吧！解:把此极限式转化为某个积分形式,从而计算定积分 .为此做如下变形:.1limnJi不难看出,其中的和式是函数 在区间 上的一个积分和(这里取得是等1()fx0,1量分割, ).所以,11,2iiixinnJ= .00l(=ldx）从该例题的解法中可以看出,本题的关键是将极限和转化为积分和,从而利用了定积分将所求极限迎刃而解.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般方法步骤:Sept1 将和式极限 经过变形,使其成为积分形
11、式 .这里常1lim()ngi1lim()nifx取 ;1,2iiixinSept2 确定积分函数的上下限.a= ;li(n取 第 一 个 值 ） li(nb取 最 后 一 个 值 ）Sept3 用 x 代换 ,写出定积分表达式 ,并求出原极限的值.i ()bafxd通过以上的一般方法步骤,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.现在让我们再来看一个例子,并从中仔细体会以上方法步骤.例 2.求极限 .22211lim(nnn+）解:Sept1 化和式极限为积分形式.原极限= .2 211lili(nni）显然,这里 ,被积函数可看成,(iixn即 是 进 行 N等 分 ） 21
12、fx,.+inSept2 确定积分函数上下限. 1alim0(,1)lim0(,).i in nbn取 取第 5 页 共 16 页Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限= .11020arctn4dx对于本题,我们是紧紧按照刚刚总结出的方法步骤进行的,并顺利地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案自然是肯定的.3、应用定积分求极限3.1 一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论 1 如果函数 在区间 上连续,将区间 进行 等分,()fxab,abn,那么， .(,i iibann） ， 1lim()()bianiffxd事实
13、上,连续函数一定可积,而将区间 进行 n 等分也是分割 的一种特殊情况.,abT根据定积分的定义,上述结论成立.当然,并不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严格用到上面总结出的三个步骤,我们可视情况灵活处理,比如无需用到某一步骤或者还需用到其他求极限的思想等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感受结论 1 的用途.习题组 11) lim(sn+isin);n2-12) li ;(3)(6)(3)3) .sinisinl 12这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思想应用到求极限中去.现在就让我们用结论 1 来解决这些求极限的问题,并从不同习题中寻找出异同,以加深对结论 1 的
14、掌握和认识.解: (1) 分析 原极限显然可以看成 在 上的定积分.故 ()sinfx0,1第 6 页 共 16 页11100lim(sn+isin)limsin2co;n nxdx -(2)分析 先通过恒等变形,原极限式= ,被积函数 ,积分区1li3nii1fx3间是 ,于是原极限值= ;011 1002()3dx(3)分析 原和式极限的通项是 不可以看成是关于 的某一个函数,但是注意到:sinin2sisi12 12(sinin) (sinsi).1nnn 应用结论 1,上面不等式左端可以取极限,即=1 112lim(sinsi)limsilimsinli+1nn n ,上面不等式右端可
15、以取极限,即10ixd.1012 2li(snisin)lisinsin n xd 于是,由极限的迫敛性可知原极限值= .2这组题均典型地运用了定积分的计算,从而求出了各极限.我们发现,只要找到某个连续函数 ,并能把这个和式极限 转化成积分形式 ,我们就只需计()fx1lim()ngi1limf()n算出 f(x)在0,1 上的积分值 ,从而确定出原极限值.这三个习题中 ,例题 1 的式子无需再进行恒等变形,因为其形式上已经是 f( ) 了;习题 2 与习题 3 形式上直观上不是 f(lin limn) 的形式,因为式子 与式子in1 11li+(3)(6)()n n第 7 页 共 16 页都
16、不含 的项.为此,我们需要对习题 2 以及习题 3 极限的sinisinlm 12in式子进行恒等变形,通过提取公因式等手段使其出现 的因子.当然有的题可能不容易找in到对应的连续函数 ,例如习题 3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而()fx间接地求出原和式极限的极限值.3.2 一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论 1 进行适当的推广,以得到更多形式的极限的求法.推论 1 如果函数 均在 上可积,()()fxgfxab0 111201, ,lim,ma,lim()().n ii xnbii niiaaxb xfgfgd 为 区 间 的 任 意 划 分 ， 小 区 间 上 任
17、意 两 点 ，则证明:首先, 均在 上可积.(),()fxgfx,ab又由于 , ,所以,iin0in当 ） lili.inn于是, = = .01lim()iifgx01lim()iifgx()bafgxd例 3.求极限:.2lisnco()sinco()sinco()2n n解:由推论 1 可知,f(x)=(1)si()s0,1,0,1().2iiixgx及 皆 在 上 可 积 ， 且 lmli,2.nnin于是,原极限式= .1 2100scosixdx推论 2 设10ln()ln(),lim()().n fxdf ffe在 区 间 上 可 积 ， 则 10 12lin()l()ln()
18、ln()2,im()ffffxdffee 事 实 上 对 数 的 性 质 ）（ 定 积 分 的 定 义 ） .第 8 页 共 16 页例 4.试求: .112lim()nn解 ： 直 接 应 用 推 论 10101ln()1ln(1)l()2i )lim()4.nxdnxx ieee 推论 3 如果函数 在区间 上可积,且()f.10()12x0,lim+()()1+(fxdn nfffen 则 证明:记 A= ,则 12li+()()()nfff 1liml()niAf10 ()1 1() 0()limlliln+(nli()A. nifnnifnifxd ifefxd于 是 ，例 5.计算
19、 .222li()(1)33n n解:本题也可以直接运用推论 3, 103622211lim()()()lim().xdnn ie 这三个推论是对结论 1 的必要补充与完善.形式上我们不仅有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论 1 的思路继续进行探索,从形式上丰富了定积分在求极限中应用这一思想,但从本质上讲,它们与结论 1 是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的实质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基本性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不同形式的极限向定积分定义中的和式上去靠拢.最终通过简单明了的定积分公式,求出定积分的值来,以确定出原极限的值.由这
20、三个推论来看, 等形111 1lim(),li(),lim(),li+()nnnniii iffgff 对 于式的极限，我们都有方可循,用定积分的方法容易求出其极限来.对于任何一种数学方法,只要我们仔细地观察与推究,都能将其结论或应用范围加以推广,就像结论 1.现在让我们第 9 页 共 16 页来看一组习题,以体会以上诸推论.现在,我们已经积累了多种求和式极限的方法,它们是今后应用定积分解决极限类问题的最佳模型与范例.那就再让我们来看一组习题,以熟悉与巩固 11lim(),linnf等形式的极限吧.下面这组习题综合用到了以上各结论与推论.习题组 2 用定积分的方法计算下列各极限.(1) ;22
21、211lim ()()()nnn(2) ;1lisi+si(+()sin(3323nn） ） ）(3) ;21li(1)()n n(4) .lim解:分析 以上例题都容易恒等变形,使其满足结论 1 或者推论 1 至推论 3 的条件.于是,(1) 2222 2011li ();()()()()nn i dxin (2) 1lisi+s(+sin333nnnnn） ） ）= ，1ii,1,2ii= 0sni1cos;xd(3) 101ln()22lim()()lim()2nxdn nie ;1l1(4) .101li()()()()22ndxn i ein 3.3 定积分在求极限中应用思想的转移至
22、此,我们已经深深的体会到了各种形式的定积分在极限中应用的作用.仅仅于此,我们尚不能满足,我们可以把定积分在求极限中的应用思想借鉴到其他方面.例如,利用这种11(),lim(),li+()nniii ifgff第 10 页 共 16 页思想方法来证明一些不等式,或者用之解决一些复杂一点的求极限问题.下面将举例说明.例 6.证明:若函数 在 上连续,且对于 ，有 ，则()fxab,xab()0fx.21()()bbaafxdf证明:已知 与 在 上都可积.将 进行 等分,分点是gx,ab,abN.在第 K 个区间上取 .由算数平均不小于几何01nax1kkbaxn平均,有12111 ()( ()(
23、)nknn kkk fxfbabafxfx）2 21212( ()(nn nff bafxfx ） ） ） ） ） ） ）.()()bbaafxdaf当 时 ， 有体会:本例恰巧反过来,将积分和转化为极限和的形式 ,并运用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地认识与掌握定积分与极限之间的关系是解决本问题的关键.该例题说明,我们应该充分认识到定积分在极限中的作用,并能做到灵活变通,适当情形下,二者可以相互转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目的.例 7.试求极限 .(21)!limn分析:该问题似乎不能直接运用结论 1 或推论 1 至推论 3 来求极限.因为极限的表达式不容易化成以上结论或者推论的情形.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗？答案是否定的.在解决该问题之前,还是先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！沃利斯公式: .2()!lim1证明:令 ,则当 时用分部积分法容易求得20sin,nJxd2n1 22 00 022200isico(1)sinco(1)inin(.n nn nnxxxddJ ） J
