1、一、函数关系1、销量问题一个冷饮店老板，记录了某年 3 月到 10 月出售某种冰棍的情况如下( t 表示月份， N 表示当月售出冰棍总数 ):t 3 4 5 6 7 8 9 10N 40 120 240 400 600 800 720 600上表给出了“ t 月”与“售出冰棍数 N”间的联系2、心电图问题如图所示：由图形可以看出，它的图像上每一点都代表着相应时刻对应的电流活动值3、黄河的治理问题黄河清淤工作刚刚结束，之后几年，无淤泥的河道将还会逐渐被淤泥所填充，设每年从上游冲下的流沙初始量为常量 P0 ，且每 m 河床将留下流过泥沙总量的 20 %，则通过 n m 后，水中泥沙的遗留量为多少?
2、 4、药物积聚问题设想要模拟人体内某种药物的含量，可以想像人体内药物的最初含量为零，连续(即恒速率)的静脉注射 ,使药量开始慢慢增加,同时身体排泄这种药物的速率也增加, 但随注入时间的增长,体内药量将最终稳定在一个饱和值 ,如图所示.设测得注射 1 h 后体内药物含量为 0.1 个单位;2 h 后药物含量为 0.15 个单位,试求出药物含量 Q 与注射时间 t 的关系. 5、会员商店某会员制商店对会员购物提供优惠，会员可按商品价格的 85 % 购买商品，但每年需交纳会员费 300 元问若某人只在此商店购物，至少需购多少钱的商品(按商品价格计算)才能真正受惠？ 6、出租车记价问题7、话费问题10
3、、汽车行驶成本，即行驶单位路程所需费用(元/km)，与燃烧单位燃料行驶的里程，即燃料效率 km/L)有关，燃料效率则受限于汽车行驶速度(km/h)， 假定汽车行驶成本 c 与燃料效率 e 的对应关系为函数 c=f(e)，如图( a)所示；燃料效率 e 与汽车行驶速度 v 的对应关系为函数 e=g(v)，如图( b)所示求(1)汽车以 88 km/h 的速度行驶时行驶成本是多少？(2)欲使行驶成本在 0.20 元/km 以下，需保持什么样的行驶速度？ 11 某工厂有一水池，其容积为 100 3m，原有水为 10 3 现在每 10min注入 0.5 3m的水 试将水池中水的体积表示为时间 t 的函
4、数，且问需用多少min 水池才能灌满？解 设水的体积为 V， 则 V=0.05t + 10108.5t(min)12 以速率 A (单位： 3cm/s)往一圆锥形容器注水 容器的半径为 R cm，高为 H 试将容器中水的体积 V 分别表示成时间 t 与水高度 y 的函数 21 y3VtRH；13 (手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的：“133 环保网”的收费为每月基本费用 50 元，每通话 1 min(不足 1 min 按 1 min 计算)再加收 0.2 元；“神州行 ”无每月基本费用，但按每通话 1 min(不足 1 min 按 下km207下 下1.5km10 10km、
5、.、 、)1(1 、6.5inin 6.0intt y3?58.9620 e.9)( kgkg/kg20kg/7 2,20/ )2(8 04.、 、 、xQxxc 1 min 计算) 加收 0.6 元计算话费若仅在本地区使用手机，如何选择手机服务？请给出一个建议解 133 环保网话费为 150.2St；神州行话费为 20.6St1250.4St0 时，即 t125（h）时， 1 ，即使用“133 环保网”所需交纳的话费较少，若每月通话时间不足 125 min 则用“神州行”合适14 有一物体作直线运动，已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比，但方向相反当物体以 4m/s 的速度运动时，阻
6、力为 2 N，试建立阻力与速度之间的函数关系 20.5Ns/m0.54Nkv v， ， 即 15 一架飞机起飞用油是一个固定量，着陆用油是一个 (不同的)固定量，空中飞行每 km 用油也是一个固定量，所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的？写出有关函数的表达式解释表达式中常数的意义解 设起飞用油为 1s，着陆用油 2s，空中飞行用油为 3s，则 12s， 为常量，其中 3skl，其中 为飞行每 km 用油量， l为航程，因此所需燃料总量12312Skl16(1) 利用表 1-10 中的数据确定一个形如 0ertQ的公式该公式给出了时刻 t (以月计)时，兔子的数量 Q(2) 该兔子种群的近似倍增
7、期是多少?(3) 利用你的方程预测该兔子种群何时达到 1 000 只表 1-10t0 1 2 3 4 5Q25 43 75 130 226 391解 （1）解方程组：0025e.4rQ，所以公式为 0.542etQ（2）由 0.5et得到： 8.1t(月)（3）由 .42t得到： 36(月)注：求 r 的时候可以选取任意两组数据进行计算，也可以用其他方式进行计算，比如用各相邻两组数据的差的平均值结果略有差异17 旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过 20 kg 免费，超过 20 kg 部分，每 kg 收费 0.20 元 超过 50 kg 部分再加收 50 % 试列出收费与物品重量的函数关系式
8、解 设收费为 P，物重为 W，则当 20 时， 0P； 205 .2()W时 ，50 .2(0).5(0)WPW时 ，18 某停车场收费标准为：凡停车不超过 2 h 的，收费 2 元；以后每多停车 1 h(不到 1 h 仍以 1 h 计)增加收费 0.5 元但停车时间最长不能超过 5 h试建立停车费用与停车时间之间的函数关系模型解 设收费为 P，停车时间为 T，则当 时 ， ； 252()0.51PTT，19 设仪器由于长期磨损，使用 x年后的价值是由下列模型 0.4()exQ确定的使用 20 年后，仪器的价值为 8 986.58 元试问当初此仪器的价值为多少?解 由 0.4()exx，将 2
9、0()8 96.5Q， 代入得到：00.42896.5e Q元20 大气压力 P随着离地球表面的高度 h的增加而呈指数减少：41.20eP其中 0是海平面处的大气压力， 以 m 计(1) 珠穆朗玛峰的顶峰海拔高 8 848.13 m，那里的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数；(2) 一架普通商用客机的最大飞行高度大约是 12 000 m 此高度的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数解 41.208 .1300. () .45 83. %269ePP21 某工厂的空气经过过滤使得污染数量 (单位：mg/L)正按照方程0kt减少，其中 t表示时间（单位：h） 如果在前
10、 5 h 内消除了 10 % 的污染物：(1) 10 h 后还剩百分之几的污染物？(2) 污染减少 50 % 需花多少时间？(3) 画出污染物关于时间的函数图像，在图像上表示出你的计算结果(4) 解释污染量以这种方式减少的可能原因解 0 0200 0515e )e.90.21(1) (e.81 %2 )3(h tkt kkktPPkt t， 时 ， 有 -， ， )(3) 图像略。(4) 略。22 某有机体死亡 t 年后所剩的放射性碳-14 含量 Q由式0. 12etQ给出，其中 0Q是初始量(1) 考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14 含量的 15%，估计该头盖骨的年龄(2) 试根据此方程
11、计算碳 -14 的半衰期解 (1) 由 00. 120. 12e5 %e5 678.t tQ； （ 年 ）(2) .0 5%7894Qt（ 年 ）23 一幅佛米尔(Vermeer)(16321675)的绘画含有其原有碳 -14(半衰期为 5 739 年) 含量的 99.5 %根据这一信息，是否能判断出该画是不是赝品，请解释理由解 由上一道题目 00.120. 12e5e4.t tQ； 9. （ 年 ）即这幅画只有 40 多年的历史，由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品24 某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦曲线改变(1) 画出种群
12、总量关于时间的图像(2) 求出种群量作为时间 t 的函数的表达式，其中 t 以月为单位计量解 (1)(2)设群量为 A，则2801sin()x25 同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期钚 -240 的衰减由公式 0.1etQ给出，而钚-242 的衰减则由公式 .80t给出，求钚-240 和钚- 242 的半衰期解 (1) 钚 -240： 0. 15 %e6 301.4t （ 年 ）(2) 钚-242： 0. 8 582Qt（ 年 ）26 某一储水池中水的深度在水的平均深度 7 m 上下每隔 6 h 完成一次正弦振荡如果最小深度为 5.5 m，最大深度为 8.5 m，求出水的深度
13、表达式(单位：h)(可能的答案很多 )解 设水的深度表达式为： BtAH)sin( ，由题意可知，周期 6T. 从而 3， 5.1A， 7B则水深表达式为：)sin(.tH 其中 任意。27 在一个拥有 80 000 人的城市里，在时刻 t 得感冒的人数为10 ()9etNt其中 t 是以天为单位试求开始感冒的人数及第 4 天感冒的人数解 由 010 ()0()19e1 9e tNt ， 时 ，（人）4 (4)5 （人28 加拿大芳迪湾(Bay of Fundy)以拥有世界上最大的海潮著称，其高低水位之差达 15 m 之多假设在芳迪湾某一特定点，水的深度 y（单位：m）作为时间 t 的函数由
14、)(cos00tBAy给出，其中 为自 1994 年 1 月 1 日午夜以来的小时数(1) 解释 0y 的物理意义(2) 求出 A 的值(3) 求出 B 的值，假定连续两次高潮位的时间间隔为 21h(4) 解释 0t 的物理意义解 (1) y 表示海潮的平衡位置高度(2) A=15/2=7.5m(3) 2415B(4) 0t 表示 1994 年 1 月 1 日午夜以来海潮第一次达到最高位置的小时数29 设一个家庭贷款购房的能力 y 是其偿还能力 u 的 100 倍，而这个家庭的偿还能力 u 是月收入 x 的 20 %(1) 试把此家庭贷款购房能力 y 表示成月收入 x 的函数;(2) 如果这个家庭的月收入是 4 000 元，那么这个家庭购买住房可贷款多少? 10(2 )04 8 yuxxy解 ： 时 ， （ 元 ）30化学反应中的催化剂是一种加速反应进程但其本身并不改变的物质如果反应生成物本身是催化剂，该反应则称为自催化的假设其一特定的自催化反应的速率 r正比于原物质的剩余量与生成物的数量 p的函数(1) 将 表示为 p的函数；(2) 当反应进程最快时， 的值是多少？解 设元物质总量为 Q，由题意可知：(1) kr)(，其中 k 为正比例常数。(2) 求 r 的最大值，可得： 2p，即原物质剩余量 p 减少为原来的一半时，反应进程最快。
