1、高三数学试题 第 1 页（共 7 页） 2017 年 诸暨市高中毕业班教学质量检测试 题 数 学 注意： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 参考公式： 如果事件 A, B 互斥 , 那么 柱体的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件 A, B 相互独立 , 那么 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 P(AB)=P(A)P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n V=13Sh 次独立重复试验中事件 A 恰好发生
2、 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 Pn(k)=Ckn pk (1 p)n-k (k = 0,1,2, n) 球的表面积公式 台 体 的体积公式 S = 4R2 1 ()1 1 2 23V h S S S S 球的体积公式 其中 S1, S2分别表示台 体 的上、下底面积 , V=43R3 h 表示台 体 的高 其中 R 表示球的半径 第 卷（选择题 共 40 分） 一、 选择题（ 本大题共有 10 个小题， 每小题 4 分，共 40 分） 1.已知 复数 z 满足 1 2,z i i 则 z 的共轭复数 z 等于（ ） A.1i B.1i C. 1i D. 1i
3、2.“ 11a”是“ 1a ”的（ ） A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 3.已知实数 xy、 满足 202 2 00xyxyy ，则目标函数 z x y 的最小值等于（ ） A. 1 B. 2 C.2 D.1 4.二项式 832()x x展开式的 常数项等于（ ） A. 48C B. 28C C. 4842C D. 2822C 5.已 知数列 na 的前 n 项和是 nS ， 则下列四个命题中， 错误 的是 （ ） A.若数列 na 是公差为 d 的等差数列，则数列 nSn是公差为 2d 的等差数列 。 B.若数列 nS
4、n是公差为 d 的等差数列，则数列 na 是公差为 d2 的等差数列 。 C.若数列 na 是等差数列，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列 。 D.若数列 na 的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则 na 是等差数列 。 6.设双曲线 221xyab的左，右焦点分别是 12,FF，点 P 在双曲线上，且满足 2 1 1 22PF F PF F 60 o ，则此高三数学试题 第 2 页（共 7 页） 双曲线的离心率等于（ ） A. 232 B. 213 C. 13 D. 2 3 2 7.将函数 ( ) sin(2 )6f x x 的图像向左平移 6 个单位后，一条对称轴方程是（ ）
5、 A.6x B.4x C.3x D.2x 8.已知 xxxf 3)( 2 ，若 1ax ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( ) ( ) 3 3f x f a a B. ( ) ( ) 2 4f x f a a C. ( ) ( ) 5f x f a a D. 2( ) ( ) 2 ( 1)f x f a a 9.已知 )(xf 是定义在 R 上的单调递增函数 ，则下列四个命题： 若 ,)( 00 xxf 则 00)( xxff ； 若 00)( xxff ，则 00)( xxf ； 若 )(xf 是奇函数，则 )(xff 也是奇函数； 若 )(xf 是奇函数，则 00)()( 2121
6、 xxxfxf .其中正确的有 （ ） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 10.已知三棱锥 A BCD 的所有棱长都相等，若 AB 与平面 所成角等于3，则平面 ACD 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 （ ） A. 6 63,6 63 B. 1,6 63 . C. 6322,6322 D. 1,6322 第 卷 非选择题部分 (共 110 分 ) 二、填空题 （本大题共 7 个小题 .多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 .） 11.已知 22 0 , 2 0A x x B x x x ，则 ABU ， ()RABI 。 12.已知函数 xxxf 3)( 3
7、，函数 )(xf 的图像在 0x 处的切线方程是 ；函数 )(xf 在区间 2,0 内的值域是 。 13.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体最长的一条棱的长度 = ，体积为 。 14.已知实数 yx, 满足 0118622 yxyx ，则 22xy 的最大值 = ， 2843 yx 的最小值 = 。 15.用 1， 2， 3， 4， 5 这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于 2（比如 1524）的 概率 = 。 16.已知 ABC 的面积为 8 ， 53cos A ,D 为 BC 上一点， ACABAD 4341 ,过点 D 作 AC
8、AB, 的垂线，垂足分别为 FE, ,则 DFDE = 。 正视图 侧视图 俯视图 高三数学试题 第 3 页（共 7 页） 17.已知函数 baxxxf 2)( 在区间 c,0 内的最大值为 M （ Rba , , 0c 为常数），且存在实数 ba, ，使得 M 取最小值 2，则 abc 。 三、 解答题 （ 本大题共 5 小题，共 74 分 .解答题须写出必要的计算、推理、证明过程 .） 18.（本题满分 14 分） 已知 ABC 中，角 A B C、 、 所对的边分别为 ,abc，且 sin sin .sin sina b B Cc A B （ 1） 求 A ； （ 2） 求 CB cos
9、cos 的取值范围 。 19.（本题满分 15 分） 如图，四棱锥 ABCDP 的一个侧面 PAD 为等边三角形，且平面 PAD 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是平行四边形， 2 , 4 , 2 3A D A B B D 。 （ 1）求 证： PA BD ； （ 2） 求二面角 PBCD 的余弦值 。 20.（本题满分 15 分） 已知函数 )(1()( Raxaxexf x . （ 1）若函数 )(xf 在 0x 处有极值，求 a 的值及 )(xf 的单调区间； （ 2）若存在实数 )21,0(0x，使得 0)( 0 xf ，求实数 a 的取值范围 。 21.（本题满分 15 分） 如
10、图， 00( , )Px y 是椭圆 2 2 13x y的上的点， l 是椭圆在点 P 处的切线， O 是坐标原点，lOQ/ 与椭圆的一个交点是 Q ， QP, 都在 x 轴上方 。 （ 1） 当 P 点坐标为 21,23时，利用题后定理写出 l 的方程，并验证 l 确实是椭圆的切线 ； （ 2） 当点 P 在第一象限运动 时（可以直接应用定理） 。 求 QOP 的面积； 求直线 PQ在 y 轴上的截距的取值范围 。 定理 ：若点 ),( 00 yx 在椭圆 2 2 13x y上，则 椭圆在该点处的切线方程为 1300 yyxx。 22.（ 本题满分 15 分）已知 数列 na 的各项都是正数
11、， ).(,1222 11 Nnnaaaa nnn（ 1） 求证： 2 ( 2 )2 2 ( 2 )2nn ann ； （ 2） 求证： )(412)()(2)(112232122 Nnnaanaaaa nn。 PCBADQ P x y O l 高三数学试题 第 4 页（共 7 页） 2017 年诸暨市高三教学质量检测 数学参考答案 一、 选择题 1 B 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7.D 8.B 9.A 10.A 二、 填空题 11 -2， 2 ， 2,0 12 y=-3x， -2， 2 13 22， 23314. 11 ， 5 15 112 16 362517 2 三、解答题
12、18.（ 1）由题意得 2 2 2a b b c a b b c cc a b -2 分 +1分 2 2 2 12c o s 2 2 3b c aAAbc -2 分 +2 分 （ 2） 33c o s c o s c o s c o s ( ) c o s s i n 3 s i n ( )3 2 2 3B C B B B B B ； -1 分 +2 分 +2 分 由 (0, )3B 知 ),32,3(3 B 3cos cos ( , 3 2BC。 -1 分 +1 分 19.（ 1）在 ABD 中， AD BD， -2 分 又 平 面 PAD 平 面 ABCD， BD 面 PAD。 -2 分
13、BD PA。 -2 分 （ 2） 法一：（定义法）二面角 D BC P 即二面角 P BC A， -2 分 作 PO AD 于 O，则 PO 平面 ABCD， -2 分 过 O 作 OE BC 于 E，连 PE， 则 PEO 为二面角 P BC A的平面角。 -2 分 又 PEO 中， PO = 3, O E =B D =2 3，故 PE=15 。 -2 分 2 3 2 2 5c o s P E O = = = 51 5 5 。 -1 分 法二 (向量法）：以 OPOEOA , 为 zyx , 轴建立坐标系， -2 分 则 )3,0,0(),0,32,1(),0,0,1( PBD ， -1 分
14、 由（ 1）知平面 DBC 的法向量为 )1,0,0( -1 分 设平面 PBC 的法向量为 n ，则0)3,32,1(0)0,0,1(nn -2 分 CBADPOE高三数学试题 第 5 页（共 7 页） )2,1,0(n ， -1 分 5 522,1,0(),01,0(c o sc o s 。 -2 分 法三（定义法）：点 D 到 BC 的距离为 BD= 32 ， 用体积法求出点 D 到平面 PBC 的距离为 d=156，52c o s,51s in BDd。 （本题中运算较繁） 法四（向量法结合定义法）：由 BCPEBCBD , ，所求二面角的平面角等于 PE,BD 所成的线线角 52)1
15、,2,0(),0,1,0(c o sc o s ； 20.（ 1） ( ) ( 1) xf x x e a ，由 ( ) 0 1f x a ； -2 分 +1分 此时 ( ) ( 1) 1xf x x e ； 当 0x 时， 1 1, 1 ( ) 0xx e f x ；当 0x 时， 1 1, 0 1 ( ) 0xx e f x 。 -3 分 ()fx 在 ( ,0 上单调递减，在 0, ) 上单调递增 。 -1 分 （ 2） 法 1: ( ) (1 )xf x xe a x ， 若在 1(0, )2x 上存在 0x 有 0( ) 0fx ， 0, (1 ) 0xxe x ，须 0a ； -3
16、 分 又 ( ) ( 1) xf x x e a ，当 0a 时 ( ) 0fx 恒成立，故 ()fx在（ 0， 1）上单调递增 。 -3 分 故只须 1m i n ( 0) , ( ) ( 0) 02f f f a ，综上 0a 。 -2 分 法 2： ( ) ( 1) 0xf x xe a x 在 1(0, )2x 上有解，即 ( 1)xxe a x，1xxea x 在 1(0, )2x 上有解 。 -2 分 设 1( ) (0 , )12xxeh x xx， 则 22( 1)( ) 0( 1)xe x xhx x ，故 ()hx在 1(0, )2 上单调递减 。 ()hx在 1(0, )
17、2 上的值域为 )0,( e ， -4 分 (0) 0ah 。 -2 分 21（ 1）若 31( , ),22P 则 :2l x y -2 分 由 22 22 4 12 9 013yx xxx y ， l 是切线 -2 分 （ 2）法一： 220033xy且 00:13xxl y y-1 分 高三数学试题 第 6 页（共 7 页） 则 :OQ 0030x x y y， 由00 002230 3( 3 , )333x x y y Q y xxy 。 -2 分 2222 0000 91| | 3 33xyO Q y x ； -1 分 又 l 与直线 OQ 间的距离220039d xy ； -1 分
18、 13|22OPQS O Q d 。 -1 分 设直线 PQ 交 y 轴于点 M（ 0， m），又 00()Px y， ，003( 3 , )3Q y x且 220033xy， 由 PQ PMkk 知 000000333yxymxxy ， -1 分 20 0 000 0 0 03 3333x y xmyx y x y ； -2 分 2 2 2 2 20 0 0 0 0 03 3 ( 3 ) 2 ( 3 ) 6x y x y x y ， 故0032 , 1)23m xy 。 -2 分 法二：（ 2） 220033xy且 00:13xxl y y即 0033x x y y。 -1 分 则 :OQ
19、0030x x y y。 由 00002230 3( 3 , )333x x y y Q y xxy ， -2 分 PQ 方程为 )(3333 000000 xxyx yxyy ，即000000 333333 yxxyx yxy ， 200200 )3(31)3( yxyxPQ 。 -1 分 原点到直线 PQ 的距离为2002002000000)3(31)3(3)33(31133yxyxyxyxyx， -1 分 13|22OPQS O Q d 。 -1 分 0033m xy ， -3 分 2 2 2 2 20 0 0 0 0 03 3 ( 3 ) 2 ( 3 ) 6x y x y x y ，
20、故0032 , 1)23m xy 。 -2 分 高三数学试题 第 7 页（共 7 页） 22.(1) 0na 且2 2 2112nn n n n naa a a a an 故 na 单调递增 。 -1 分 由 1 1a 知 2 2a ， -1 分 2n 时 221222nnnaaa nn ， -1 分 2 2 2 21 3 222,( 1 ) 2nna a a an ， 222 2 2 21 1 12 ( )2 3 ( 1 )naa n ， 又21 1 1 1( 1) 1( 1) n n n nn ， 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( )2 3 3 4
21、 1 2 22 3 ( 1 ) nn n n nn ， 2 2 22 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 )2 2 ( 2 )2 2 2n n nn n na a a a nn n n 。 -2 分 由 1( 2)nan 可知 22 2 21 22nnn n naaa a a 2 2212 2 2 2111 1n na nna n n n ； -1 分 222232 2 2 212( 1 ) 2,( 1 ) 1 2 1nnaana n a ； 2 2 2 22 2 2 22 ( 1 ) ( 2 ) 2( 1 ) 1 ( 2 ) 1 2 1na nna n n = 2 2 2( 1 )
22、( 2 ) 2 2 ( 1 ) 2( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )n n nn n n n n 2222 4 2nna a a 。 -2 分 另解： 2 2 2 21 2 2 4 21 1 1( ) ( )2 4 2nn n n naa a a an n n n 2)1( 12111(21 2221 naa n (2) )(221)( 11112 nn nnnn nnn aa aaaa aaan； -1 分 +2 分 又2121 2 1)( naan aaa nn nnn 故 2121112 8 121)(4 121)(221)( naanaa aaaan nnnn nnnn -2 分 412)11131212111(812)()(2)(1 12232122 nnnnaanaaaa nn -2 分
