1、1二次函数的应用利润问题例 1：求下列二次函数的最值：（1）求函数 的最值32xy解： 4)(2xy当 时， 有最小值 ，无最大值（2）求函数 的最值2 )30(x解： )1(2 ，对称轴为30x1x当 123有 最 大 值时； 当有 最 小 值时 yy例 2：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件 元，利润为 元，xy为涨价时的利润， 为降价时的利润1y2y则： )103)(406(652x当 ，即
2、：定价为 65 元时， （元）5x 25maxy)03)(406(2y165.2x当 ，即：定价为 57.5 元时， （元）.x 6125maxy综合两种情况，应定价为 65 元时，利润最大练习：1某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以售出 400 件根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1 元，销售量相应减少 20 件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高 元，利润为 元，xy则： )204)(30(xy1252当 ， （元）5xmax答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润2某旅行社组团去外地旅游
3、，30 人起组团，每人单价 800 元旅行社对超过 30 人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元你能帮助分析一下，当旅行月 日2团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有 人 ，营业额为 元，x)30(y则： 18y25)(当 ， （元）5x30max答：当旅行团的人数是 55 人时，旅行社可以获得最大营业额例 3： 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 (元) 与产品的日销售量 (件) 之间的关系如下表：xy若日销售量 是销售价 的一次函数x求出日销售量 (件)与销售价 (元) 的函数关系式；要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为
4、多少元？此时每日销售利润是多少元？解：设一次函数表达式为 bkxy则 解得 ，152,0kb401即一次函数表达式为 设每件产品的销售价应定为 元，x所获销售利润为 元wyx)1()(x4052当 ， （元）max答：产品的销售价应定为 25 元时，每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，“ 某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程3 （2006 十堰市）市“健益” 超市购进一批 20 元/ 千克的绿色食品，如果以 30元/ 千
5、克销售，那么每天可售出 400 千克由销售经验知，每天销售量 (千克) 与销售单价 (元)yx( ）存在如下图所示的一次函数关系式0x试求出 与 的函数关系式；yx设“健益” 超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480元， 现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 3售单价 的范围( 直接写出答案)x解：设 y=kx+b 由图象可知，30420,:21kbkb之即一次函数表达式为 xy)53(x xP
6、)0()(20142 P 有最大值a当 时， （元）35)(45maxP（或通过配方， ，也可求得最大值）0)(202答：当销售单价为 35 元/千克时，每天可获得最大利润 4500 元 841816)35(2x31x34 或 36x39作业布置：1二次函数 ，当 x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是 12xy 232某一抛物线开口向下，且与 x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为(只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“ 最小”)x3不论自变量 x 取什么实数，二次函数 y=2x26x+m 的函数值总是正值，你认为 m 的取值范围是 ，此时关于一元二次方程 2x26
7、x+m =0 的解的情况是_有解_( 填“有解”29m或“无解”)解： )3(xy ，要使 ，只有 02y0294小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 213.5yx的一月 日4部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 L 是 4.5 米 解：当 时， 213.5yx05.3y0， 或 （不合题意，舍去）42x.5在距离地面 2m 高的某处把一物体以初速度 V0（m/s）竖直向上抛出， 在不计空气阻力的情况下，其上升高度 s（m ）与抛出时间 t（s）满足： S=V0t- gt2（其中 g 是常数，1通常取 10m/s2） ，若 V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面_
8、7_m解： ts15)(2当 时， ，所以，最高点距离地面 (米) tmaxs 7256影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为 V（km/h）的汽车的刹车距离 S（m）可由公式S= V210确定；雨天行驶时，这一公式为 S= V2如果车行驶的速度是 60km/h， 那么在雨5天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米7将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加了 1 个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元解：设
9、每件价格降价 元，利润为 元，xy则： )20(710(y62 625x当 ， （元）5x5max答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润8如图，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8，9)，则这个二次函数的表达式为_，小孩将球抛出了约_米(精确到 0.1 m) x y A B O解：设 ，将点 A 代入，得9)8(2xay)1,0(81a51289)(812xxy令 ，得00)(y)(2， ， (米)68x),268(C5.2468OC9 （2006 年青岛市）在 2006
10、年青岛崂山北宅樱桃节前夕， 某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价 x（元/千克） 25 24 23 22 销售量 y（千克） 2000 2500 3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为 13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/ 千克）之间的函数关系式，并求出当 x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是 x 的一次函数，设 y=kx+b，点（25 ，
11、2000） ， （24，2500 ）在图象上， ，20550,:414kbk之y=-500x+14500（2）P=(x-13)y=(x-13)(-500x+14500) )37412(50)9)13x=-500(x-21)2+32000P 与 x 的函数关系式为 P=-500x2+21000x-188500，当销售价为 21 元/千克时，能获得最大利润，最大利润为 32000 元10有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内，此时
12、市场价为每千克30 元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天需支出各种费用为 400 元，且平均每天还有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克 20 元(1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式；(2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q关于 x 的函数关系式月 日6(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000 10x)(30+x)元,死蟹的销售额
13、为 200x 元.Q=(100010x)(30+x)+200x=10x 2+900x+30000.(3)设总利润为 W 元则：W=Q100030400x=10x 2+500x=10(x 250x) =10(x25) 2+6250.当 x=25 时，总利润最大，最大利润为 6250 元答：这批蟹放养 25 天后出售，可获最大利润11(2008 湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元/千克市场调查发现，该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克
14、)有如下关系：=280设这种产品每天的销售利润为(元) (1)求与之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克，该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为多少元?解： )802)()20(xwxy4(863212当 ， （元）30x0maxy(1) 与 之间的的函数关系式为；y 1602xy(2)当销售价定为 30 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 200 元(3) ，152)(5)3(x（不合题意，舍去）8351x2答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 25
15、 元12(2008 河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为 (吨) 时，所需的全部费用 (万xy元）与 满足关系式 ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两x90512xy地每吨的售价 ， （万元）均与 满足一次函数关系 （注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售 吨时， ，请你用含 的代数式7表示甲地当年的年销售额，并求年利润 （万元）与 之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售 吨时， （ 为常数） ，且在乙地当年的最大年利润为 35 万元试确定 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18 吨，根据（1） ， （2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为 万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润 由 ，解得 或 经检验， 不合题意，舍去， （3）在乙地区生产并销售时，年利润 ，将 代入上式，得 （万元） ；将 代入 ，得 （万元） ， 应选乙地
