二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案).doc

1、优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)一、中考要求：1经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系2能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系3会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验4能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标5理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根6能利用二次函数解决实

2、际问题，能对变量的变化趋势进行预测二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2009、2010 年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: 序号 所考知识点 比率1 二次函数的图象和性质 2.53%2 二次函数的图象与系数 的关系 6%3 二次函数解析式的求法 2.510.5%4 二次函数解决实际问题 810%(二)中考热点：二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题三、中考命题趋势及复习对策二次函数是数学中最重要的内容之

3、一，题量约占全部试题的 1015，分值约占总分的 1015，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.(I) 考点突破 考点 1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1二次函数的定义：形如 （a0，a，b，c 为常数）的函

4、数为二次函数xy22二次函数的图象及性质： 二次函数 y=ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大y=a(xh) 2k 的对称轴是 x=h，顶点坐标是（h，k） 。优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷 二次函数 的图象是一条抛物线顶点为（ ， ） ，对称轴 x=cbxay2 2ba24c；当 a0 时，抛物线开口向上，图象有最低点，且 x ，y 随 x 的增大而增大，2bx ，y 随 x 的增大而减小；当 a0 时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ，y

5、 随 x 的增大而减小，x ，y 随 x 的增大而增大a2b注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（ ） ， （ ） ，即两点纵坐标相等，则其对yx,1,2称轴为直线 。21x 当 a0 时，当 x= 时，函数有最小值 ；当 a0 时，当 x= 时，函数有ba24cb2ba最大值 。24c3图象的平移：将二次函数 y=ax2 (a0）的图象进行平移，可得到 y=ax2c，y=a( xh)2，y=a( xh) 2 k 的图象 将 y=ax2 的图象向上(c0）或向下(c

6、0)或向下(k0) 平移|k|个单位，即可得到 y=a(x h)2 +k 的图象，其顶点是（h，k） ，对称轴是直线 x=h，形状、开口方向与抛物线 y=ax2 相同注意：二次函数 y=ax2 与 y=ax 2 的图像关于 x 轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减” 。一、 经典考题剖析： 【考题】.抛物线 y= 4(x+2)2+5 的对称轴是_【考题 2】函数 y= x24 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ）A.（2，0） B.（2，0） C.（0，4） D.（0，4）【考题】在平面直角坐标系内，如果将抛物线 向右平移 2 个单位，向下平移 32xy个单位，平移后二次函数的关系式是（

7、） 3)2(xy )(2xy 3优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷答案：。【考题】 （2009、贵阳）已知抛物线 的部分图象（如图 1-2-1） ，图象再次与21(4)3yxx 轴相交时的坐标是（ ） A （5，0） B.（6，0） C （7，0） D.（8，0）解：C 点拨：由 ，可知其对称轴为 x=4,而图象与 x 轴已交于(1，0)，则与 x21(4)3yx轴的另一交点为(7，0)。参考解题小诀窍。【考题】 （深圳）二次函数 cbxa2图像如图所示，若点（， ） ，（， ）是它的图像上两点，则 与 的大1y2y1y2小关系是（） 1y21y2 不能确定答案：。点，均在对称轴右侧。三、

8、针对性训练：( 分钟) ( 答案： ) 1已知直线 y=x 与二次函数 y=ax2 2x1 的图象的一个交点 M 的横标为 1，则 a 的值为（ ） A、2 B、1 C、3 D、 42已知反比例函数 y= 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，则二次函数 y=2kx2 kxx+k 2 的图象大致为图 123 中的（ ） yO优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷4抛物线 y=x2x5 的顶点坐标是（ ）A （2，1） B （2，1）C （2，l） D （2，1）二次函数 y=2（x3） 2+5 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）A开口向下，对称轴 x=3，顶点坐标为（3,5

9、）B开口向下，对称轴 x 3，顶点坐标为（3，5）C开口向上，对称轴 x=3，顶点坐标为(3,5)D开口向上，对称轴 x=3，顶点( 3,5）二次函数 的图象上有两点(3，8)和(5，8)，则此拋物线的对称cby2轴是（ ） A B. 4xC. D. 51x7在平面直角坐标系内，如果将抛物线 向右平移 3 个单位，向下平移 4 个单位，23xy平移后二次函数的关系式是（ ） 4)3(2xy )(2xy 438.已知，点 A（1， ） ， B（ ， ） ，C（5， ）在函数 的图像上，1y2y3y2x则 ， ， 的大小关系是（）y23A . B. 11y32C. D. 3y2129已知二次函数

10、(a0）与一次函数 y =kx+m(k0）的图象相交于点cbxa2A（2，4）,B(8，2)，如图 127 所示，能使 y1y 2 成立的 x 取值范围是_10.（襄樊）抛物线 的图像如图所示，则抛物线的解析式为_。cbxy211.若二次函数 的顶点坐标是（2，1） ，则 b=_，c=_。O3x=1优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷12 直线 y=x+2 与抛物线 y=x2 +2x 的交点坐标为_13 读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化例如：由抛物线 ，有 y= ，所以抛物线的顶点坐221yxm2()1xm标为（m，2m1）

11、，即 。,当 m 的值变化时，x、y 的值随之变化，因而 y 值也随 x 值的变化而变化，将代人，得 y=2x1l可见，不论 m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标 y 和横坐标 x 都满足 y=2x1，回答问题：（1）在上述过程中，由到所用的数学方法是_，其中运用了_公式，由得到所用的数学方法是_；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线 顶点的纵坐标与横坐标2231yxmx 之间的关系式_.14 抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限15 已知 M、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y= 上，点 N 在直线上，设点 M12x

12、的坐标为(a，b)，则抛物线 y=abx 2+(ab）x 的顶点坐标为_.16 当 b0 时，一次函数 y=ax+b 和二次函数 y=ax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是图 129 中的（ ）考点 2：二次函数的图象与系数的关系一、考点讲解：1、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定抛物线开口向上，则 a0；抛物线开口向下，则 a02、b 的符号由对称轴决定，若对称轴是 y 轴，则 b=0；若抛物线的顶点在 y 轴左侧，顶点的横坐标 0，即 0，则 a、b 为同号；若抛物线的顶点在 y 轴右侧，顶点的横2b坐标 0，即 0则 a、b 异号间“左同右异” a3c 的符号：c 的符号由抛

13、物线与 y 轴的交点位置确定若抛物线交 y 轴于正半，则c0，抛物线交 y 轴于负半轴则 c0；若抛物线过原点，则 c=04的符号：的符号由抛物线与 x 轴的交点个数决定若抛物线与 x 轴只有一个交点，则=0；有两个交点，则0没有交点，则0 5、a+b+c 与 a b+c 的符号：a+b+c 是抛物线 (a0）上的点(1，a+b+c）的纵cbxay2坐标，ab+c 是抛物线 (a0）上的点（ 1，abc）的纵坐标根据cbxay2优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷点的位置，可确定它们的符号.二、经典考题剖析： 【考题 1】 （2009、潍坊）已知二次函数 的图象如图 l22 所示，则cbxa

14、y2a、b、c 满足（ ）Aa0，b0，c0 Ba 0，b 0，c0Ca 0，b 0，c0 Da0，b0，c0解：A 点拨：由抛物线开口向下可知 a0；与 y 轴交于正半轴可知 c0；抛物线的对称轴在 y 轴左侧，可知 0，则 b0故选 A 2【考题 2】 （2009、天津）已知二次函数 (a0）且 a0，a b+c0，则一定cx2有（ ） Ab 24ac0 Bb 24ac0Cb 24ac 0 Db 24ac0解：A 点拨： a0，抛物线开口向下， 经过（1，ab+c）点，因为cbxy2ab+c0，所以（ 1，a b+c）在第二象限，所以抛物线与 x 轴有两个交点，所以b24ac0，故选 A

15、【考题】 （2009、重庆）二次函数 的图象如图 1210，则cxay2点（b， ）在（ ）caA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解： 点拨：抛物线开口向下，所以 a 0, 顶点在 y 轴右侧，a、b 为异号，所以 b0，抛物线交 y 轴于正半轴，所以 c0，所以 0，所以 M 在第四象限ca三、针对性训练：( 60 分钟) 1已知函数 的图象如图 1211 所示，给出下列关于系数 a、b、c 的不等bxa2式： a0，b0，c 0，2ab 0， abc 0其中正确的不等式的序号为_-2已知抛物线 与 x 轴交点的横坐标为1，则 ac=_.y23抛物线 中，已知 a：b：c=l：2：

16、3，最小值为 6，则此抛物线的解析式为cbxay2优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷_4已知二次函数的图象开口向下，且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： _.5抛物线 如图 1212 所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的解析式是cbxay2_.6若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为 1，则它的解析式为 _ （任写一个）7已知二次函数 的图象与 x 轴交于点（2，0） ，(x 1，0) 且 1x 12，与cbxay2y轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：ab0； 2a+c0； 4a+c 0，2a b+l 0其中的有正确的结论是（填写序号） _8

17、若二次函数 的图象如图，则 ac_0（“” “”或“=” ） cxy2第 8 题图9二次函数 的图象如图 1214 所示，则下列关于 a、b、c 间的关系判断cbxay2正确的是（）Aab0 B、bc0Ca+bc 0 Da b 十 c010抛物线 （a0）的顶点在 x 轴上方的条件是（ ）xy2Ab 24ac0 Bb 24ac 0 Cb 24ac0 D c 011 二次函数y=3x 2；y= x2；y= x2 的图象的开口大小顺序应为（ ）23 43A （1）（2）（3）B （1）（3）（2）C （2）（3）（1）D （2）（1）（3）考点 3：二次函数解析式求法一、考点讲解：1二次函数的三种

18、表示方法：表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系2二次函数表达式的求法：一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得 ；将已cbxay2知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷其中顶点为(h，k) ，对称轴为直线 x=h；2()yaxhk交点式法：若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：,其中与 x 轴的交点坐

19、标为（x 1，0） ， （x 2，0） 。12解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设 ；已知顶点（0，c） ，即在 y 轴上时可设2axy；已知顶点（h，0）即顶点在 x 轴上可设 .caxy2 2)(hxay注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。二、经典考题剖析：【考题 1】 （2009、长沙）如图 1216 所示，要在底边 BC=160cm，高 AD=120cm 的ABC 铁皮余料上，截取一个矩形 EFGH，使点 H 在 AB 上，点 G 在 AC 上，点 E、F 在BC 上，AD 交 HG 于点 M

20、，此时 。AMAD=HGBC(1)设矩形 EFGH 的 长 HG=y，宽 HE=x，确定 y 与 x 的函数关系式；(2)当 x 为何值时，矩 形 EFGH 的面积 S 最大？(3)以面积最大的矩形 EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的 体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)。解：AHG ABC ，所以 ，所以 = ，所以AMHGDBC120-x120 y160 16034x矩形的面积 S=xy，S= 224160(3xx360)= )48,所以 x=60cm, S 最大=4800 2.围圆柱形铁桶有两种情况：当 x=60时，4601(

21、).3ycm第一种情况：以矩形 EFGH 的宽 HE=60cm 作铁桶的高，长 HG=80cm 作铁桶的底面周长，则底面半径 R= 2188096V=()22A， 铁 桶 体 积 第二种情况：以矩形 EFGH 的长 HG=80cm 作铁桶的高，宽 HE=60cm 作铁桶的底面周长，则底面半径 R= .2260607()cm， 铁 桶 体 积 因为 V1V 2，所以以矩形 EFGH 的宽 HE=60cm 作铁桶的高，长 HG=80cm 作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大点拨：作铁桶时要分两种情况考虑，通过比较得到哪种情况围成的铁桶的体积大 【考题 2】在直角坐标系中，AOB 的顶点坐标分

22、别为 A（0，2） ，O（0，0） ，B（4，0） ，把AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 900到COD。优质名校 二次函数考点集训 名校名师卷（1）求 C，D 两点的坐标；（2）求经过 C，D，B 三点的抛物线解析式。解：（1）C 点（2,0） ， D 点（0，4） 。（2）设二次函数解析式为 ，由点 C， B 两点的坐标，得12()yax。)4(xay将点 D（0,4）代入得 a= ，2即二次函数解析式为 。)4(1xy【考题 3】如图，抛物线的对称轴是直线 x=1，它与 x 轴交于 A,B 两点，与 y 轴交于 C 点。点 A,C 的坐标分别是(1，0)，(0 ， )。23（1）求此抛

23、物线对应的函数解析式；（2）若点 P 是抛物线上位于 x 轴上方的一个动点，求ABP 的面积的最大值。解： （1）已知抛物线的对称轴为 x=1，设抛物线解析式为，将点 A(1，0) ，C(0， )代入解析式，得kxay2)1( 2323,04ka解得 ， ，2k)(2xy即 。31xy（2）A 点横坐标为1，对称轴为 x=1，则点 B 的横坐标为 3，设点 P 横坐标是m（1m3） ，则点 P 纵坐标 。 （ 0）21myppy)32(4yBSpAP4132当 m=1 时，S 有最大值，为 4。解题小诀窍：当二次函数图像上出现动点时，可以先设出动点的横坐标，然后利用二次优质名校 二次函数考点集

24、训 名校名师卷函数的解析式将动点的纵坐标表示出来，如上面点 P 的纵坐标的表示方法。 【考题 4】 （2009、南宁）目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图 1218） ，在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为 350 米，拱高为 85 米。在所给的直角坐标系中（如图 1219） ，假设抛物线的表达式为 ，请你根baxy据上述数据求出 、 的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围， 、的值保留两个有效数字）。b七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨 4 时，位于水面上的桥拱跨度有多大

25、？（结果保留整数）m解：（1）因为桥拱高度 OC=85m ，抛物线过点 C （0，85） ，所以 b=85又由已知，得 AB=350m，即点 A、B 的坐标分另为（175，0） ， （175，0） 则有 0= 1752 a+ 85，解得 a000028，所求抛物线的解析式为 y=000028x 285；（2）由 1220 所示，设 DE 为水位上升 4m 后的桥拱跨度，即当 y= 4 时，有4=000028x 285，所以 x12677所以 D、E 两点的坐标为（12 6.7 7， 4） ，（12 6.7 7， 4） 所以 ED 12 67 7+12 677254 米. 答：当水位上涨 4m

26、时，位于水面上的桥拱跨度为 254m点拨：理解桥拱的跨度 AB 即为抛物线与 x 轴两交点之间的距离 . 【考题 5】 （2009、海口）已知抛物线 y=x2+(2n1)x+n 21 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过 A 作 x轴的平行线，交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于 B，DCx 轴于 C.当 BC=1 时，求矩形 ABCD 的周长；试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由 .