1、广西科技大学 基于非局部 TV 正则化的泊松去噪 模型与算法 所 属 学 院：理 学 院 学 科 专 业：信 息 与 计 算 科 学 学 生 ： 指 导 老 师： 2014 年 5 月 摘 要 去除医学 CT 成像，天文图像中的泊松噪声是一个重要的研究课题，大多数的图像复原算法，一般都是运用图像中某个领域内的灰度值、梯度信息，又或者是单一像素点进行处理。若我们能够在更大的范围内充分利用图像本身的信息，就有可能更高效地改善图像复原质量。事实上，大部分自然图像，它们的内容都有自相似性这一个特征。基于非局部的图像处理，就是以这种特征为考虑出发点。为了进一步提高图像去噪效果，同时使边缘信息得到充 分保
2、留，针对泊松噪声，我们提出一种基于非局部 TV 正则化的泊松去噪模型与算法，该模型结合了 TV正则化去噪和非局部理论特点，运用 Bregman 分裂的多步迭代和交替最小化法，来求解该抑制噪声模型，使其能达到图像复原。实验结果发现，通过非局部正则化的去噪算法，使泊松噪声在一定程度上得到抑制的效果比传统算法要好，还可以尽量保留图像的一些有效信息，如边缘和部分纹理等。因此，本文在深入分析非局部正则化的基础上，去介绍泊松抑制噪声算法模型，并与其他算法相比较，本文的算法使图像的恢复度更高。 关键词 ：图像去噪；泊松噪声；非局 部正则化；分裂 Bregman 迭代； Abstract Removal of
3、 medical CT imaging and astronomical image of Poisson noise is an important research subject,most of the image restoration algorithm,in general,are used in the image grey value in a certain field,gradient information,or a single pixel point processing.If we can make full use of the image itself in a
4、 larger scope of information,it is possible to improve the image quality more effectively.In fact,most of the natural images,they all have self-similarity.Image processing is based on nonlocal,which is considered as a start point.In order to further improve the effect of image denoising and edge inf
5、ormation fully at the same time.according to poisson noise,we propose a poisson denoising algorithm based on the nonlocal total variation regularization.And the algorithm of the model is a combination of TV regularization denoising, and the characteristics of the nonlocal theory,using Bregman split
6、iterative and alternating minimization method to solve the noise model,so it can achieve image restoration.The experimental results show that the non-local regularization denoising algorithm, to a certain extent,has a better effect on suppressing Poisson noise than traditional algorithm,we can also
7、try to reserve some effective image information,such as edge and part of the texture.Therefore, this paper on the basis of in-depth analysis of nonlocal regularzation,to introduce the poisson denoising algorithm model.and compared with oother methods, the algorithm of the this article make the image
8、 more recover . Key words:image denoising； Poisson noise； non-local regularization； split Bregman method 目 录 摘 要 . 1 Abstract . 2 1 绪论 . 4 1.1 课题研究背景及意义 . 4 1.2 图像泊松噪声抑制方法的研究现状 . 4 1.3 论文研究的主要内容 . 4 1.3.1 论文的主 要创新点 .5 1.3.2 论文的组织结构 .5 2 非局部正则化的泊松图像去噪模型 . 5 2.1 全变差图像模型介绍 . 5 2.1.1 全变差（ TV）泊松噪声模型 . 错误
9、 !未定义书签。 2.2 非局部 TV 图像模型 . 7 2.3 基于 MAP 统计推断的泊松去噪模型 . 8 3 求解模型的多步迭代的快速算法 . 9 3.1 子问题 . 10 3.2 子问题 . 11 3.3 算法步骤的描述 . 12 4 实验结果与分析 . 12 5 结束语 . 16 致 谢 . 16 6 参考文献 .17 1 绪论 1.1 课题研究背景及意义 图像是我们获取一些重要信息的来源，而图像在成像获取、传输和存储过程中，一般会受到噪声的污染，使图像质量有所下降。而含噪图像影响了我们从原图像中获取一些有用的信息，则在获取图像的正确信息前，对它进行去噪过程是最基本的问题。它的目的就
10、是想从含噪声的观测图中估计出我们需要的理想图像，这本身是一个不适定的反问题。如今，许多文献都对这一问题进行了研究，不过大部分学者研究的对象主要还是加性高斯白噪声，但是，例如天文成像、 X 射线成像、荧光共焦的显微成像等等这些传输图像中的光量子计数成像， 通常都会随着时间或者空间的改变而受到量子噪声的污染，该噪声不是加性噪声，而是是服从泊松分布的统计法则，与此同时，这类噪声强度与方差之间存在着信号依赖关系。一般来说，亮度越大的像素，它受到的干扰更多更强，所以，泊松去噪是尤为重要且是十分难处理的。 1.2 图像泊松噪声抑制方法的研究现状 针对数字图像中的泊松噪声，至今为止，广大学者也提出了一些去噪
11、算法。其中，提出的算法中最经典的是 VS 变换，即在空间域或者变换域中，对观测图像中的数据进行 VS 变换处理。我们先通过变换，将图像中的观测数据看成是近似同方差 的高斯分布，这样，我们就可以将其转化成普通的高斯去噪，最后，经过反 VS 变换处理，我们就得到了所需的去噪数据。当然，只有在光量子增多的时候，通过变换得到的数据才逐步接近高斯分布，由此看出，这种小波 VS 变换方法并不是对所有的光量子数都适用，例如 X 射线，伽马射线这种低光量子数，同时，若是将 VS 变换成非线性的，会对去噪方法的性能有不良的影响。 事实上，一个效果更好的泊松噪声抑制方法，是我们不需要通过 VS 变换而能够直接得出
12、泊松数据。针对观测图像，我们用泊松噪声的统计法则，使其小波变换系数与之有相应的阈值，这样就能直接 跳过 VS 预处理。针对该噪声的统计法则， Kolaczyk 针对高斯噪声，改变了原先的小波系数阈值，但是，在低光子量数中，效果仍然不理想。后来，他重新提出一种方法，利用假设检验方法，事先假设错误检验概率，判别小波系数的一致性，同时，还要进行阈值处理。将这种算法推广到双正交小波中，得到的去噪理想图更加平滑。 还有一种方法就是基于贝叶斯理论下进行的泊松去噪。在处理泊松去噪的 过程中，相较于其他的方法，其优势在于它能够结合原始图像的先验知识，同时可以利用多尺度分析去简化。文献：叙述了针对泊松似然函数，
13、利用多尺度分析，而且，用先验概率作为约束正则化的条件，最后求出后验概率。 而在 1999 年， Buades 等学者受到了 Alecei Efros,Thmas Leung 采用非局部特性去进行图像补缺这一方法的启发，建立了非局部均值去噪。这个算法不是只在单一像素点间取值，而是以观测图的像素点作中心，形成一个邻域去代替单个像素点，然后通过邻域中灰度值间的欧式距离去计算所有的平均灰度，从而达到抑制 噪声的效果。自从提出了非局部均值去噪算法，广大学者都在思考是否可以在非局部的基础上改进正则化去噪。 1.3 论文研究的主要内容 本文考虑服从泊松分布的噪声图像，在 TV 模型和贝叶斯理论框架下，去引入
14、非局部的思想，提出了一种新的改进模型和算法 -基于非局部理论的 TV 正则化泊松噪声抑制模型。在这个模型中，泊松概率的似然估计分布的负自然对数构成了其保真项，符合泊松噪声的统计特性；而模型的正则化项就是非局部 TV项，能够有效恢复图像的重要信息。针对提出的优化模型，综合考虑其特点，我基于 Bregman 分 裂迭代算法，提出多步迭代算法去解决该模型，并混合运用了变量分裂法和交替最小化法，将一个主问题化成两个简单的子问题的迭代，可以降低计算量，同时，我也对一些测试图进行验证，与上述的方法进行比较。由测试结果可知：不仅达到去噪效果，还使我们想要的图像重要信息得以保留。 1.3.1 论文的主要创新点
15、 在全变差图像的基础上，结合非局部正则化项，提出基于非局部 TV 正则化的泊松噪声抑制模型，还利用了多步迭代去求解，该模型不仅能够实现基本的去噪功能，还能在非局部 TV 下改善全变差所实现不了的功能，有效地保持了图像的 边缘纹理区域，同时，降低了阶梯效应的影响。 1.3.2 论文的组织结构 本文以数字图像中的泊松噪声抑制为研究目的，在基于非局部中结合 TV 正则化项对噪声图像进行去除泊松噪声，同时进行实验分析结果。本文的主要结构如下： 第一部分：绪论。介绍泊松去噪的研究意义与背景，简单阐述了泊松噪声抑制的算法现状，给出本文的创新点和结构。 第二部分：非局部正则化的泊松去噪模型。介绍全变差图像，
16、进一步引入基于非局部的 TV 图，并通过统计推断出本文的泊松图像去噪模型。 第三部分：给出相应的算法与步骤，将主问题分解成两个子问题，求解本文提出的模型。 第四部分：用 Matlab 进行实验，与其他算法进行结果比较，利用 ReErr,PSNR和 SSIM 做权衡图像去噪仿真效果比对，结果表明，基于非局部 TV 的正则化泊松去噪算法，在有效抑制噪声的情况下，还能很好地保留了图像的边缘和纹理等细节。 第五部分：结束语。 2 非局部正则化的泊松图像去噪模型 2.1 全变差图像模型介绍 在科学应用领域中，泊松图像去噪是一个重要问题。通过计算一系列的图像内部像素得到观测数值，这些数 值可以很小。如医学
17、中的光学显微成像，天文学或者在夜视中的交通分析，这些过程就是一些有限数量的光量子撞击探测器或者车辆通过传感器时，受泊松噪声污染的观测图像。泊松噪声具有与信号相关的性质。一般的信号独立或有界噪声都不适用于泊松噪声，所以，通过泊松数据去恢复原始图像变得更加困难了。 通过泊松噪声抑制去重建图像其实是一个反问题。因为反问题通常是不适定的，所以许多去噪过程都是使用一些正则化项。例如 Le 等学者提出了一种全变差 (total variation TV)正则化泊松 噪声重建模型，它是利用贝叶斯定律来制定变分问题。在泊松噪声中， Jonsson 等人运用全变差去调整正电子发射断层成像。 Li和 Liu 通过
18、在变换域中引入局部保真项参数，提出了一个局部泊松噪声重建模型。Figueiredo 和 Bioucas-Dias提出利用交替最小化方法去优化全变差模型来重建图像。针对泊松噪声模型， Harmany 等运用一个似然罚函数，并且尤其关注非限制约束条件。算法（ SPIRAL）在每一步迭代中近似接近泊松噪声的似然概率，相当于一个基于似然曲率估计的二次函数。 Zanella 等人运用梯度投影算法去除 泊松噪声。而 Setzer 等人运用 Bregman 迭代法处理泊松噪声。所有的这些方法都使用了 TV 项作为正则项，当在平滑区域中造成阶梯效应时，可以有效达到泊松噪声的抑制。正如我们所知，消除梯度效应最好
19、且最有效的方法是 TGV 正则模型。然而，这个算法在图像边缘和纹理区域均模糊，正如存在着高阶导数项。更糟糕的是，在去噪的全过程中，一些细节会可能将会被去除掉。 正如我们所知，记 u 是原始理想图像， z 是在 u 基础上加入泊松噪声的观测图像，即 )(uPossionz ，则有泊松分布的定义 0,!)( nneng nu （ 1） 其中均值、方差分别是 、 n 。 而在泊松噪声的假设下，若给定 u 是定义在 2R 有界区域上的灰度图，通常 是平面上的一个小矩形。则观测的噪声图像 z 服从泊松似然概率分布，如下： 0)(,)!( )()()(|)()()()(| xuxz xuexzpxuxzp
20、xzxuxuUZ（ 3） 其中 )(xu 是需要恢复的图像，并且噪声图像 )(xz 的每一像素都服从（ 3）的概率分布。著名的全变差 TV 滤波器，也就是 ROF 模型，使函数最小化 )()(m i na rg)( uRuHu BVu （ 4） 其中，数据保真项是 22|)( fuuH ，用来保证复原图像与观测图像之间的距离足够小；正则项是 dxuuTVuR |)()( ；正则化参数 0 是用来平衡 )(),( uRuH 的。对于图像的性质和噪声的强弱， 起主要的决定性。 TV被看成是正则项，定义如下： 1|).,(vs u p| 21 vRvudidxuuTV Cv）（ 5） u 的全变差也
21、是大家都知道的 u 的有界限变差（ BV），并且， ）（ BV 表示函数空间是有限 ）（ uTV ，定义为： )T V (u )(L)( 2 uBV （ 6） ）（ uH 能修改噪声的类别，根据一系列 ROF， Le 提出一种去除泊松噪声额模型，就是保真项由以下代替： dxxuxfxuuH )(l o g)()( ）（ （ 7） 基于全变差的图像去噪这一 方法证明它既能够充分实现抑制噪声，又能保留重要边缘。然而，去噪图像经常达不到理想效果，一些关键的细节部分可能不能很好地恢复，而且，仿射的邻域被看成是梯度型，为了减小梯度影响和更好的保留图像边缘，在后面那段时间许多非线性滤波器纷纷被学者们提出。
22、 因此，对于上述的泊松去噪的 TV模型，已经出现了一系列大量的处理算法，虽然取得较好的数值效果，但是对于图像的一些细节纹理的恢复重建结果仍不是很理想，图像中的信息量丢失还比较多，而且产生的“阶梯”效应也影响复原图像的视觉效果。因此，我们需要找到一种更为有效的方法， 在去噪的前提下能够保留图像的细节纹理信息，同时能抑制图像复原过程中产生的“阶梯”效应，这就是本文所研究的重点。 2.2 非局部 TV 图像模型 针对数字图像去噪和去模糊问题， Kindermann 研究提出，运用正则化函数的非局部相关系数。 Gilboa,Osher 从拉普拉斯算子中得到了启发，定义一个基于非局部算子的变换结构。 现
23、在，让我们定义一个非局部 TV 函数。 令 2R ， x ，且 u(x)是 R的实函数。假设 w ： R 是测试图像中的非负对称加权函数，非局部梯度)(xuw 是所有偏微分 ),( xuw 在 x 处的矢量，形如 : yyxwxuyuyxuw ,),()()(:),( （ 8） 关于矢量 Rp : 的图像发散可以定义为通过带有以下梯度算子的标准伴随矩阵关系： RpRupd ivupu ww :,:,:, （ 9） 使得图像关于 p： R 发散 wdiv ，定义形如： dyyxwxypyxpxpd i v w ),(),(),()( （ 10） 其中拉普拉斯图解定义： dyyxwxuyuxud
24、i vxuwww ),()()()(21:)( （ 11） 注意到：式中因子 1/2 是用来获得相关标准拉普拉斯。 这些算子操作存在着一些性质。例如，拉普拉斯算子是独立邻接的： uuuu ww , （ 12） 和半负定数定义： 0, uuuu www （ 13） 非局部 TV 准则是各向同性 L1 准则加权梯度图 )(xuw ： dxxuuJ ww |)(|:)( (14） d yd xyxwyuxu ),()()( 2 对应的欧拉拉格朗日方程写成： 0|)(| 1|)(| 1),()()( dyyuxuyxwxuyu ww（ 15） 相较于 TV 图像模型，非局部 TV 引入了非局部梯度函数
25、，能够在抑制泊松噪声的同时，使图像边缘和纹理区域得到很好保留。 2.3 基于 MAP 统计推断的泊松去噪模型 正如我们所知，记 u 是原始理想图像， z 是在 u 基础上加入泊松噪声的观测图像，即 ）（ uPoissonz ，则有泊松分布的定义 0,!)( nneng nu （ 16） 其中均值、方差分别是 、 n 。 而在泊松噪声的假设下，若给定 u 是定义在 2R 有界区域上的灰度图，通常 是平面上的一个小矩形。则观测的噪声图像 z 服从泊松似然概率分布，如下： 0)(,)!( )()()(|)()()()(| xuxz xuexupxzxupxzxuxzZU（ 17） 根据贝叶斯定律，我
26、们有： )()()(|)()(|)( | xzpxupxuxzpxzxupZUUZZU （ 18） 且我们假设先验分布条件： )|)(|e x p ()( dxxuup （ 19） 其中 为正则化参数，则 TV 正则化可以从上式（ 19）得到。 对（ 17）进行求 u 的导数： )(log)()( xuxzxuu （ 20） 对（ 20）求积分等价于（ 17）： 0)(,)(log)()()()|( )( xzdxxuxzxuxzpuzp xu （ 21） 将 )()|( upuzp 的极大化问题转化为极小化的负的自然对数形式，则等价于 dxxuxuxzxui iii |)(|)(l o g)
27、()( （ 22） 若引入连续变量 x ，则（ 22）等价于泛函离散化： dxudxxuxzxuuE |)(log)()()( （ 23） 则我们可以得到泊松去噪的全变差模型： dxudxxuxzxuu u |)(log)()(m i na rg （ 24） 针对泊松去噪问题，我们可以考虑用在非局部框架下的 TV 正则化项： 2( ) | |( ( ) ( ) ) ( , )NLNL T V u u dxu x u y w x y dy dx（ 25） 其中 ( , ) 0w x y ，且 ( , ) ( , )w x y w y x ，是用来衡量 yx, 之间的距离的权函数。 （ 24） 和
28、（ 25） 相结合，我们可以得到基于非局部 TV 正则化的泊松去噪模型： dxxuxzxuuu )(log)()(m i na rg d xd yyxwyuxu ),()()( 2 （ 26） 为了满足泊松分布均值的非负性，我们对上式的 u 加上一个非负约束乘子，得出最终的基于非局部 TV 正则化的泊松去噪模型： )(|)(l o g)()(m i narg udxudxxuxzxuu CNLu （ 27） 其中， 0， Cx )(uC = Cx , 3 求解模型的多步迭代的快速算法 针对模型 )(|)(l o g)()(m i narg udxudxxuxzxuuCNLu 我们利用变量分裂法
29、去引入一个辅助变量 w ，则可以转化为一个多变量的优化问题： )()(l o g)()(m i na rg),( , udxxuxzxuwu Cwu dxwwuNL |2 22 （ 28i） 对于多变量的优化问题，我们再利用交替最小化方法转化为两个单变量的子问题，分别是 u 子问题和 w 子问题。 3.1 u 子问题 22 |2)()(l o g)()(m i nar g wuudxxuxzxuu C （ 29i） 在这里，我们先介绍邻近算子的概念： 1962 年 Mereau 通过进行凸投影算子的推广首次提出了邻近算子的概念。设 f 为实希尔伯特空间 H 上的一个下半连续凸函数，则给定 0 ，有函数 f 的邻近算子定义： 22|2 1)(m i narg: xyyfxHHp r o x yf （ 30i） 其中 Hxy : ，fprox是上述变分的唯一解。若取 )()( yyf C ，则 xPxprox CC ，就是 C 凸集的投影算子。 记 dxxuxzxuu )(log)()()( ，运用邻近算子的概念 u 式等价于： )(1 wp r o xuC （ 31i） 这里需要求解复合算子C 1的邻近算子，等价于 )(1 wp r o xPuC 其中，iCP是向凸集 iC 的投影算子， )0,m a x (|m i nar g)( 22 yP ii CyC
