1、第二章 解析函数1用导数定义，求下列函数的导数：(1) ()Re.fxz解: 因 0()(limzffz0()Re()elimzzz0lizze(e)z00Rlimlim(),z xyzxziy当 时,上述极限不存在,故导数不存在；当 时,上述极限为 0,故导数为 0.0z2下列函数在何处可导?何处不可导? 何处解析?何处不解析?(1) 2().fz解: 2222|()(),fzzxyixy这里 2(,)(),.uyv222, .x yy x要 ，当且当 而 均连续，故 仅xyxuv0,xyuv2().fz在 处可导，处处不解析.0z(2) 323()().fiy解: 这里 32232,.,x
2、uxyxvyuy6,yxy四个偏导数均连续且 处处成立,故 在整个复平面上处处可导,yxvu()fz也处处解析.3确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.(1) (,).azbcd至 少 有 一 不 为 零解: 当 时， 除 外在复平面上处处解析 , 为奇点,0c()azbfcdcdzc22()().()()zfabzabcdzcz当 时，显然有 ，故 在复平面上处处解析，且 .0c0abfd()afzd4.若函数 在区域 内解析,并满足下列条件之一,试证 必为常数.()fzD()fz(1) 在区域 内解析;(2) 2;vu(3) 在 内为常数;arg()fz(4) , ).bvc为 不 全
3、 为 零 的 实 常 数证 (1) 因为 在 中解析,所以满足 条件()fzDCR,uvvxyx又 也在 中解析,也满足 条件()fziv()(),.uuvxyx从而应有 恒成立,故在 中 为常数, 为常数.0vDuv()fz(2) 因 在 中解析且有 ,由 条件,有()fzD2()fziCR2,.uxy则可推出 ,即 (常数).故 必为 中常数.0uxyuC()fzD(3) 设 ,由条件知 ,从而()fzuivarctnvCu22(/)(/)0,0,11vuvuyx计算得，22()/0vux22()/0,vuy化简,利用 条件得CR,0.uvyx所以 同理 即在 中 为常数,故 在 中为常0
4、,uxy,vxyDuv()fzD数.(4) 法一：设 则 求导得,a()/,ucbva,ubvxy由 条件CR,ubvxayxay故 必为常数,即 在 中为常数.uv()fzD设 则 ,知 为常数,又由 条件知 也必为常数,所0,abcbvcCRu以 在 中为常数.()fz法二：等式两边对 求偏导得： ，由 条件，我们有,xy0xyaubv，0,xyxyaubua即而 ，故 ，从而 为常数，即有 在 中为常数.20abxy ()fzD5.设 在区域 内解析,试证: ()fzD222()|(|4|.ffxy证: 设 22(),|()|,fzuivfzuv22,|().fifxyxy 而22222
5、2 22()|(|()() (,fzuvuvxyxyu vy 又 解析,则实部 及虚部 均为调和函数.故()fzv220, 0.uvxyxyAA则 22222()|(|4()4|()|.ufzfzxyxy6.由下列条件求解解析函数 .fiv(1) 22()4);uxyxy解: 因 所以2236,v22(3)xyd3(,x又 则22226(),6,()3,vuxyxyx 而 所 以.故3()C22223223()4)(3)11)(1()fzuivxyxyixyxCii iyiziziixyCi(2) 2;vy解: 因 由 解析,有23,vvyxx()fz2, ().uudy又 而 所以 则23,
6、vyyx(),()23,y2()3.yC故 ()23.fzCixy(3) 21,();uxyf解: 因 由 的解析性,有,21,ux()fz2(1),vuxxy2()(1)(,vd又 而 所以 则2,vuyx,y 2,yyC2(1),vxC故 2()(),fzyiy由 得 推出 即(2)fi1,i0.222()(1).fzxyxiziz7.设 求 的值使 为调和函数,并求出解析函数sn,pxvev().fzuiv解: 要使 为调和函数,则有 即()y 0.xyv2sini,ppe所以 时, 为调和函数,要使 解析,则有1pv()fz.xyxuv1(,)coscos(),in()in.pxpxx
7、xpxyudeydey所以11()sin,()cos.px pxyeyeyC即 故,co,pxueC(sin),1,) .zxyepfz C 8试解方程：(1) 13;zei解: (2)32(cosin)3ikzi eln(),0,1.ike故 l2(),2.3zik(2) ln;i解: 2cosin.2ize9求下列各式的值。(1) s;i解 ()()1co.2iiee(2) (34);Lni解: ln5(34)iArgi2arctn.k(3) 1();i解: ()1iiLnie(1)ln2()4ll24ln24cos(ln)sin(l2).4iikikee (4) 3;i解: (3)ln(3)ln2)iiikie()llln327cosi).ikie
