1、1“5.1 一元一次方程”教学设计与思考乐增光（浙江省宁波市北仑区小浃江学校）摘 要 ： 一 元 一 次 方 程 是 最 基 本 的 代 数 方 程 ， 对 它 的 理 解 和 掌 握 对 于 后 续 方 程 的 学 习 具 有 重 要 的 基础 ， 因 为 这 些 后 续 内 容 的 学 习 和 一 元 一 次 方 程 的 学 习 有 很 强 的 关 联 性 和 可 类 比 性 .基 于 此 ， 在 一 元一 次 方 程 概 念 教 学 环 节 中 ， 相 比 教 科 书 增 添 了 二 元 方 程 和 二 次 方 程 ， 通 过 观 察 、 讨 论 、 归 纳 得 到 一 元一 次 方 程
2、 概 念 ， 因 为 “元 、 次 ”特 征 只 有 在 整 式 方 程 背 景 下 通 过 比 较 才 能 凸 显 出 来 .在 巩 固 提 高 小结 环 节 中 ， 通 过 “元 、 次 ”来 提 升 对 方 程 的 认 知 ， 把 一 元 一 次 方 程 回 归 到 方 程 体 系 中 ， 达 到 前 后 呼应 .关键词：方程模型；一元一次方程概念；方程的解；尝试、检验法11 月 11 日至 11 月 14 日，由中国教育学会数学专业委员会主办的第九届全国初中青年数学教师优秀课评比与展示活动在安徽黄山举行，来自全国各省、市、自治区的 125 名青年教师参加评比，约 3000 名初中数学教
3、师、教研员到场观摩学习。笔者展示的内容是浙教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册五章第一节“一元一次方程” ，获全国优秀课一等奖，并荣获最优秀选手称号.一、内容与内容解析继第四章“代数式”之后，第五章“一元一次方程”内容仍属于义务教育课程标准（2011 年版） （以下简称标准 ）中的“数与代数”领域.从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数的发展.从代数关于方程的分类看，一元一次方程是最基本的代数方程，对它的理解和掌握对于后续内容（其他的方程以及不等式、函数等）的学习具有重要的基础，这是因为这些后续内容的学习和一元一次方程的学习有很强的关联性和可类比性.本
4、章内容对一元一次方程作更系统、更深入的讨论，所涉及的实际问题要比以前学习的问题更复杂些，更强调模型化思想的渗透，对方程的解法更注重算理.一元一次方程的概念和解法贯穿全章，是本章的教学重点.“5.1 一元一次方程”作为起始课，承载着知识引领作用.基于教学内容特殊的地位和作用，本节课的教学重点确定为：1.构建“先行组织者” ，使学生对整式方程有初步的认识.2.理解一元一次方程的概念.二、目标与目标解析1.进一步认识方程，体会方程是刻画现实世界的一种有效模型，感悟从算式到方程是数学的进步.2.会根据简单数量关系列方程，经历一元一次方程概念的形成过程，理解一元一次方程的概念.3.根据解的概念会判断一个
5、数是否为一元一次方程的解.24.体验用尝试、检验解一元一次方程的思想和方法，并能解决简单的实际问题.三、教学问题诊断分析从标准看，学生对方程已有初步的认识，会用方程表示简单情景中的数量关系，会解简单的方程，具备了一定的基础，为进一步学习方程奠定了基础.列方程建立在分析问题的数量关系上，关键是找出合适的等量关系，并将其用数学的符号语言正确表达，即建立问题的方程模型，因为有些问题中数量关系比较隐蔽，对七年级学生来说分析有点困难，对每一个问题都要作具体分析，而不是简单的套用某一方法就可以完成，所以列方程要求较高.尝试、检验法作为解方程的一种方法，在教学可能会受到原有解方程知识干扰；在尝试、检验时如何
6、确定未知数的较小取值范围，如何逼近方程的解，对于七年级学生来说是比较难处理的.基于此，本节课的难点为：1.经历“把实际问题抽象成数学问题”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效模型，会根据简单数量关系列一元一次方程.2.体验用尝试、检验解一元一次方程的思想和方法.四、 教学支持条件分析为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，采取以下教学支持条件：策略 1：在列方程环节中，通过 5 个问题串，本题中未知量是什么？怎么来表示这个未知量？根据那句话来列方程？这句话的意思是什么？你能列出方程吗？来分解列方程教学难点.策略 2：在归纳一元一次方程概念环节中，由学生自己制定标准把得到 6
7、个方程进行分类，通过对比二元方程、二次方程，归纳得到一元一次方程概念，凸显了一元一次方程的“一元、一次”特征，也为后续的整式方程学习做好伏笔.策略 3：在尝试、检验解一元一次方程环节中，通过估计几年后教师年龄是女儿的 2 倍，来确定未知数的取值范围，让学生经历尝试、检验过程，体验尝试作为问题解决的一种有效策略.五、 教学过程与目标检测设计1.新课引入，感受方程的优越性（1）请两位同学做自我介绍，追问生 1年龄，追问生 2出生年份，求其年龄.（2）先猜测老师年龄，然后根据师生对话求老师年龄.生 3：我今年 14 岁，老师您几岁？师：我年龄与你年龄的平均数再加 11 就是我的年龄.【设计意图】轻松
8、的自我我介绍，不仅可以缓和紧张的课堂气氛，还可以引出学生年龄问题，进而转到猜测老师的年龄.在猜测老师年龄时通过太大、太小、接近了，来确定年龄的范围，为后续尝试、检验法做铺垫.在计算老师年龄时一般会出现三种情况：3凑的方法（尝试、检验法） 、算术的方法、方程的方法,通过比较让学生感悟在数量关系相对复杂的情况下，相比列算式，列方程显得更直接、更自然，体现了方程的价值，从而引出课题“方程”.2.合作探究，理解一元一次方程概念（1）根据下列问题中的条件，分别列出方程.如图 1，天平左边放着 3 个乒乓球，右边放 5.4 克的砝码和 1 个乒乓球,天平恰好平衡，求 1 个乒乓球的质量.图 1设 1 个乒
9、乓球的质量为 克，那么可以列方程： .x一株小树苗，开始时高为 40 厘米，栽种后每周长高约 5 厘米，大约几周后树苗长高到 1 米？设 周后树苗长高到 1 ，那么可以列方程： .ym小杰买了单价分别为 2 元和 1.2 元的贺卡若干张，花了 10.8 元，问这两种贺卡各买了多少张？设单价 2 元的贺卡 张，单价 1.2 元的贺卡 张那么可以列方程： .n把一个面积为 1125 平方米的一块操场分割成如图 2 所示的正方形和长方形两个部分，求正方形边长.图 2设正方形边长为 米，那么可以列方程： .x小明用温差法测量某山峰的高度，在同一时刻测得山脚温度为 7.8，山顶温度为-2.1.已知该地区
10、山峰的高度每增加 100m，气温大约降低 0.6，问这个山峰的高度大约是多少米？设这个山峰的高度大约是 米，那么可以列方程： .x【设计意图】经历“把实际问题抽象成数学问题”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效模型.一元一次方程是最基本的代数方程，其“一元、一次”特征只有在方程背景下比较才能凸显出来，故相比教科书增添了二元方程和二次方程.（2）自己制定一个分类依据，把这六个方程分分类.4 x4.531054y8.102.nm 1202 .26.87xxx4生 4：按未知数的个数分，一元、二元；生 5：按未知数的次数分，一次、二次. 师：方程、同时具有“一元、一次”两个特征，我们把形如这样的
11、方程叫做一元一次方程，从而引出今天的课题.再观察这四个方程两边的代数式，得到一元一次方程的第三个特征（两边都是整式）.【设计意图】由学生自己制定标准把得到 6 个方程进行分类，通过观察、合作讨论、归纳得到一元一次方程概念，凸显了一元一次方程的的“一元、一次”特征.（3）下列各式中,哪些是方程? 哪些是一元一次方程? 05xx31y42 m12431x【设计意图】通过追问、不是一元一次方程的缘由，加深对一元一次方程特征的理解，借此巩固一元一次方程概念.（4）写出一个一元一次方程.3.温故知新，进一步认识方程的解（1）在小学方程学习中，还学习了解方程.解方程就是求出能使方程左右两边相等的未知数的值
12、，这个值叫做方程的解.（2）判断下列 的值是不是方程 的解.x9234x 【设计意图】方程“验根”是对“方程的解”的概念直接应用，由教学经验可知，学生会把未知数的同时代入到方程两边，得到错误的式子“ ”.第小题讲解中，要让学生充分理解9234“左边=右边”这一判断标准，并归纳总结判断一个未知数的值是不是方程的解步骤及表述格式.第小题由学生参照格式完成，强化验根的程序.（3）写出一个一元一次方程,使它们的解是 .2x【设计意图】让学生从正反两个方面深入理解一元一次方程解的概念.4.尝试检验，体验解方程方法（1）今年乐老师 36 岁、女儿 9 岁，几年后老师的年龄是女儿的 2 倍？师：今年老师的年
13、龄是女儿的 4 倍，估估看几年后老师的年龄是女儿的 5 倍？5生 4：随着年龄的增加，老师年龄是女儿年龄的倍数在不断减少，所以 5 倍不可能.师：几年后老师的年龄是女儿的 2 倍？10 年？20 年？生 5：10 年不够，20 年太多.师：10 到 20 范围太大，怎么办？生 6：用 15 尝试.师：如果设 年后乐老师的年龄是女儿的 2 倍,可列出方程.方程的解因该是那几个整数中的一个？x生 7：16、17、18、19.对于一些较简单的方程,先确定未知数的一个较小的取值范围,再逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验,能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解,这种解方程的方法叫尝试检验法.它是解
14、决问题的一种有效的方法.【设计意图】 “尝试、检验法”解方程是浙教版相比其他教材所特有的，其目的是让学生经历尝试、检验过程，如何确定未知数的较小取值范围，如何逼近方程的解，感悟解方程的思想和方法.由老师的年龄问题自然的引到丢番图的年龄问题，借此介绍代数、方程的发展历程.（2）求出丢番图的年龄.上帝给予的童年占六分之一，又过了十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途.师：根据生平历程和年龄得到的方程相对较繁，能否不解方程而快速报出方程的解.生 8：因为年
15、龄为整数，且必为 6、12、7、2 的公倍数，最小公倍数为 84，根据实际情况，年龄不可能达到 168 及以上，所以只需把 84 代入方程尝试、检验.【设计意图】这是一道悠久历史的名题，也是数学与文学结合的佳作，诗中并没有明确说出丢番图的寿命数字，但已隐含于诗中，利用方程可以求出其年龄，这当中蕴含着浓浓的数学文化.利用整数解，感悟“尝试、检验法”作为问题解决的一种有效策略.5. 巩固提高，提升对方程认知师：一元一次方程是方程大家庭中最简单的一类，你觉得他简单在哪里？生 9：只有一个未知数（未知数的指数是一次）.师：比一元一次方程稍稍复杂的方程可能是什么方程？它复杂在哪？生 10：二元一次方程（
16、一元二次方程） ，未知数个数增加（未知数指数增加）.师：如果它的“元” （“次” ）继续增加，又可能产生什么方程？生 11：三元一次方程（一元三次方程）.师：如果“元” “次”同时增加，还可能产生什么新的方程？你能写一个吗？生 12：二元二次方程.6师：我们发现，从左到右，方程越来越复杂.同学们，我们不妨换个方向，如果从右往左看，感觉又会怎样呢？这是我们以后解方程思考的方向，当然解方程不可能象今天一样都去尝试，究竟如何解方程？这是我们下节课要学习的内容.【设计意图】通过“元、次”来提升对方程的认知，渗透解方程的基本思想方法，为后续的方程学习起到引领作用.6.作业布置必做：完成作业本“5.1 一
17、元一次方程”.选做：用自己的年龄编一道问题，并列出方程.查阅方程史实，了解方程发展历程.【设计意图】分层作业，使“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展” 六、教学反思：在一元一次方程概念教学中，通过小组合作，虽然达到了预期的分类结果，凸显了一元一次方程的本质特征，但对于初一学生来讲，通过“元、次”进行分类是否又增添了本节课的一个教学难点.引入二元方程以后，次又有了新定义“含有未知数项的次数” ，这与一元一次方程概念“未知数的指数是一次”产生了冲突.在教学中是否有更好的处理方法，以期与读者共同探讨.参考文献：【1】中华人民共和国教育部定制.义务教育数学课程标准（2011 年版） 【M】.北京：北京师范大学出版社，2012.【2】浙江教育出版社. 义务教育教科书数学（七年级上册） 【M】.杭州：浙江教育出版社，2013.【3】人民教育出版社，课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书数学（七年级上册） 【M】.北京：人民教育出版社，2012.【4】刘芳.有效启发思考 回归教学本质：以“一元一次方程”教学设计为例【J】.中国数学教育（初中版） ，2013（4）：3035.
