1、智浪教育 -普惠英才文库 微小专题 5 带电粒子在磁场中运动的临界极值与多解问题 1. 如图所示 ,在边长为 L 的等边三角形 ACD 区域内 ,存在垂直于所在平面向里的匀强磁场 .大量的质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子以相同速度 (速度大小未确定 )沿垂直于 CD 的方向射入磁场 ,经磁场偏转后三条边均有粒子射出 ,其中垂直于 AD 边射出的粒子在磁场中运动的时间为 t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用 .求 : (1) 磁场的磁感应强度大小 . (2) 要确保粒子能从 CD 边射出 ,射入的最大速度 . (3) AC、 AD 边上可能有粒子射出的范围 . 2. (2016 扬州一模
2、 )现代物理经常用磁场来研究同位素粒子 ,在 xOy 坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场 ,磁感应强度为 B. 现有电荷量均为 +q 的 a、 b 两粒子从坐标原点 O 以相同速率v 同时射入磁场 ,a 沿 x 轴正方向 ,b 沿 y 轴正方向 ,a 粒子质量为 m,b 粒子质量为 2m. 不计粒子重力以及粒子间相互作用 . (1) 求当 a 粒子第 1 次刚到达 y 轴时 ,b 粒子到达的位置坐标 . (2) a、 b 粒子是否会再次相遇 ?如能 ,请通过推导求出何时相遇 ;如不能 ,请简要说明理由 . (3) 设两粒子在 y 轴上投影的距离为 y,则 y 何时有最大值 ?并求出 y 的最大
3、 值 . 智浪教育 -普惠英才文库 3. (2016 海安中学 )aa、 bb、 cc为足够长的匀强磁场的分界线 ,相邻两分界线间距均为 d,磁场方向如图所示 , 、 区磁感应强度分别为 B 和 2B,边界 aa上有一粒子源 P,平行于纸面向各个方向发射速率为的带正电粒子 ,Q为边界 bb上一点 ,PQ连线与磁场边界垂直 ,已知粒子质量为 m,电荷量为 q,不计粒子重力和粒子间相互作用力 .求 : (1) 沿 PQ 方向发射的粒子飞出 区时经过 bb的位置 . (2) 粒子第一次通过边界 bb的位置范围 . (3) 进入 区的粒子第一次在磁场 区中运动的最长时间 和最短时间 . 4. (201
4、6 南通一模 )控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用 .现有这样一个简化模型 :如图所示 ,y 轴左、右两边均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场 ,右边磁场的磁感应强度始终为左边的 2 倍 .在坐标原点 O 处 ,一个电荷量为 +q、质量为 m的粒子 a,在 t=0 时以大小为 v0 的初速度沿 x 轴正方向射出 ,另一与 a 相同的粒子 b 某时刻也从原点 O以大小为 v0 的初速度沿 x轴负方向射出 .不计粒子重力及粒子间的相互作用 ,粒子相遇时互不影响 . (1) 若 a 粒子能经过坐标为的 P 点 ,求 y 轴 右边磁场的磁感应强度 B1. (2) 为使粒
5、子 a、 b 能在 y 轴上 Q(0,-l0)点相遇 ,求 y 轴右边磁场的磁感应强度的最小值 B2. (3) 若 y 轴右边磁场的磁感应强度为 B0,求粒子 a、 b 在运动过程中可能相遇点的坐标值 . 智浪教育 -普惠英才文库 微小专题 5 带电粒子在磁场中运动的临界极值 与多解问题 1. (1) (2) (3) 见解析 【 解析 】 (1) 由洛伦兹力提供向心力有 qvB=m,T=, 当粒子垂直于 AD 边射出时 ,根据几何关系有圆心角为 60,t0=T, 解得 B=. (2) 当轨迹圆与 AC、 AD 都相切时 ,粒子能从 CD 边射出 ,半径最大 ,速度为最大值 , 此时 r=sin
6、60=L, 由 qvB=m 得 r=,解得 v=. (3) 由 (2)知 ,当轨迹圆与 AC 相切时 ,从 AC 边射出的粒子距 C 最远 .故有粒子射出的范围为 CE段 ,xCE=cos60=, 当轨迹圆与 AD 边的交点 F 恰在圆心 O 正上方时 ,射出的粒子距 D 点最远 .故有粒子射出的范围为 DF段 ,xDF=. 2. (1) 由 qvB=m 可知 智浪教育 -普惠英才文库 a 粒子半径 r1=,周期 T1=, b 粒子半径 r2=2r1,周期 T2=2T1, a 粒子第 1 次刚到达 y 轴历时 t=, 此时 b 粒子运动周 , 位置坐标为 . (2) 由图可知 ,ab 可能在
7、O、 P 点再次相遇 由 T2=2T1, a、 b 粒子经过 t=T2=在 O 点再次相遇 ,该过程粒子不可能在 P 点相遇 , 所以 a、 b 粒子在 t=(k=1、 2、 3、 )时刻相遇 . (3) 解法一 : 由第 (1)问分析可知 ,当 a 粒子第二次到达其圆轨迹最高点时 (即 a 粒子运动了 T1),b 粒子恰好在其圆轨迹的最低点 ,此时两粒子在 y 轴上投影的距离 y 最大 . 考虑圆周运动的周期性 ,此后 a粒子每运动两周 ,b粒子运动一周 ,两粒子在 y轴上投影的距离y 再次最大 , 所以 t=T1+n2T1=时 y 最大 , ymax=4r1=. 解法二 : 由 qvB=m
8、 可知 :a 粒子半径为 r 时 ,b 粒子的半径为 2r, 由 T=可知 :b 的半径扫过 角时 ,a 的半径扫过 2角 , y=r-rcos2-2rsin=r-r(1-2sin2)-2rsin =2r(sin2-sin)=2r(sin-0.5)2-0.25, 当 sin =-1 时 ,y 有最大值 4r,此时 =2n+1.5, 即 2n+1.5=t=, 得 t=时 y 最大 , ymax=4r= 3. (1) (2-)d (2) 2d (3) 【 解析 】 (1) 由洛伦兹力充当向心力得 智浪教育 -普惠英才文库 qvB=, R=, 把 v=带入得 , r1=2d, 如图所示可得 , si
9、n =, =30, PM=QN=2d-2d cos =2d-d=(2-)d, 所以经过 bb的位置为 Q 下方 (2-)d. (2) 当正电粒子速度竖直向上进入磁场 ,距离 Q 点上方最远 . 由几何关系得 cos 1=, 1=60, QH1=2dsin 1=d. 当正电粒子进入后与 bb相切时 ,距离 Q 点下方最远 由几何关系得 cos 2=, 2=60, QH2=2dsin 2=d. 所以有粒子 通过的的范围长度为 L=2d. 智浪教育 -普惠英才文库 (3) r2=d, T=, 轨迹圆所对应的弦越长 ,在磁场 中的时间越长 . 当轨迹圆的弦长为直径时 ,所对应的时间最长为 tmax=,
10、 当轨迹圆的弦长为磁场 的宽度时 ,从 cc飞出所对应的时间最短为 tmin=, 从 bb飞出所对应的时间最短为 tmin=, 所以最短时间为 tmin=. 4. (1) 设 a 粒子在 y 轴右侧运动的半径为 R1,由几何关系有 +=, 由于 B1qv0=m, 解得 B1=. 甲 (2) B2 最小 ,说明 Q 点是 a、 b 粒子在 y 轴上第一次相遇的点 ,由图乙可知 ,a、 b 粒子同时从 O点出发 ,且粒子在 y 轴右侧运动的圆周运动半径 R2=, 又 B2qv0=m, 解得 B2=. 智浪教育 -普惠英才文库 乙 (3) 由图丙可见 ,只有在两轨迹相交或相切的那些点 ,才有相遇的可能性 ,所以有 y 轴上的相切点和 y 轴左侧的相交点 .经分析可知 ,只要 a、 b 粒子从 O 点出发的时间差满足一定的条件 ,这些相交或相切的点均能相遇 . 粒子在 y 轴右侧的运动半径 r1=, 粒子在 y 轴左侧的运动半径 r2=, y 轴上的相切点坐标为 (k=1,2,3,). y 轴左侧的相交点相遇 由图丙可知 ,OA=AC=OC=r2. 可得 xA=-r2sin60=-, yA=-r2cos60=-, y 轴左侧的相遇点的坐标 (n=1,2,3,). 丙 智浪教育 -普惠英才文库
