1、大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS知识内容1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 来表示，并且 是随着试验的XX结果的不同而变化的，我们把这样的变量 叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 表示,XY如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 为离散型随机变量离散型随机变量的分布列将离散型随机变量 所有可能的取值 与该取值对应的概率 列表表示：ixip(1,2,)nX12 ix nxPp i我们称这个表为离散型随机变量 的概率分布，或称为离散型随机变量 的分布列X2几类典型的随机分布两点分布如果随机变量 的分布列
2、为XX10Ppq其中 ， ，则称离散型随机变量 服从参数为 的二点分布01pqpXp二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 ，不合格记为 ，已知产品的合格率10为 ，随机变量 为任意抽取一件产品得到的结果，则 的分布列满足二点分布8%X10P.82两点分布又称 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分01布又称为伯努利分布超几何分布一般地，设有总数为 件的两类物品，其中一类有 件，从所有物品中任取 件NMn，这 件中所含这类物品件数 是一个离散型随机变量，它取值为 时的概率()nN nXm为， 为 和 中较小的一个 C()mMNnPX(0l n)超几何分布大家网，
3、全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS我们称离散型随机变量 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 服从参数为 ，X XN， 的超几何分布在超几何分布中，只要知道 ， 和 ，就可以根据公式求出Mn NMn取不同值时的概率 ，从而列出 的分布列X()PmX二项分布1独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果 及 ，并且事件 发生的概率相同在相AA同的条件下，重复地做 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为 次n n独立重复试验 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为k()C(1)kknnPp(0,12,)n2二项分布若将事件 发生的次数设为 ，事件 不发生的概
4、率为 ，那么在 次独立重复AXA1qpn试验中，事件 恰好发生 次的概率是 ，其中 于k()CknkP0,12,是得到 的分布列X01 PCnpqn knkpq 0Cnpq由于表中的第二行恰好是二项展开式 01 0() Cnnnknknqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，X记作 ,XBp二项分布的均值与方差：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则np， ()En()Dxnq(1)正态分布1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 ，则这条曲线称为
5、 的概率密度曲线XX曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 ，而随机变量 落在指定的两1X个数 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积ab，2正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态变量概率密度曲线的函数表达式为 ，2()1()xfxe，其中 ， 是参数，且 ， xR0式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差期望为 、标准差为 的正态分布通常记作 2(,)N正态变量的概率密度函数的图象叫做正
6、态曲线标准正态分布：我们把数学期望为 ，标准差为 的正态分布叫做标准正态分布01重要结论：正态变量在区间 ， ， 内，取值的概率(,)(2,)(3,)分别是 ， ， 68.3%95.4.7 x= Oy x大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS正态变量在 内的取值的概率为 ，在区间 之外的取值的概()， 1(3)，率是 ，故正态变量的取值几乎都在距 三倍标准差之内，这就是正态分布的0.3%x原则若 ， 为其概率密度函数，则称 为概率分2()N， (fx()()xFxPftd布函数，特别的， ，称 为标准正态分布函数201)N， 21()txed()()xP标准正态分布的值可以
7、通过标准正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量 所有可能的取的值是 ， ， ，这些X1x2nx值对应的概率是 ， ， ，则 ，叫做这个离散型随1p2np12()nExpp机变量 的均值或数学期望（简称期望） X离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量 所有可能取的值是 ， ， ，这些值对应的X1x2nx概率是 ， ， ，则 叫1p2np2 21()()()()nDxEpEpEp做这个离散型随机变量 的方
8、差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度） 的算术平方根 叫做离散型随机变量 的标准差，它也是一个衡量离散型随()DX()xX机变量波动大小的量3 为随机变量， 为常数，则 ；ab， 2()()()()EabbDaX，4 典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 ，在 次二pn点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 Xnp二项分布：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则 ，()E()Dxnpq(1)超几何分布：若离散型随机变量 服从参数为 的超几何分布，NM，则 ， ()MEXN2()1nN4事件
9、的独立性如果事件 是否发生对事件 发生的概率没有影响，即 ，AB(|)(PBA这时，我们称两个事件 ， 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件 ， ， 相互独立，那么这 个事件都发生的概率，等于每个事件发12nAn生的概率的积，即 ，并且上式中任意多个1212()()()n nPPA 事件 换成其对立事件后等式仍成立i大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS5条件概率对于任何两个事件 和 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫做条件ABAB概率，用符号“ ”来表示把由事件 与 的交（或积） ，记做 （或(|)PBDA） DAB典例分析【例 1】 一盒子内装有
10、 个乒乓球，其中 个旧的， 个新的，从中任意取 个，则取10374到新球的个数的期望值是 【例 2】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的 道试题中，能答对其中的 题，106规定每次考试都从备选题中随机抽出 题进行测试，每题分数为 20 分，求他5得分的期望值大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS【例 3】 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差【例 4】 在 个同类型的零件中有 2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并12且取出不再放回，若以 和 分别表示取出次品和正品的个数求 的期，
11、望值及方差【例 5】 某人可从一个内有 2 张 元，3 张 元的袋子里任取 2 张，求他获得钱数的1050期望值【例 6】 某人有一张 元与 张 元，他从中随机地取出 张给孙儿、孙女，每人一104102张，求孙儿获得钱数的期望值大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS【例 7】 从 名男生和 名女生中任选 人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选 人423X3中女生的人数 求 的分布列；X 求 的数学期望与方差； 求“ 所选 人中女生人数 ”的概率31X【例 8】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格 求甲答对试题数 的分布列、数学期望与方差；X 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率【例 9】 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出 个球，1得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球的概率2521是 79若袋中共有 个球，从袋中任意摸出 个球，求得到白球的个数的数学期望；103求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 并指出袋710中哪种颜色的球个数最少
