1、数学分析考试大纲 .考试性质 数学分析课程考试是由经系办公室审查后具有考试资格的学生参加的结业考试，以此成绩确定该学生本课程结业 、通过还是重修。因此， 考试应具有较高的信度、效度 、 必要的区分度和适当的难度。 数学分析考试，要发挥数学分析作为基础课程的作用，既要重视考查学生知识掌握程度，又要注重考查学生继续学习的能力。 .考试要求 作为数学分析试题的命题范围是 数学分析 教学大纲的教学内容。 数学分析是数学 类各 专业最重要的基础课， 数学分析课程的考试， 要求考生比较系统地理解数学分析的 基本概念 、 基本理论，掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力。 . 第一章
2、实数集与函数 一、考试内容 1、实数 （ 1）实数及性质。（ 2）绝对值与不等式。 2、数集 、 确界原理 （ 1）区间与邻域。（ 2）有界集与无界集。（ 3）上确界与下确界，确界定理。 3、函数概念 （ 1）函数 的 定义。（ 2）函数的几种常用表示。（ 3）函数四则运算。（ 4）复合函数。（ 5）反函数。（）初等函数，基本初等函数，非初等函数。 4、具有某些特征的函数 （ 1）有界函数，无界函数。（ 2）单调函数与 反函数 ： 单调函数，严格单调函数。（ 3）奇函数与偶函数。（ 4）周期函数。 二、考试 具体 要求 （ 1）了解实数域及性质 。 （ 2）掌握几种不等式及应用。 （ 3）熟练
3、掌握 邻 域 、 上确界 、 下确界 的概念和 确界原理。 （ 4）牢固掌握函数复合、基本初等 函 数、初等函数及 其 某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。 第 二 章 数列极限 一、考试内容 1、极限概念 （ 1）数列极限定义，数列的收敛与发散性。（ 2）无穷小数列。 2、收剑数列的性质 收剑数列的性质：唯一性 、 有界性 、 保号性 、保 不等式性 、 迫敛性（或 称两边夹法则） 和 四则运算 法则。子列、平凡子列和非平凡子列及其有关性质 。 3、数列极限存在的条件 （ 1）单调有界定理。（ 2）柯西收敛准则。 二、考试具体要求 （ 1）熟练掌握数列极限的定义。 （ 2）掌握收敛
4、数列的若干性质。 （ 3）掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。 第三章 函数极限 一、考试内容 1、函数极限的概念 （ 1）几种类型的函数极限。 2、函数极限的性质 （ 1）函数极限的性质：唯一性 、 局部有界性 、 局部保号性 、保 不等式性 、 迫敛性（或称两边夹法则） 和 四则运 算 法则 。 3、函数极限存在的条件 （ 1）归结原则（ Heine 定理）。（ 2）柯西准则。 4、两个重要极限 5、无穷小量与无穷大量 、 阶的比较 。 （ 1）无穷小量 和 无穷小量 阶的比较 。（ 2）无穷大量。 （ 3）曲线的渐近线。 二、考试具体要求 （ 1）熟练掌握使用 “
5、- ” 语言叙述各类型函数极限。 （ 2）掌握函数极限的若干性质。 （ 3）掌握函数极限存在的条件。（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）。 （ 4）熟练应用两个特殊极限 。 （ 5）牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。 第 四 章 函 数连续性 一、考试内容 1、连续 性 概念 （ 1） 函数 连续性概念。（ 2）间断点及其分类：第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点。（ 3）区间上的连续函数。 2、连续函数的性质 （ 1）连续函数的的局部性质：局部有界性 、 局部保号性 、 复合函数的连续性 和四则运算性质。（ 2）闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理 、
6、最值定理 、 介值性定理 、 根的存在性定理 和 一致连续性定理。（ 3） 反函数的连续性。 3、初等函数的连续性 （ 1）基本初等函数的连续性问题。（ 2）初等函数的连续性。 二、考试具体要求 （ 1）熟 练掌握在 X0点连续的定义 ,等价定义。 （ 2）掌握间断点及类型。 （ 3）了解在区间上连续的定义。 （ 4）掌握在一点连续性质及在区间上连续性质。 （ 5）了解初等函数的连续性。 第五章 导数与微分 一、考试内容 1、导数概念 （ 1）问题的提出 、 导数 的 定义 、 单侧导数 和有限增量公式 。（ 2）导函数 ，导数的几何意义。 （ 3） 极值 点、 极值。 费尔马定理，达布定理（
7、或导函数的介值定理）。 2、求导法则 (1)四则运算，反函数、复合函数的求导，链式法则，对数求导法，参量方程求导 法则 。 3、微分 （ 1） 微分的概念 ， 可微与可导 的关系 ，可微函数。（ 2）微分运算法则，一阶微分形式不变性。 4、高阶导数与高阶微分 （ 1）高阶导数概念，莱布尼兹公式。（ 2）高阶 微分。 （ 3）近似计算与误差估计。 二、考试具体要求 （ 1）熟练掌握导数的定义 、 几何意义、物理意义。 （ 2）熟记求导法则、求导公式。 （ 3）会求各类的导数（复合函数、参 数方程表示 函数、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式） 等 ）。 （ 4）掌握微分的概念，并会用微分进
8、行近似计算。 （ 5）深刻理解连续、可导、可微之关系。 第 六 章 微分中值 定 理及其应用 一、 考试内容 1、拉格朗日定理和函数的单调性 （ 1）罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。（ 2）单调函数。 2、柯西中值定理和不定式极限 （ 1）柯西中值定理。（ 2）不定式极限。 3、泰勒公式 （ 1） 带有皮亚诺型余项的 泰勒 公式和带有拉格朗日型余项的 泰勒 公式 ,马克劳林 公式 。（ 2）几个常用初等函数的泰勒展式。（ 3）泰勒定理 在 近似 计算上的应用。 4、函数的极值与最大（小）值 （ 1）极值的判别法。（ 2）最大值与最小值。 5、函数的凸性与拐点 （ 1）凸函数与凹 函 数 、 拐
9、点。（ 2）。 詹森 (Jensen)不等式等 6、函数图象的的讨论。 二、考试具体要求 （ 1）牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。 （ 2）会用洛比达法则求极限（掌握如何将其他类型的不定型转化为 0/0 型）。 （ 3）掌握 函数的 单调 性 与 函数导数的 符号的关系，并用它证明 函数的 单调 性、不等式、求单调区间 和 极值等。 （ 4） 会 判定 函数的 凹凸性及拐点。 （ 5）了解凸函数及性质 。 （ 6）会求曲线各种类型的渐近线性。 第 七 章 实数的完备性 一、考试内容 实数完备性六个等价定理 （ 1）闭区间套 定理。（ 2）聚点与聚点
10、定理。（ 3）有限覆盖与有限覆盖定理。（ 4）确界定理。（ 5）单调有界定理。（）柯西收敛准则。 二、考试具体要求 （ 1）掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列。 （ 2）了解刻划实数完备性的七个定理的等阶性，并掌握各定理的条件与结论。 （ 3）学会用七个定理证明其 它 问题。 第八章 不定积分 一、考试内容 1、不定积分概念与基本积分公式 （ 1）原函数与不定积分。（ 2）不定积分公式。（ 3）不定积分的线性运算法则。 2、换元积分法与分部积分法 （ 1）第一换元 法与第二换元法。（ 2）分部积分法。 3、几类可化为有理函数的积分 （ 1）有理函数的积分。（ 2）几类可化为有
11、理函数的积分。 二、考试具体要求 （ 1） 理解不定积分的概念、性质与运算法则。 （ 2） 熟练掌握不定积分的基本公式。 （ 3） 熟练掌握分部积分法和换元积分法。 （ 4） 掌握有理函数积分和可化为有理函数积分类型的积分计算。 第九章 定积分 一、考试内容 1、 定积分概念 （ 1） 问题 的 引入（曲边梯形面积与变力作功） 。（ 2） 定积分定义 。 （ 3） 定积分的几何意义 。 2、 牛顿 莱布尼茨公式 3、可积条件 （ 1） 可积的必要条件 。（ 2） 可积的充要条件 。 （ 3） 可积函数类 。 4、 定积分性质 （ 1） 线性运算法则 。（ 2） 区间可加性 。（ 3） 不等式性
12、质 。 （ 4） 绝对可积性 。 (5)积分中值定理 。 5、 微积分学基本定理 6、定积分计算 （ 1）换元积分法 。 (2)分部积分法 。 (3)泰勒公式的积分型余项 。 二、考试具体要求 （ 1）理解定积分的概念和定积分的几何意义。 （ 2）理解牛顿莱布尼茨公式。 （ 3）掌握可积条件及可积函数类。 （ 4）熟练掌握定积分的性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性和积分中值定理。 （ 5）掌握定积分性质的 应用，积分等式、不等式的证明。 （ 6）掌握微积分学基本定理。 （ 7）熟练掌握定积分的计算（换元积分法与分部积分法）。 （ 8）了解上和、下和的性质及可积充要条件的证明
13、。 第十章 定积分的应用 一、考试内容 1、 平面图形 的 面积。 2、由 平行截面面积求体积 。 3、 曲线的弧长与曲率 。 4、 微元法、旋转体体积与侧面积 。 5、定积分在 物理 中的 应用 。 （ 1）液体静压力 。 (2)引力 。 (3)功 与 平均功率 等。 二、考试具体要求 （ 1）掌握“微元法”，并会用微元法解决实际问题。 （ 2）熟练掌握利用定积分求面积、旋转体体积、弧 长、旋转曲面面积、压力、引力和功等。 第十一章 反常积分 一、考试内容 1、 无穷限反常积分 （ 1） 无穷限反常积分 的 概念 。（ 2） 柯西准则 。（ 3） 线性运算法则 。 （ 4）绝对收敛 与条件收
14、敛。（ 5） 无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（ Dirichlet）判别法，阿贝尔（ Abel）判别法 等 。 2、 无界函数反常积分 （ 1） 无界函数反常积分概念 。（ 2） 无界函数反常积分收敛性判别法。 二、考试具体要求 （ 1）理解反常积分（无穷限非正常积分，无界函数非正常积分）的概念。 （ 2）理解绝对收敛与条件收敛和概念。 （ 3）理解掌握反常积分的性质。 （ 4）掌握反常积分敛散性的比较判别法，柯西判别法、狄利克雷和阿贝尔判别法等。 第十二章 数项级数 一、考试内容 1、级数的收敛性 (1)级数收敛与和的定义 。 (2)柯西准则 。 (3)收敛级数的基本性质
15、。 2、正顶级数 (1)正项级数比较原则 。 (2)比式判别法与根式判别法 。 (3)积分判别法。 3、一 般项级数 (1)交错级数 。 (2)绝对收敛级数 及其性质。 (3)狄利克雷（ Dirichlet）判别法，阿贝尔（ Abel）判别法。 二、考试具体要求 （ 1）掌握级数收敛与发散的定义。 （ 2）掌握级数收敛的柯西准则，级数收敛的必要条件。 （ 3）能够熟练地利用比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法判别正项级数的敛散性。 （ 4）理解级数的条件收敛及绝对收敛。 （ 5）理解并能利用莱布尼兹判别法，阿贝尔判别法以及狄利克雷判别法判别一般项级数的敛散性。 （ 6）了解拉贝判别法
16、。 （ 7）了解绝对收敛级数的重排定理，条件收敛级数的黎曼 （ Riemann）定理以及关于级数乘积的柯西定理。 第十三章 函数列与函数项级数 一、考试内容 1、 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 （ 1） 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念 。 （ 2） 一致收敛的柯西准则 。 （ 3） 函数项级数的维尔斯特拉斯（ Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（ Dirichlet）判别法 和 阿贝尔（ Abel）判别法 。 2、 函数列极限函数与函数项级数 的性质 （ 1） 函数列 的 极限函数的连续性、 可 积 性 与 可 导 性等 。 （ 2）函 数项级数 的 和 函数 的连续
17、性、 可 积 性 与 可 导 性等 。 二、考试具体要求 （ 1）理解函数列与函数项级数收敛的概念。 （ 2）理解一致收敛的概念，掌握一致收敛性质的证明过程。 （ 3）理解一致收敛的柯西准则。 （ 4）能够熟练 判别函数列、函数项级数的一致收敛性。 （ 5）熟练掌握函数项级数的维尔斯特拉斯（ Weierstrass）优级数判别法。 （ 6）掌握阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。 （ 7）理解函数列极限函数与函数项级数和的连续性。 （ 8）理解逐项积分与逐项微分定理并利用它们决定有关问题。 第十四章 幂级数 一、考试内容 1、幂级数 （ 1）幂级数的收敛区间。（ 2）幂级数的性质。（ 3）幂级数的运
18、算。 2、函数的幂级数展开 （ 1） 泰勒级数的幂级数展开。 (2)初等函数的幂级数展开。 二、考试具体要求 （ 1）理解幂级数的收敛半径、收敛 区间、收敛域和内闭一致收敛性的概念。 （ 2）理解阿贝尔定理。 （ 3）掌握幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法。 （ 4）理解幂级数的性质（连续性、逐项积分与逐项微分、幂级数的四则运算）。 （ 5）会求幂级数的和函数。 （ 6）理解泰勒级数展开的条件并掌握函数的幂级数展开。 （ 7）了解复变量指数函数，欧拉公式。 第十五章 傅里叶级数 一、考试内容 1、基本概念 （ 1）三角函数系的正交性。（ 2）傅里叶系数。（ 3）傅里叶级数的定义及其收敛性。
19、 2、傅里叶级数的收敛性问题 （ 1）傅里叶级数收敛性的判别法。（ 2）分段 光滑函数傅里叶级数的收敛性（收敛定理）。（ 3）周期函数的傅里叶展开。 二、考试具体要求 （ 1）理解掌握三角级数的概念，掌握三角函数系的正交性。 （ 2）掌握贝塞尔 (Bessel)不等式。 （ 3）理解傅里叶级数的性质。 （ 4）熟练掌握傅里叶级数的求法：按段光滑且以 2为周期的函数展开为傅里叶级数的求法；以 2l 为周期的函数的傅里叶级数的求法（特别地求奇函数与偶函数的傅里叶级数，分别对应于正弦级数和余弦级数）。 （ 5）了解傅里叶级数平均收敛定理的证明过程。 （ 6）理解平均收敛定理的应用。 （ 7）掌握黎曼
20、 勒贝格（ Riemann Lebesgue）定理。 第十六章 多元函数的极限与连续 一、考试内容 1、平 面 点集与多元函数的概念 （ 1）平面点集 ， 完备性定理。（ 2）二元函数的概念。（ 3）多元函数的概念。 2、二元函数的极限 （ 1）二元函数极限概念。（ 2）二元函数极限判别法与累次极限。 3、二元函数的连续性 （ 1）二元函数连续性概念及其性质。（ 2）有界闭域上连续函数的性质。 二、考试具体要求 （ 1）理解平面点集及有关概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）。 （ 2）掌握平面点集的基本定理 区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。 （ 3）理解二元函数的概念。 （
21、4）熟练掌握多元函数极限、累次极限的概念。掌握多元函数极限的求法。 （ 5）深刻理解重极限与累次极限的关系。 （ 6）理解二元函数的连续性的概念。熟练掌握多元连续函数的性质。特别地要熟练掌握有界闭域上连续函数的性质。 （ 7）掌握复合函数的连续性定理。 （ 8）了解 n 维空间与 n 元函数有关概念、性质、定理（距离、三角形不等式、极限、连续等）。 第十七章 多元函数微分学 一、考试内容 1、可微性 （ 1）可微性与全微分 、 全增量 和 偏增量。（ 2）偏导 数与切平面。（ 3） 全微分在近似计算中的应用 。 2、多元复合函数微分法及求导公式 。 3、方向导数与梯度 。 4、泰勒定理与极值
22、。 （ 1）高阶偏导数。（ 2）中值定理与泰勒公式。（ 3）极植问题。 二、考试具体要求 （ 1）理解偏导数和全微分的概念及几何意义。 （ 2）掌握全微分存在的充分条件和必要条件。 （ 3）掌握全微分在近似计算中的应用以及求曲面的切平面和法线。 （ 4）掌握复合函数的偏导数与全微分，理解一阶微分形式的不变性。 （ 5）理解方向导数与梯度的概念。 （ 6）熟练掌握偏导数、全微分、方向导数和梯度 的求法。 （ 7）掌握高阶导数及其与顺序的无关性。 （ 8）理解偏导数存在性、可微性、连续性和偏导函数连续之间的因果关系及这些关系的推导过程和一些典型反例。 （ 9）掌握中值定理与二元函数的泰勒定理。 （
23、 10）掌握极值的必要条件和充分条件，熟练掌握极值的求法。 第十八章 隐函数定理及其应用 一、考试内容 1、隐函数 （ 1）隐函数概念。（ 2）隐函数存在定理，反函数存在定理。 2、隐函数组 （ 1）隐函数组存在定理。（ 2）反函数组与坐标变换，雅可比行列式。 3、隐函数（组）定理的应用 （ 1）平面曲线 的切线与法线。（ 2）曲面的切平面与法线。（ 3）条件极值与拉格朗日乘数法。 二、考试具体要求 （ 1）理解隐函数概念，掌握隐函数组存在的条件和结论。 （ 2）掌握隐函数存在唯一性定理及其证明。 （ 3）掌握隐函数可微性定理。 （ 4）熟练掌握隐函数导数、偏导数的求法。 （ 5）理解隐函数组
24、概念，掌握隐函数组定理、隐函数组求导。特别地理解掌握反函数组定理与坐标变换。 （ 6）掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法。 （ 7）理解函数行列式及相关的概念。 （ 8）理解条件极值与拉格朗日乘数法。掌握条件极值的求法。 第十九章 含参量积分 一、考试内容 1、含参量非正常积分概念及其一致敛性 （ 1）含参量非正常积分概念及一致收敛性。（ 2）含参量非正常积分一致收敛性判别法及其连续性、可导（微）性 和 可积性问题。 2、欧拉积分 （ 1）格马函数及其性质。（ 2）贝塔函数及其性质。 二、考试具体要求 （ 1）理解含参量积分（正常与非正常）的收敛和一致收敛的概念。 （ 2）理解掌
25、握含参量积分（正常与非正常）的连续性、可积性、可微性定理以及它们的应用。 （ 3）理解掌握关于含参量非正常积分一致收敛的柯西收敛准则。 （ 4）熟练掌握判 别含参量非正常积分一致收敛的魏尔斯特拉斯 M 判别法。 （ 5）掌握阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。 （ 6）理解欧拉积分的性质以及各种关系。 （ 7）熟练掌握利用交换积分与求极限顺序、交换积分与求导顺序和交换积分顺序解决问题的方法。 第二十章 曲线积分 一、考试内容 1、第一型曲线积分和曲面积分 （ 1）第一型曲线积分的由来及其性质、计算。（ 2）第一型曲面积分的性质、计算问题。 2、第二型曲线积分 （ 1）第二型曲线积分概念及性质。（ 2
26、）第二型曲线积分的计算。（ 3）两类曲线积分的关系。（ 4）格林公式、积分与 路径无关性及原函数。 二、考试具体要求 （ 1）理解曲线积分（第一型曲线积分、第二型曲线积分）的定义。 （ 2）熟练掌握两类曲线积分的计算公式。 （ 3）了解两类曲线积分的联系。 第二十一章 重积分 一、考试内容 1、二重积分概念 2、二重积分的计算 （ 1）二重积分与累次积分。（ 2）换元积分法（极坐标变换与一般变换）。 3、三重积分计算 （ 1）重积分与累次积分。（ 2）换元积分法：柱坐标变换，球坐标变换与一般坐标变换。 4、重积分应用 （ 1）曲面面积。（ 2）重心坐标。（ 3）转动惯量。（ 4）万引 力。 二
27、、考试具体要求 （ 1）理解二重积分、三重积分的定义。 （ 2）理解二重积分存在性。 （ 3）掌握二重积分性质。 （ 4）熟练掌握二重积分、三重积分的计算方法（化为累次积分）。熟练掌握二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换），三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换）。 （ 5）熟练掌握格林公式及曲线积分与路径的无关性。 （ 6）掌握重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）。 第二十二章 曲面积分 一、考试内容 1、第 一 型曲面积分 （ 1）第 一 型曲面积分 的定义 。（ 2）第 一 型曲面积分性 质与计算。 1、第二型曲面积分 （ 1）双侧曲面与第二型曲面积分 定义 。
28、（ 2）第二型曲面积分性质与计算。（ 3）两类曲面积分的关系。（ 4）高斯公式。（ 5）斯托克斯公式。空间曲线积分与路径无关性。 二、考试 具体 要求 （ 1）理解曲面的侧的概念。 （ 2）理解曲面积分（第一型曲面积分、第二型曲面积分）的定义。 （ 3）掌握曲面积分（第一型曲面积分、第二型曲面积分）的性质。 （ 4）掌握曲面积分的计算公式及其证明过程。 （ 5）理解高斯公式与斯托克斯公式。 （ 6）能够熟练地利用曲面积分的计算公式、高斯公式、斯托克斯 公式计算两类曲面积分。 （ 7）了解两类曲面积分的联系。 （ 8）了解梯度、散度和旋度概念及性质。 IV、命题结构和要求 1 、严格按照教学大纲
29、出题，不出超纲题、偏题、怪题； 2 、试题以考查数学 分析 的基本概念、基本方法和基本原理为主，在此基础上，加强对 学 生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、综合运用所学知识解决实际问题能力的考查； 3、力求试卷难度控制在 0.5 0.55 之间，并确保试题具有较高的区分度，能将优秀的学生区分出来。具体 的 说，试 卷 的 平均分控制在 70 80 分之间，区分度在 0.3 以上； 4、题量和试卷分量适当。各卷试题量控制在 30 题 ( 填空题 10 道， 判断题和选择题 10 道，计算证明题 12 道 ) ，试题份量以较优秀水平的考生能在规定的时间里从容地完成试题作答为宜； 5、主客观性试题在试卷中的占分比例保持 6 : 4。主观性试题包括计算题、证明题、综合题和应用题。客观性试题包括填空题 、判断题 和选择题； 6、充分发挥各种题型功能。填空题主要用于考查三基以及重要数学性质，一般不出省去解答过程的大计算题，以 低、 中等难度 的试题为主。 判断题和 选择题主要考查 学 生对数学概念、数学性质的理解并能进行简单推理、判定和比较，一般不出成纯粹的计算题，以中等难度的试题为主。综合题和应用题主要考查学生的
