1、第 7讲 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1设 X 为随机变量， X B n， 13 ，若随机变量 X 的数学期望 EX 2，则 P(X2)等于 ( ) A.1316 B. 4243 C. 13243 D. 80243 解析 X B n， 13 ， EX 2， n13 2， n 6， P(X 2) C26 13 2 1 13 4 6 51 2 19 1634 80243. 答案 D 2 签盒中有编号为 1、 2、 3、 4、 5、 6 的六支签 ， 从中任意取 3 支 ， 设 X 为这 3支签的号码之中最大的一 个 ， 则 X 的数学期望为 ( ) A 5 B 5.25 C 5.8 D
2、 4.6 解析 由题意可知 ， X 可以取 3， 4， 5， 6， P(X 3) 1C36 120， P(X 4) C23C36320， P(X 5) C24C36310， P(X 6)C25C3612. 由数学期望的定义可求得 EX 5.25. 答案 B 3 若 p 为非负实数 ， 随机变量 的分布列为 0 1 2 P 12 p p 12 则 E的最大值为 ( ) A 1 B.32 C.23 D 2 解析 由 p 0， 12 p 0， 则 0 p 12， E p 1 32. 答案 B 4 已知随机变量 X 8， 若 X B(10， 0.6)， 则 E， D 分别是 ( ) A 6 和 2.4
3、 B 2 和 2.4 C 2 和 5.6 D 6 和 5.6 解析 由已知随机变量 X 8， 所以有 8 X.因此 ， 求得 E 8 EX 8 10 0.6 2， D ( 1)2DX 10 0.6 0.4 2.4. 答案 B 5 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a， 得 2 分的概率 为 b， 不得分的概率为 c(a， b， c (0， 1)， 已知他投篮一次得分的均值为 2， 则 2a 13b的最小值为 ( ) A.323 B.283 C.143 D.163 解析 由已知得 ， 3a 2b 0 c 2， 即 3a 2b 2， 其中 0D 2 B D 1 D2 C D 1D 2. 答
4、案 A 二、填空题 7 某射手射击所得环数 的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 的期望 E 8.9， 则 y 的值为 _ 解析 x 0.1 0.3 y 1， 即 x y 0.6. 又 7x 0.8 2.7 10y 8.9， 化简得 7x 10y 5.4. 由 联立解得 x 0.2， y 0.4. 答案 0.4 8一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c， a， b， c (0,1)，已知他投篮一次得分的数学 期望为 1(不计其他得分情况 )，则 ab 的最大值为 _ 解析 由已知 3a 2b 0 c 1， 3a 2
5、b 1， ab 163 a2 b 163a 2b24 124， 当且仅当 a 16， b 14时取 “ ” 答案 124 9 随机变量 的分布列如下： 1 0 1 P a b c 其中 a， b， c 成等差数列若 E 13， 则 D 的值是 _ 解析 根据已知条件：a b c 1，2b a c， a c 13，解得： a 16， b 13， c 12， D 16 1 132 13 0 132 12 1 132 59. 答案 59 10 设 l 为平面上过点 (0， 1)的直线 ， l 的斜率等可能地取 2 2， 3， 52 ，0， 52 ， 3， 2 2， 用 表示坐标原点到 l 的距离 ，
6、 则随机变量 的数学期望E _ 解析 当 l 的斜率 k 为 2 2时 ， 直线 l 的方程为 2 2x y 1 0， 此时坐标原点到 l 的距离 d 13；当 k 为 3时 ， d 12；当 k 为 52 时 ， d 23；当 k 为 0时 ， d 1， 由古典概型的概率公式可得分布列如下： 13 12 23 1 P 27 27 27 17 所以 E 13 27 12 27 23 27 1 17 47. 答案 47 三、解答题 11某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位 大学生的创业方案进行评审假设评审结果为 “ 支持 ” 或 “ 不支持 ” 的概率都是 12.若某人获
7、得两个 “ 支持 ” ，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个 “ 支持 ” ，则给予 5 万元的创业资助；若未获得 “ 支持 ” ，则不予资助，令 表示该公司的资助总额 (1)写出 的分布列； (2)求数学 期望 E. 解 (1)的所有取值为 0,5,10,15,20,25,30.来源 :学 |科 |网 P( 0) 164， P( 5) 332， P( 10) 1564， P( 15) 516， P( 20) 1564，P( 25) 332， P( 30) 164. 故 的分布列为： 0 5 10 15 20 25 30 P 164 332 1564 516 1564 332 164 (
8、2)E 5 332 10 1564 15 516 20 1564 25 332 30 164 15. 12 袋中有 20 个大小相同的球 ， 其中记上 0 号的有 10 个 ， 记上 n 号的有 n 个 (n 1， 2， 3， 4)现从袋中任取一球 ， X 表示 所取球的标号 (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若 aX b， E 1， D 11， 试求 a， b 的值 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 EX 0 12 1 120 2 110 3 320 4 15 1.5. DX (0 1.5)2 12 (1 1.5)2 120
9、(2 1.5)2 110 (3 1.5)2 320 (4 1.5)2 15 2.75. (2)由 D a2DX， 得 a2 2.75 11， 即 a 2. 又 E aEX b， 所以当 a 2 时 ， 由 1 2 1.5 b， 得 b 2. 当 a 2 时 ， 由 1 2 1.5 b， 得 b 4. a 2，b 2或 a 2，b 4， 即为所求 13 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 12， a， a(0a1)， 三人各射击一次 ， 击中目标的次数记为 . (1)求 的分布列及数学期望； (2)在概率 P( i)(i 0， 1， 2， 3)中 ， 若 P( 1)的值最大 ， 求实数
10、 a 的取值范围 解 (1)P()是 “ 个人命中 ， 3 个人未命中 ” 的概率其中 的可能取值为0， 1， 2， 3. P( 0) 1 12 (1 a)2 12(1 a)2， P( 1) 12(1 a)2 1 12 a(1 a) 1 12 (1 a)a 12(1 a2)， P( 2) 1 12 a2 12(1 a)a 12a(1 a) 12(2a a2)， P( 3) a22 . 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 12(1 a)2 12(1 a2) 12(2a a2) a22 的数学期望为 E 0 12(1 a)2 1 12(1 a)2 2 12(2a a2) 3 a224a 12 .
11、 (2)P( 1) P( 0) 12(1 a2) (1 a)2 a(1 a)， P( 1) P( 2) 12(1 a2) (2a a2) 1 2a2 ， P( 1) P( 3) 12(1 a2) a2 1 2a22 . 由a（ 1 a） 0，1 2a2 0，1 2a22 0及 0a1， 得 0a 12， 即 a 的取值范围是 0， 12 . 14随机抽取某厂的某种产品 200 件 ， 经质检 ， 其中有一等品 126 件、二等品50 件、三等品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、 2 万元、 1 万元 ， 而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品
12、的利润(单位：万元 )为 . (1)求 的分布列； (2)求 1 件产品的平均利润 (即 的均值 )； (3)经技术革新后 ， 仍有四个等级的产品 ， 但次品率降为 1%， 一等品率提高为70%.如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元 ， 则三等品率最多是多少？ 解 (1)由于 1 件产品的利润为 ， 则 的所有可能取值为 6， 2， 1， 2， 由题意知 P( 6) 126200 0.63， P( 2) 50200 0.25， P( 1) 20200 0.1， P( 2) 4200 0.02. 故 的分布列为 6 2 1 2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)1 件产品的平均利润为 E 6 0.63 2 0.25 1 0.1 ( 2) 0.024.34(万元 ) (3)设技术革新后三等品率为 x， 则此时 1 件产品的平均利润为 E 6 0.72 (1 0.7 x 0.01) 1 x ( 2) 0.01 4.76 x. 由 E 4.73， 得 4.76 x 4.73， 解得 x 0.03， 所以三等品率最多为 3%.
