1、系统分析与设计中的数学方法,主要内容频谱分析法 付氏级数、付氏积分、 典型信号频谱特性、离散付氏变换统计分析法 随机变量及其概率分布、典型概率分布； 随机过程定义、相关函数 、谱密度； 线性系统对平稳随机过程的响应,频 谱 分 析 法,分析信号幅值与频率的关系，如何选取输入信号？一、付氏级数 付氏级数的定义：设有一周期函数f(t)，其周期为T，有f(t)=f(t+T),若f(t)满足狄里赫利条件，即在区间T上有界，且仅有有限个极大值和极小值，则f(t)可用收敛的付氏级数表示,从复数角度给出欧拉公式其复数形式,付氏级数所表示的f(t)无论是实数形式还是复数形式，都是无数个谐波函数的叠加。其复数形
2、式的系数表示谐波的幅值与相位。 其系数的集合称为频谱。用或f作横坐标，平行纵坐标的线段ck表示相应的系数的模(线谱)。它具有离散性，相邻两线谱之间的距离=2/T。,例：设函数f(t)为一方波序列，周期为T=20 f(t)=A0 , -0/2t 0/2 f(t)=0 , 0/2t T-0/2将f(t)代入得其基波分量的频率为 =2/T=/ 0得到各次谐波ck值(T=20),几点说明因为 所以当K=1时，为基波频率项；若T=40,基波频率=2/T下降1/2，各线谱间距离缩短一半，其包络线形状一样，只是其高度与T成反比，幅值由A0/2A0/4；可以看出: f(t)的各次谐波随频率的变化情况；因为基波
3、频率=2/T，当T增大，线谱将互相靠近；当T 时，则成为连续谱，付氏级数付氏积分。f(t)通过线性环节后的描述令r(t)=f(t),为以上方波序列，则可用下式来描述,二、付氏积分与变换付氏级数周期函数，不适用于非周期函数；对于非周期函数，认为T ，由付氏级数引申到付氏积分。已知周期函数f(t)的付氏级数将系数代入，即有,若 有界，当T 时，有当T 时， 0，可看成 d，k ，,称,其物理意义，对式取f=/2=1/T作为频率坐标设F(j2f)在fk处为单位面积窄脉冲即F(j2f)在fk处为单位面积窄脉冲，对应幅值为1的复数正弦,因此，若将付氏变换 分解为一系列窄脉冲，面积分别是 ，那么，合成的时
4、间函数就是这些复数正弦之和。 由此可见：付氏积分就是在频域上将信号进行分解，其实质就是将函数f(t)看作由无穷多个谐波叠加而成的。 与付氏级数的比较：连续与离散、非周期与周期 注意：在某个频率点上，谐波的幅值为 ，是无穷小量，所以一般用相对幅值 表示其频谱。,F(j)可由f(t)曲线求得 设f(t)在T/2以外为0，则且已知一周期函数的付氏级数系数为可得即:可用根据f(t)构成一个周期函数，并对此进行频谱分析，求得各次谐波的 值，然后计算 ，再将其用光滑曲线连接。,三、典型信号的频谱分析理想脉冲信号为方便求解，构建等价函数应满足,以 为例，计算频谱,利用欧拉公式 对任意，其F(j)都为1，是一
5、种很有用的输入函数，可测试系统带宽下的特性。,余弦函数 是周期函数，可用付氏级数展开，其线谱由ff1处的两线段构成。见右下图 余弦函数不满足绝对可积条件，借助于(t)函数，有,由于若横坐标改用，则频谱为反推,常值函数常值的频谱仅在零频率上有一函数，其面积为也就是说，只含直流分量。,阶跃函数 f(t)=1(t)借助函数，有,将=1/代入得如右图可知， 随角频率的增加而很快衰减。,下面进行反推 由于阶跃信号的频谱的高频部分衰减很快，所以用该函数来测试对象的动态特性，只能得到一个低频的数学模型。,实际脉冲信号函数频谱是常数，它包含了所有频率信息，而且均匀分布由于能量不能无穷大，实际使用的脉冲总有一定
6、的宽度，令其脉冲面积为1，对它们进行分析 设要分析的实际脉冲的冲量（面积）为1。讨论以下两种情况由于比较三角形和矩形脉冲（底部宽为T,面积都为1）的低频段特性。,A矩形 B三角形实际脉冲信号的频谱在高频段都是衰减的，只是在一定范围内可以近似为常值；T越小，频谱越宽，所包含的谐波数愈丰富，用来测量对象也就愈有利；T相同时，三角波较之矩形波更接近理想脉冲；要求精度为测定对象在06rad/s频段上的特性时，就要选宽度低于0.5s的脉冲信号作为激励信号。,四、离散付氏变换作用：实际计算，计算机完成 付氏变换从谱的角度来分析系统；采用离散付氏变换，需将 连续函数离散化，然后用有限个点的来计算频谱。 给出
7、离散后的付氏变换与反变换 给定f(t),进行周期延拓后，得,注意点 1、f(n)为N个离散点的函数值，即f(0),f(1),f(N-1) 2、F(k)为第k点付氏变换值，即F(0),F(1),F(N-1) 3、F(k)和f(n)是经过函数f(t)进行周期延拓后得到的函数（非周期函数转变为周期函数） a、经过周期延拓处理后，适用于非周期函数 b、所得频谱及反变换所的时间的函数是周期延拓后的函数，但在一个特定范围内，它就代表原函数f(t)的特性。其区间对应关系如下： 0kN/2时，F(k)对应原函数f(t) 0nN/2时，f(n)对应原函数f(t)离散值 N/2kN时，F(k)对应原函数f(t)在
8、负频域上的频谱 N/2nN时，f(n)对应原函数f(t)在负时域上的离散值,4、F(k)并不直接等于F(j2fk) F(k)为离散值，F(j2fk)为面积的概念 当-N/2kN/2时，有F(j2fk) F(k)t 通过f(0),f(1),f(N-1),可求得F(k),然后，得到F(j2fk)其中， t=T/N (N:总离散点数，T：总时间)5、F(j2fk)一般为复数，故F(k)也是复数；应用付氏变换得到 的是频率特性 通过输入输出的频谱特性，求得传递函数的频率特性。工程上常采用这种测量方法。,例：求以下函数的频谱解：延拓取两种T=1和T=2,见右图 取T=2s，N=8为例计算(见图3)有:
9、t=T/N=2/8=0.25s其序列：f(n)=f(0), f(1), f(2), , f(N-1)= f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7)t0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75f(n)= 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ,nN/2时，f(n)是f(t)的离散值N/2nN时，f(n)是f(t)在负时域上的离散值将f(n)代入式有, t = T/N = 0.25 s，且频率间隔f = 1/T = 0.5 Hz由于F(j2fk) F(k)tF(j20) F(0)t = 40.25=1F(j21) F(1)t =
10、3.4140.25=0.854 虚线+实线部分为真实频谱 ，实线部分为所求得的频谱 N 增加或 t 减小，可以减小频域上的重叠现象。,统计分析法,工程设计中，会遇到非确定性信息处理问题。 确定函数值是确定的（随时间变化） 不确定信号值是不确定的，但有统计规律例如，随机噪声干扰、输入信号的不确定性、噪声的测量误差、船舶在不规则海浪中受到的干扰及运动等。 对以上信息必须进行定性和定量的分析，所用理论就是统计分析的方法。他只能给出统计特性（概率分布、方差等）。 用它来解决什么问题呢？,解决以下四个方面的问题建立系统随机输入和随机干扰模型对于结构、参数确定的控制系统，完成随机输入和随机干扰下的输出统计
11、特征计算、误差的概率分布及最大误差范围分析对于结构确定的控制系统，根据随机控制理论来确定有效抑制随机干扰的控制系统的最佳控制参数设计系统时，有效设计环节来抑制干扰并传递有用信息。对多回路系统，要确定各回路的有效带宽,一、随机变量及其概率分布 通过测量，可知某时刻 各点波幅值 （i=1,2,k）（k各测量点测得的数据） 设在 时刻的各组波幅值为：（每个时刻对应一个随机变量）对于t1时刻所测得k组数据，从中取出n个波幅值为i。当k时，其概率,(-，)，对每一个均有一个概率与之对应。引入概率分布函数F()的概念 以为横坐标，取波幅值在(-，)的概率为F()。 对海浪而言，其波幅的平均值为0，因此F(
12、0)= F(-0) = 0.5(即表示一半的波幅值在 -0之间)概率密度W()的定义,随机变量的统计特征值均值 (数学期望值)：所有波幅可能取值得平均值。 其几何意义为W()质量中心的坐标。方差：随机变量偏离均值的程度。二阶原点矩阶中心矩：,二、典型概率分布正态分布（高斯分布）(波幅函数(t) 符合正态分布),均匀分布 变量在a、b之间取值具有相同的概率分布其概率密度为瑞利分布 一个连续性随机变量满足正态分布，而它的能量又分布在一个很窄的频带上时，那么这个随机变量满足瑞利分布。 不规则海浪的波幅幅度m符合瑞利分布,引入多维随机变量概念 左图代表k个不同测试点所测得的数据，不同时刻tj对应一个状
13、态变量（由k个值组成），对应t1,t2,tj,，就构成了多维随机变量。 用向量来表示的多维随机变量，称之随机向量。每个xj皆为一个一维随机变量。 以二维为例：,k维随机变量 的统计特征均值(一阶矩)协方差（二阶中心矩）,三、随机过程的定义 观察不同点处的波幅随时间的变化 ，它们不仅是测量点的随机变量，而且还是时间的函数称随时间变化而随机取值的时间随机函数为随机过程。 需要采用随机理论进行定量定性地分析，研究概率分布，确定n维概率密度，进行大量的试验测试和统计。 工程中，需要做一些假设，突出主要矛盾，形成满足一定假设条件的随机过程。,两种典型的随机过程马尔科夫随机过程 随机过程未来的进展和我们所
14、取得的某一开始的时刻有关，而与这时刻以前的特性无关。 过去即使知道得再多，也无助于了解未来。 比较容易进行数学处理，且结果与实际比较吻合。平稳随机过程 对于前一段的统计，可以很有意义地用来估计其未来的发展。其本质特点是：概率密度函数的形状不随时间而变化。即:其形状不随时间轴上的计时起点而变化。（许多工程实际符合该假设，海浪） 对第k个测量点 所决定的随机过程是平稳随机过程，则有两组值,它们的概率分布函数相同，与时刻t、测量点位k及组数n无关。即：平稳随机过程的两个特点平稳性 过程的统计特征值与 无关，可以用过去对该过程的认识预报未来和现在。遍历性（各态历经性） 过程的统计特征值与测点k无关，可
15、以用某一点的测量数据来统计整个过程的概率分布。 利用平稳随机过程的这两个特点，可以使其实现空间（总体）和时间的转化。,例：考察成熟海浪这个平稳随机过程 此时的海浪是一个平稳随机过程 可以在某个测量点处纪录波幅(t)的足够长(相对于海浪的周期而言，一般测量200个波形)的变化，把纪录分成一定长度的若干段，把其中的每一段记作 ，其中k=1,2,均值：二阶原点矩：,四、相关函数 零均值平稳随机过程。以海浪为例 考察 的均值，令： 有： 称为相关函数。表征 和 的关联程度。 用 描述平稳随机过程：一个随机过程均值为常数，而它的相关函数只与时间间隔 有关，这样的随机过程为平稳随机过程。 判断是否平稳，只
16、要看 是不是在任何t值和 值下都相同。,相关函数的特点很大时，均值为零的随机过程，有初值相关函数是偶函数。即对于(t)与(t)之间的互相关函数不是偶函数，而是的共轭函数。自相关函数 互相关函数,依据试验记录曲线求取相关函数 按定义:用数值法： 取离散值注意： M为全部采样点数，且有 ； 数据长度Mt应大于x(t)中最大周期的10倍以上； 采样间隔t要小于x(t)中最小周期的1/4。,五、谱密度 以海浪为例，一个随机波幅函数(t)，可用无穷多个谐波之和来表示。 对于某个谐波分量，单位面积水柱的平均波动总能量为则部分海浪能量（依从0开始，由小到大，求前i项之和）为,(t)的平均波动总能量，以为自变
17、量考察 的导数，称其为能量谱密度（谱密度函数 ）。表示单位上的能量大小。量纲;在 之间能量为 。(t)在每一个分量i处有：用来对已知谱密度的随机过程进行时域合成。,定义：设x(t)为平稳随机过程，取-TT段，有对xT进行付氏变换其相关函数为,考虑总体平均值与时间均值相等，且t,有可见，S()就是R()的付氏变换。可以推出： 因此，对于一个平稳随机过程，可以用实验纪录来求取其相关函数，然后用付氏变换得到谱密度函数。几种典型的谱密度函数白噪声：一种随机噪声，能量均匀沿分布，其相关函数是。特点：X(t)的过去与未来之间没有任何关系（很好的干扰信号）其相关函数除=0，R(0) 外，其余R()=0。 白
18、噪声能量无穷大。工程上，白噪声不能实现。但可以取远大于系统带宽的噪声近似代替。,海浪谱 一种典型随机过程，与风、海域、海流密切相关，目前尚不能建立准确的数学模型；研究其统计规律对载体运动意义重大。介绍一个海浪谱。 P-M谱（1966年ITTC建立的单参数标准谱） 三个假设： 强风吹过后，海浪成熟，是一个平稳随机过程 波幅(t)的瞬时值服从高斯分布，均值为零 波幅(t)的幅度m服从瑞利分布，即能量分布在较窄频带上有有义波高的含义：纪录一段波幅(t)，共N个值，将它们由大到小排列。取前面1/3的个数的幅值相加后平均是有义波幅值，计为 ，有义波高为,我 国 国 家 海 洋 局 浪 级 标 准,六、线
19、性系统对平稳随机过程的响应X(t)是一个平稳各态历经的随机过程，且服从高斯分布，则y(t)是一个平稳各态历经的随机过程，也服从高斯分布。其关系如下：相关函数：,均值：功率谱密度：若系统两个输入(或干扰)独立不相关,例 舰船横摇预报，经简化，船舶横摇运动微分方程为预报船舶在某级海情下的横摇角的统计值。按给定海情确定有义波高，求P-M谱，得波幅谱S()； 查表的相关参数根据波幅与波倾角的关系，求出波倾角谱S() ；求横摇角谱S(),求横摇角方差 对零均值波浪，横摇方差为求横摇角的各种统计值前提：的瞬时值服从高斯分布，其幅值为瑞利分布的平稳随机过程,例 如右图所示系统，n(t)为干扰量 已知：求误差(t)均方差为最小的增益K。 设信号x(t)与噪声n(t)互不相关，则注意：n(t)为干扰量，它所对应的输出皆为误差量。,
