1、4,4,1,数学课堂教学中数学本质的揭示,华东师范大学数学系 张奠宙 2005. 7. 22 福州！,4,4,2,教育数学是数学的教育形态：,数学的原始形态： 繁复曲折的数学思考。 书面发表的数学是数学的学术形态： 简洁冰冷的形式化美丽。教师的责任：把数学的学术形态化为教育形态： 1 高效率地进行火热的思考， 2 揭示数学本质； 3 使学生容易接受。,4,4,3,数学教育中的“去数学化”倾向,香港科技大学教授项武义认为， 大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。 “去数学化”， 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律， 忽视数学实质的揭示。,4,4,4,结实数学本质， 才能提高效率,教育不等于认
2、识论。 数学教学是要在很短的时间里， 让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值 一万年以后怎么办？ 老是探究， 自己发现，还有效率可谈吗？ 没有效率的教学理论是走不远的！,4,4,5,第一部分,关于数学本质的把握与呈现,4,4,6,数学教学成功的标志,主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性）， 包括： 数学本质的理解； 数学知识的掌握； 数学能力的形成。教育方式是手段（现在的标准： 学生活跃？合作？用计算机？ 探究？游离于数学本身）奇谈怪论： 结果不是最重要的， 重要的在于参与； 知识不是最重要的， 重要的在于过程。,4,4,7,4,4
3、,8,数学知识的储备：一个比喻,一缸水和一杯水 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 没有水可以打井取水 教师的作用：鱼， 渔 数学本质的把握需要数学修养,4,4,9,“数学本质”的内涵：,1。 数学知识的内在联系； 2。 数学规律的形成过程； 3。 数学思想方法的提炼； 4。 数学理性精神的体验。形成数学的教育形态： “返朴归真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情”,4,4,10,数学本质被两种活动所掩盖：,1。过度的形式化。 “淡化形式，注重实质”。 2。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。,4,4,11,例一。 乘法交换律： ab =ba,某杂志刊登的特优教案这样设计： 学生
4、交换位置 （没有说人数不变）； 兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔青草。 （没有谈不变性） 用柄很长的勺子喝水， 自己喝不到， 互相帮助， 交换勺子喝水。（只有交换， 没有不变的规律）。交换律的数学本质： 交换后乘积不变。,4,4,12,例二。三角形内角和问题,姜伯驹院士在政协的提案指出“三角形内角和等于180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？” 不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。 李大潜院士：“老是量， 就倒退到尼罗河时代去了”,4,4,13,三角形内角和定理的价值,没有实际价值， 超越日常经验。 当初古希腊学者不是“量”出
5、来的。价值在于理性思维， 从公理出发的演绎推理。 建议：要么作公理， 要么进行推理。 例如：所有矩形的四个角都是直角 直角三角形内角和为180度 任意三角形内角和为180度,4,4,14,例三。正弦定理的教学 （一个忽视数学实质的设计）,请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么结果？（学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）,4,4,15,根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？,4,4,16,正弦定理是量出来的吗？,分组测量， 汇报结果， 这是败笔。 数学不能靠大
6、家意见相同得到结论。必须证明。正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介， 比一下立刻推得。正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”， 平面几何“大边对大角”的数量化。三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。,4,4,17,例四。 Freudenthal经典情景：巨人的手（通过“量”掌握数学本质）,比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？黑板上留下巨人的手印， 请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。 活动设计： 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值” 3。 量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大 （量得有价值， 有意义）,4,4,18,例五。坐标活动（长宁）,将教
7、室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴； 坐标对应学生， 请学生自己看坐标； 两坐标都是非负的站起来； 两坐标相等的站起来； 换一个同学做坐标原点。 这样活动， 抓住了“坐标”的数学实质。,4,4,19,例六：美国德州(Austin)的一个 斜率概念教学设计,为了联系学生生活实际, 提出情景: “早上起床时, 你先要从床上起来(rise), 然后走到厨房去做早餐(run)” 由此联系到斜率的概念: 纵距离与横距离之比 rise over run.评论：教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思, 并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例. 难道每个rise和run 都有斜率
8、的问题 (起床和去厨房这个过程的斜率是什么?),4,4,20,另一个美国数学教育故事,一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”毕达哥拉斯定理”. Cindy请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是: “因为那里有平方”.？！ 数学的本质完全被曲解了。Cindy继续提问, 希望他们能意识到问题所在, 结果惹得众人很不愉快. 事后, 那个学区的教师间接告诉Cindy: “请她以后不要再到我们学区来了. 我们不欢迎她!”,4,4,21,例7 方程概念,外在的逻辑形式： 含有未知数的等式叫方程。 内在的数学本质： 方程是为了寻求未知数， 在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。“方程”思想
9、的本质在于建立关系 为了认识“未知数”先生， 必须请已知数“先生为媒介， 找到一种关系， 根据关系就能认识“未知数”先生了。,4,4,22,方程思想（三根电线的长度）,上海51中学陈振宣提供: 他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到10楼的三根电线不一样长。 如何测知他们的电阻？袁枚（清）：“学如箭镞， 才如弓弩； 识以领之， 方能中鹄”。,4,4,23,例8 复数的定义,一对有序的实数（x,y)， 称做复数。前者成为实部， 后者成为虚部。（错）但是，向量也是一对实数！ 复数的本质在于它的乘法： (a,b) (c,d) = (ac bd, ad+bc),4,4,24,例9 “圆的认识”这样
10、说， 对吗？,1用甩动系在细绳上的小球形成圆， 是传统的灌输方法。 让小朋友排成圆形公平玩套花游戏， 是好的结合学生实践的方法。2用圆形纸片折纸找圆心的活动，是传统的。 甩动不同长度的细绳形成圆的中心是圆心， 则是探究的好方法。3用圆规划圆在认识圆之后， 是传统的灌输的。 在认识圆之前使用圆规划圆， 是“过程性“的好方法。 我的看法是， 凡是能够揭示“圆的数学本质”教学方法都有价值的。有的是动态的， 有的是静态的。有的适合找圆心，有的适合找半径， 有的便于表达，有的着重理解。它们没有好坏之分。,4,4,25,例10。 勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计,用各种方法发现：方格纸上3，4，5 的
11、计算等。 6张工作单：发现猜想 a2 + b2 = c2换一种思维：将勾股定理直接告诉学生， 用各种美丽的画面， 讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。 把重点放在如何证明上。 多种证明。 最后联系到费马大定理 an + bn = cn (n3)。 哪一种更能体现数学本质？,4,4,26,例11。文字代表数的本质： 符号运算 （只代表， 不运算， 没有价值）,项武义教授： “ 文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算。 如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) （教材上没有讲为什么可以这样做）。 解二次方程： 因子分解、配方、同解变换 根 数学家之所以有饭吃， 在于能够运用
12、符号获得结果 （复旦 张荫南）,4,4,27,数学符号是一种语言,语文靠想象， 将符号（方块字）用语法表示出来。 说话写下来就是文章。 数学靠理性， 将数学符号通过运算、演绎得到结论。 这是人为构造的语言。 语文、数学、诗词、定理， 都是符号运作 语文是“饭”， 不吃要死，容易煮熟。便宜 数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。 诗词是“酒”， 酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。,4,4,28,例12一个例子怎能概括出负负得正？,探究式教学。例：一列每小时80公里的火车向西开， 12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负， 12点之
13、后之前为时间的正负。 问10点时火车在什么位置？ 答案：（-2） x （-80）= 160于是概括得出数的运算的规律负负得正。 （先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律 ）数学不允许这样的概括。 有意义的接受（先做后说）。先有规则， 后有解释。先执行， 然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。 先举例是探究， 后举例说明是有意义接受。,4,4,29,例13。函数的两个定义： 宏观与微观,人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子； 艺术上的写意与工笔 初中的函数从大局发展着眼， 宏观地观察数量之间彼此依存的关系， 看总体发展趋势。 宏观函数概念的本质是变量之间的依
14、赖性。 高中函数定义讲究微观地、静态地观察， 用两个数集之间的对应来描述。 微观函数概念的本质在于精确化的对应。 两种定义互有短长，并非高级与低级之分 。,4,4,30,函数定义中 “唯一”重要吗？,唯一不是本质。 不唯一成多值函数而已。 多值函数单值化即可。 描写圆的函数， 上半圆和下半圆。 反三角函数,4,4,31,例14。 函数的单调性,单调性的本质是描述函数的变化趋势。这可以直观地观察， 画图，数列等 但是，单调性概念的数学本质在于处理无限变化的趋势；呈现的方式对“任意”两个自变量 x1 x2 ,都有 f(x1)0， 糖水变甜； b/a (b+m) / (a+m)如果 b/a d/c
15、是两杯不一样甜的糖水倒再一起， 甜度会怎样？ b/a (b+d)/(a+c) d/c这不是证明， 却把握了数学过程的本质,4,4,37,20。 放烟火 （Interactive Mathematics Project) 主题教学,一元二次函数的单元模型。 高楼上放烟火， 形成的曲线。 顶点 落地点 与物理的关系： 抛物线。 大模型， 不是一节课的引入问题,4,4,38,例21。三角函数。 单摆，电磁波,y = ASin(t +) 周期性。这是基本概念。 举例（波动， 简谐运动， 课程表， 潮汐 和谐性。 这是三角函数的特征。 音乐， 单摆，电磁波。 相位性。理解三角函数变换的难点。 原始性。
16、不定元 X 可以构造多项式， 分式、无理式； sinx 可以构造各种三角函数，用来逼近其他函数。 三角恒等变换只是工具而已,4,4,39,例22.余弦定理与三点距离问题 - 表示培养能力,（荷兰）甲离学校10公里， 乙离甲3公里， 问乙离学校几公里？训练学生的数学表示能力。甲、乙、学校在一条直线上？ 没有说。 校 乙 甲 乙 坐标。参数。复数。空间,4,4,40,例23。四维空间的4-方体（苏联中学数学教材的一道空间想象题）,四维空间单位方体的顶点数.棱数, 面数, 三维面数, 四维体数? 解：顶点数：23 =16。 棱数：（16 4）/2 = 32 二维面：（16 C42）/4 = 24 三
17、维面： （16 C43 ）/8 = 8 四维面： 1 一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 + + 1 爱因斯坦的四维时空可以进入中学数学,4,4,41,例24。微积分的问题驱动,（1） 全局的问题。抛物线 y = x2 , 可以用许多方法研究， 试观察它的切线。 （2）关键的问题。割线的极限位置 （3）增量的重要性微积分是增量分析 （4）增量比的极限克服极限,4,4,42,例25 增量分析： 微积分的本质。,y = f(x) , y 随 x的变化而变化 。 销量随价格的变化而变化。太普通 增量的提法： 价格变一元， 销量变多少？很重要。所以我们要研究 y的增量和x的增量之比的极限
18、。,4,4,43,例26。瞬时速度,瞬时速度是出发点？ 还是微积分的应用？ 瞬时速度是原始概念， 快车赶上慢车的一刹那。 小学里没有面积的概念， 就可以求面积。 道理是一样的。,4,4,44,例27。概率的统计本质,传统：掷骰子 等可能性 排列组合 理论概率 计算概率（考试） 现代：掷骰子 实验 频率 经验概率 理论概率 排列组合 理论概率计算 统计方法。,4,4,45,理论概率和经验概率,等可能性出发定义概率 （北师大版） 传统。形式化处理。但是片面。 不能解释降水概率、次品率、事故率等等 用实验方法以频率取代概率（华东师大版）可能比较难以捉摸。但是符合实际。 两种不同的思想体系。怎样呈现概
19、率的“教育形态”， 是一个理论问题， 也是实践问题。,4,4,46,信息时代的数学新课题：算法,算法并不陌生。 先乘除， 后加减； 分数通分；高斯消去法；求最大公约数的辗转相除法； 珠算口诀 算法是人和计算机相通的语言。 算法成为公民科学素质的一部分。 印度的经验。 赋值语句，条件语句，循环语句。,例28。用迭代方法解决问题（录自美国数学课程标准， 2000）,一位女生在打排球时膝盖受伤。她的医生要她在10天内每8小时服用两粒220毫克的药片， 以减轻伤痛。 如果她的身体每8小时吸收60%的药物， 那么10天后， 她身体中还有多少毫克的药物？,47,迭代进入中学数学,48,4,4,49,第二部
20、分,数学文化的孕育与体现,4,4,50,数学文化：支撑数学的基础,音乐 不等于 音符节拍 美术 不等于 线条颜色 数学 不等于 逻辑程式 光彩照人的女王 X光照片下的骨架！,4,4,51,丘成桐,4,4,52,数学之为学，有其独特之处，可说是人文科学和自然科学的桥梁。,数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。 我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。 从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积
21、分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。,4,4,53,江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。,好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。,4,4,54,。 气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养,王国维在人间词话中说：“词以境界为最上。有境界则自成高格。”他并因此而区分了“造境”与“写境”，“有我之境”与“无我之境”等。 解除名利的束缚，俾欣赏大
22、自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。,4,4,55,数学文化的建设,数学文化 数学史 数学文化要从数学思想和一般文化的互动中进行考察。,4,4,56,揭示数学背后隐藏的文化价值,数学通过了考试， 是否获得了理性思维的训练。 猪八戒吃人参果？ 数学教学要把数学的文化价值展现， 帮助学生体会。,4,4,57,例1.“对顶角相等”是否要证明？,数学与民主古希腊城邦实行奴隶主的民主政治。 民主要求说服、说服需要证明、公理化方法得到应用。 几何原本。 命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量， 其差相等。,A,B,C,4,4,58,中国古代数学是官方管理数学,春秋战国， 百家争鸣
23、。 实行谋士向君王建议治国之道。与古希腊统治阶级实行民主政治不同。 中国数学为帝王的统治服务。 九章算术：丈量田亩、计算税收、分摊徭役、计算土方、运输计费 没有“对顶角相等”。 勾股定理 古希腊与中国都有古希腊重证明； 中国重算法。 理性思维 - 数学的德育教育功能。,4,4,59,例2 对称和对仗,对称是几何变换。 变换之后有不变的量。轴对称、中心对称后图形不变、长度角度都不变。 中国的对仗：“明月松间照，清泉石上流”（王维诗句）。 “明月” 对“清泉”， 变中有不变。形容词对形容词， 名词对名词， 自然景物仍然是自然景物。 文化上看， 二者异曲同工。只是数学更加准确、比较抽象而已。,4,4
24、,60,例3。 时间和空间,初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人， 后不见来者， 念天地之悠悠， 独怆然而涕下。”这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。 时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。 天地各为两个平面， 悠悠地、无限地伸展着。 我们的几何就是在这样的空间里展开的。 实际上， 地球上的几何就超出了这个范围： 非欧几何。揭示数学的文化内涵,4,4,61,其他数学意境,孤帆远影碧空尽， 惟见长江天际流。 （徐利治：极限意境）众里寻他千百度，蓦然回首， 那人却在灯火阑珊处。 （王国维人间词话） （解题意境）,4,4,62,例4。 丘成桐谈史记,2002年8月20日早上中央电视台东方时空
25、的“东方之子”栏目 （方静采访） “我读史记象欣赏歌剧， 一幕幕地展开。” 华彩乐章如：高山仰止， 景行景止。 历史是宏观的。 学习历史会使人用宏观观点考察事物。 我提出的数学想法往往和别人的不一样， 就是得力于史记,4,4,63,例5。 变化中的不变量,与时俱进， 但是主要民族传统不变。 物理学的能量守恒、动量守恒 数学中的不变规律：对称；分数的不同表示， 交换率， 方程的同解； 恒等式 sin2x + cos2x =1; （数学思想方法之一） 几何不变量，代数不变量。 拓扑不变量： 多面体欧拉定理， 七桥问题。 陈类,4,4,64,例6。 微积分中的中国史料,李善兰、伟列亚力译：代微积拾级
26、（1859） 日本学者学习微积分的唯一通道（1870年以前） 京师同文馆，除“经学”和“数学”外， 物理、化学、博物等全聘外国人。 数学教习就是李善兰。,4,4,65,中国最早的微积分译作,李善兰（1811 1882）,禾彳天 意思是 dx,4,4,66,清末中国数学的亮点,李善兰恒等式:戴煦数 tan x = ( Dn / (2n-1)!) x2n-1 .欧拉数 secx = ( En / 2n!) x2n Dn 1， 2，16，272，7936，353792， (可惜不懂微积分，没有用泰勒公式）,4,4,67,例7。 线性组合与通解（项武义）,孙子算经中国剩余定理 同余式组：x = b1
27、(mod m1), x = b2 (mod m2) x = b3 (mod m3)可以归结为 b1 b2 b3 为（1，0，0），（0，1，0）（0，0，1）时的特解， 然后可以用系数乘特解的线性组合得到通解。,4,4,68,例8。 伟大的期望值,中国的麻将为什么不能产生概率论？ 概率是一定会有的。 数学期望才是催生理性思考的问题有一笔赌金， 甲、乙两人竞赌， 输赢的概率各为1/2， 以先累计达到5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中， 因故突然终止。 此时， 甲赢了4局， 乙赢了3局。 问这笔赌金该如何分配才合理？ 4/7 和 3/7 比较合理 ？,4,4,69,例9 战后： 1948年的数学
28、地图,1948： 美国仙农发表信息的数学理论1948：维纳发表控制论。信息、控制是数学吗？1948： von Neuman 计算机方案形成 中国缺乏这样的数学偶像,4,4,70,例10。1970年走出布尔巴基的光环,布尔巴基的结构主义 冲破“函数论”王国 用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。 集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓扑、泛函分析 融为一体。 不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学 1950年。吴文俊在科学通报介绍布尔巴基。 无人喝彩。 1970年。 年轻数学家走出布尔巴基的影响 1980年。 中国大规模介绍布尔巴基学派。,4,4,71,最后：,谨慎地接受西方
29、的教育理论！,4,4,72,建构主义的某些主张并不新鲜,知识是学生自己建构的 学生不是一张白纸 学生的头脑不是一张空桶 知识是不能灌输的。 建构主义教育建议：自主、探究、合作。 我们都同意！以前也是这样提倡的！,4,4,73,能动的反映论,教师为主导， 学生为主体。 师傅领进门， 修行在个人。 启发式教学，师生讨论， 反对满堂灌。 谁说“学生是一张白纸？” “能动的反映论”！ 知识是不能传授的？科学传授+主动接受是好的教育？,4,4,74,认识论 教学论,教育要讲究效率， 因为我们是把人类几千年积累的知识， 取其精华， 在“很短的时间内， 让学生掌握， 并形成能力。 建构主义是认识论。 实践论
30、也是解决认识论问题。 建构主义认识论比较精致， 但是有唯心倾向。,4,4,75,建构主义的定义(http:/www.mathforum）,建构主义是一种科学理论， 不能庸俗化。台湾的失败。 （知识是个人学习的， 大白话。）“什么是建构主义？如下的解释能够同意吗? “ 学生需要对每一个数学概念构造自己的理解， 使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键， 是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话,4,4,76,人的知识多半是主动接受而来大多是间接经验， 少量的直接经验,书籍、报刊的阅读， 电视的传播，世纪大讲堂。 领导的讲话， 听名人报告。 政府颁布的法律，遵守就是了 交通规则的遵守， 学开车知道照办 这些都是“单向传输的”为什么教师在课堂讲授就是错误的？ 西方课堂上教师与学生讲话 8：1香港是 16：1 （TIMSS调查，1999）,4,4,77,数学教育的核心是让学生掌握数学本质； 教育数学的目标是为学生提供优质数学。,4,4,78,谢谢大家！,
