1、拓扑学一、填空题1、设 X=a,b,c,d,x上的拓扑 =,X,a,b,c,a,b,c，则b的闭包等于_2、若拓扑空间 X存在着一个既开又闭的非空真子集，则 X是一个_3、设a,b,c，X 上的拓扑 =,X,a,a,b，在拓扑空间（X,）中，所有闭集为_4、在平庸空间中 R中，在（0,1）上的导集是_5、设 X=1,2,3，X 的拓扑 =X,1,2,3，则 X的子集 A=1,2的内部为_6、设 A是拓扑空间 X的一个子集，若 的闭包等于，则的补集是的一个_集7、设 Y为拓扑空间 X的子空间，X 的拓扑为 T，则 Y的拓扑为_8、 设 X，Y 均为拓扑空间，XY 是 X和 Y的积空间，若 X的拓
2、扑为 T1，Y的拓扑为 T2，则积空间 XY的基为_9、若拓扑空间 X有一个可数基，则 X是一个满足第_可数性公理的空间。10、实数集 R的拓扑为 T=_二、选择题1、已知 X=1,2,3，X 的拓扑为 T=,X,1,1,3,则 X为_A T0空间 B T 1空间 C T 2空间 D 以上都不正确2、已知 X=a,b,c,d，X 上的拓扑为 T=X,a,b,c,a,b,c，则a=_3、在平庸空间 R中，0,1是 R的_A 开集 B 闭集 C 不开不闭 D 既开又闭4、设 X=1,2,3，X 上的拓扑为 T=X,1,2,3，则 X是_A T0空间 B T1 空间 C 不连通空间 D 连通空间5、
3、设 R为实数集，则 R作为离散空间是_A 连通空间 B A1 空间 C 紧致空间 D、忘了.三、判断题1、已知 X=a,b,c，X 上的拓扑为 T=X,a,a,b,a,c，Y=a,c是 X的子空间，则b为子空间 Y的 一个开 集 （ ）2、设实数集 R的拓扑为 T=UCR|1U，则在拓扑空间（R,T）中有(0,1)o=0,1 （ ）3.平庸空间 X中任一个序列X iiZ+ 都收敛 （ ） 4、不可数的离散空间不是 A2空间 （ ）5、设 X=a,b,c,d，X 上的拓扑为 T=X,a,b,c,d，则 d(a)=a （ ）6.连续映射一定是开映射 （ ）7、设 X=X1X26是拓扑空间 X1，X
4、 2，X 6的积空间，若 P2是 X到X2的投射，则 P2是闭映射 （ ）8、设 X为拓扑空间，Y 是 X的子空间，则 Y的开集也一定是该空间的闭集 （ ）9、拓扑空间中存在每一个子集的导集一定是该空间的闭集 （ ）10、设实数集 R的拓扑为 T=UCR|R-U为有限集，则在拓扑空间（R,T）中0为闭集 （ ）四、辨析题1、设 X=a,b,c,d，问：X 的子集族 S=a,b,c,c,d是否为 X的某个拓扑的子集？并说明理由。如果是，请求出 X的以该子集族 S为子基的拓扑。2、设正整数集 Z+的拓扑为 T=UCZ+|1U，在拓扑空间（Z+,T）中求集合1的闭包。五、证明题1、设 Z+是正整数集，T=UCZ+|1U为 Z+上的拓扑（1）证明8是 Z+上的闭集（2）证明（Z+，T）是连通空间2、设 X为紧致空间，R 为实数空间，f：XR 为连续的一一映射。证明 f为同胚映射3、设 X为拓扑空间，R 为实数空间，f：XR 为连续映射，证明：集合xX|f（x）=0是 X的闭集4、设 A为实数空间 R的非空真子集，证明 A的边界不等于空集。
