1、计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导58利用 Matlab 编程实现主成分分析1.概述 Matlab 语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域 ) 最具影响力、也是最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。1.1主成分分析计算步骤 计算相关系数矩阵（1）ppprrrrR 21
2、2112在（3.5.3）式中，r ij（ i， j=1， 2， ， p） 为原变量的 xi 与 xj 之间的相关系数，其计算公式为（2）nknkjjiikjkjiiij xxr1122)()(因为 R 是实对称矩阵（即 rij=rji） ，所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导59 计算特征值与特征向量首先解特征方程 ，通常用雅可比法（Jacobi）求出特征值0RI，并使其按大小顺序排列，即 ；然后分别求),21(pi 0,21p出对应于特征值 的特征向量 。这里要求 =1，即 ，i ),2(pie ie12pjie其中 表示向量
3、的第 j 个分量。ijeie 计算主成分贡献率及累计贡献率主成分 的贡献率为iz ),21(1pipki 累计贡献率为 ),21(1pipkik一般取累计贡献率达 8595%的特征值 所对应的第一、第二，m,21，第 m（ m p） 个主成分。 计算主成分载荷其计算公式为（3）),21,(),( pjiexzpljiij 计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导60得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分（4）nmnmzzzzZ 2121122.程序结构及函数作用在软件 Matlab 中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程
4、来实现；二是直接调用 Matlab 种自带程序实现。下面主要主要介绍利用 Matlab的矩阵计算功能编程实现主成分分析。2.1程序结构主函数子函数2.2函数作用Cwstd.m用总和标准化法标准化矩阵Cwfac.m计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于 85%） ，输出主成分个数；计算主成分载荷Cwprint.mCwstd.m Cwfac.m Cwscore.m计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导61Cwscore.m计算各主成分得分、综合得分并排序Cwprint.m读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果
5、3.源程序3.1 cwstd.m 总和标准化法标准化矩阵%cwstd.m,用总和标准化法标准化矩阵function std=cwstd(vector)cwsum=sum(vector,1); %对列求和a,b=size(vector); %矩阵大小,a 为行数,b 为列数for i=1:afor j=1:bstd(i,j)= vector(i,j)/cwsum(j);endend3.2 cwfac.m 计算相关系数矩阵%cwfac.mfunction result=cwfac(vector);fprintf(相关系数矩阵:n)std=CORRCOEF(vector) %计算相关系数矩阵fpri
6、ntf(特征向量(vec) 及特征值 (val)：n)vec,val=eig(std) %求特征值(val)及特征向量(vec)newval=diag(val) ;y,i=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y 为排序结果，i 为索引fprintf(特征根排序：n)for z=1:length(y)newy(z)=y(length(y)+1-z);endfprintf(%gn,newy)rate=y/sum(y);fprintf(n 贡献率： n)计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导62newrate=newy/sum(newy)sumrate=0;new
7、i=;for k=length(y):-1:1sumrate=sumrate+rate(k);newi(length(y)+1-k)=i(k);if sumrate0.85 break;end end %记下累积贡献率大 85%的特征值的序号放入 newi 中fprintf(主成分数：%gnn,length(newi);fprintf(主成分载荷：n)for p=1:length(newi)for q=1:length(y)result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)*vec(q,newi(p);endend %计算载荷disp(result)3.3 cwscore.m%cw
8、score.m,计算得分function score=cwscore(vector1,vector2);sco=vector1*vector2;csum=sum(sco,2);newcsum,i=sort(-1*csum);newi,j=sort(i);fprintf(计算得分：n)score=sco,csum,j %得分矩阵：sco 为各主成分得分；csum 为综合得分；j 为排序结果3.4 cwprint.m%cwprint.mfunction print=cwprint(filename,a,b); %filename 为文本文件文件名，a 为矩阵行数(样本数) ，b 为矩阵列数(变量指
9、标数)fid=fopen(filename,r)vector=fscanf(fid,%g,a b);fprintf(标准化结果如下：n)v1=cwstd(vector)result=cwfac(v1);计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导63cwscore(v1,result);4.程序测试4.1原始数据中国大陆 35 个大城市某年的 10 项社会经济统计指标数据见下表。城 市名 称年底总人口(万人)非农业人口比(%)农 业总产值(万元)工业总产值(万元)客运总量(万人)货运总量(万吨)地方财政预算内收入(万元)城乡居民年底储蓄余额(万元)在岗职工人数(万人)在岗职工工
10、资总额(万元)北 京 1 249.90 0.597 8 1 843 427 19 999 706 20 323 45 562 2 790 863 26 806 646 410.80 5 773 301天 津 910.17 0.580 9 1 501 136 22 645 502 3 259 26 317 1 128 073 11 301 931 202.68 2 254 343石 家 庄 875.40 0.233 2 2 918 680 6 885 768 2 929 1 911 352 348 7 095 875 95.60 758 877太 原 299.92 0.656 3 236 038
11、 2 737 750 1 937 11 895 203 277 3 943 100 88.65 654 023呼和浩特 207.78 0.441 2 365 343 816 452 2 351 2 623 105 783 1 396 588 42.11 309 337沈 阳 677.08 0.629 9 1 295 418 5 826 733 7 782 15 412 567 919 9 016 998 135.45 1 152 811大 连 545.31 0.494 6 1 879 739 8 426 385 10 780 19 187 709 227 7 556 796 94.15 965
12、 922长 春 691.23 0.406 8 1 853 210 5 966 343 4 810 9 532 357 096 4 803 744 102.63 884 447哈 尔 滨 927.09 0.462 7 2 663 855 4 186 123 6 720 7 520 481 443 6 450 020 172.79 1 309 151上 海 1 313.12 0.738 4 2 069 019 54 529 098 6 406 44 485 4 318 500 25 971 200 336.84 5 605 445南 京 537.44 0.534 1 989 199 13 072
13、737 14 269 11 193 664 299 5 680 472 113.81 1 357 861杭 州 616.05 0.355 6 1 414 737 12 000 796 17 883 11 684 449 593 7 425 967 96.90 1 180 947宁 波 538.41 0.254 7 1 428 235 10 622 866 22 215 10 298 501 723 5 246 350 62.15 824 034合 肥 429.95 0.318 4 628 764 2 514 125 4 893 1 517 233 628 1 622 931 47.27 369
14、 577福 州 583.13 0.273 3 2 152 288 6 555 351 8 851 7 190 467 524 5 030 220 69.59 680 607厦 门 128.99 0.486 5 333 374 5 751 124 3 728 2 570 418 758 2 108 331 46.93 657 484南 昌 424.20 0.398 8 688 289 2 305 881 3 674 3 189 167 714 2 640 460 62.08 479 ,555济 南 557.63 0.408 5 1 486 302 6 285 882 5 915 11 775 4
15、60 690 4 126 970 83.31 756 696青 岛 702.97 0.369 3 2 382 320 11 492 036 13 408 17 038 658 435 4 978 045 103.52 961 704郑 州 615.36 0.342 4 677 425 5 287 601 10 433 6 768 387 252 5 135 338 84.66 696 848武 汉 740.20 0.586 9 1 211 291 7 506 085 9 793 15 442 604 658 5 748 055 149.20 1 314 766长 沙 582.47 0.310
16、7 1 146 367 3 098 179 8 706 5 718 323 660 3 461 244 69.57 596 986广 州 685.00 0.621 4 1 600 738 23 348 139 22 007 23 854 1 761 499 20 401 811 182.81 3 047 594计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导64深 圳 119.85 0.793 1 299 662 20 368 295 8 754 4 274 1 847 908 9 519 900 91.26 1 890 338南 宁 285.87 0.406 4 720 486
17、1 149 691 5 130 3 293 149 700 2 190 918 45.09 371 809海 口 54.38 0.835 4 44 815 717 461 5 345 2 356 115 174 1 626 800 19.01 198 138重 庆 3 072.34 0.206 7 4 168 780 8 585 525 52 441 25 124 898,912 9 090 969 223.73 1 606 804成 都 1 003.56 0.335 1 935 590 5 894 289 40 140 19 632 561 189 7 479 684 132.89 1 20
18、0 671贵 阳 321.50 0.455 7 362 061 2 247 934 15 703 4 143 197 908 1 787 748 55.28 419 681昆 明 473.39 0.386 5 793 356 3 605 729 5 604 12 042 524 216 4 127 900 88.11 842 321西 安 674.50 0.409 4 739 905 3 665 942 10 311 9 766 408 896 5 863 980 114.01 885 169兰 州 287.59 0.544 5 259 444 2 940 884 1 832 4 749 16
19、9 540 2 641 568 65.83 550 890西 宁 133.95 0.522 7 65 848 711 310 1 746 1 469 49 134 855 051 27.21 219 251银 川 95.38 0.570 9 171 603 661 226 2 106 1 193 74 758 814 103 23.72 178 621乌鲁木齐 158.92 0.824 4 78 513 1 847 241 2 668 9 041 254 870 2 365 508 55.27 517 6224.2运行结果 cwprint(cwbook.txt,35,10)fid =6数据标准
20、化结果如下：v1 =0.0581 0.0356 0.0435 0.0680 0.0557 0.1112 0.1194 0.1184 0.1083 0.13920.0423 0.0346 0.0354 0.0770 0.0089 0.0642 0.0483 0.0499 0.0534 0.05440.0407 0.0139 0.0688 0.0234 0.0080 0.0047 0.0151 0.0314 0.0252 0.01830.0139 0.0391 0.0056 0.0093 0.0053 0.0290 0.0087 0.0174 0.0234 0.01580.0097 0.0263
21、0.0086 0.0028 0.0064 0.0064 0.0045 0.0062 0.0111 0.00750.0315 0.0375 0.0305 0.0198 0.0213 0.0376 0.0243 0.0398 0.0357 0.02780.0253 0.0295 0.0443 0.0286 0.0295 0.0468 0.0304 0.0334 0.0248 0.02330.0321 0.0242 0.0437 0.0203 0.0132 0.0233 0.0153 0.0212 0.0270 0.02130.0431 0.0276 0.0628 0.0142 0.0184 0.0
22、184 0.0206 0.0285 0.0455 0.03160.0610 0.0440 0.0488 0.1853 0.0176 0.1086 0.1848 0.1148 0.0888 0.13520.0250 0.0318 0.0233 0.0444 0.0391 0.0273 0.0284 0.0251 0.0300 0.03270.0286 0.0212 0.0334 0.0408 0.0490 0.0285 0.0192 0.0328 0.0255 0.02850.0250 0.0152 0.0337 0.0361 0.0609 0.0251 0.0215 0.0232 0.0164
23、 0.0199计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导650.0200 0.0190 0.0148 0.0085 0.0134 0.0037 0.0100 0.0072 0.0125 0.00890.0271 0.0163 0.0508 0.0223 0.0243 0.0175 0.0200 0.0222 0.0183 0.01640.0060 0.0290 0.0079 0.0195 0.0102 0.0063 0.0179 0.0093 0.0124 0.01590.0197 0.0237 0.0162 0.0078 0.0101 0.0078 0.0072 0.011
24、7 0.0164 0.01160.0259 0.0243 0.0350 0.0214 0.0162 0.0287 0.0197 0.0182 0.0220 0.01820.0327 0.0220 0.0562 0.0391 0.0367 0.0416 0.0282 0.0220 0.0273 0.02320.0286 0.0204 0.0160 0.0180 0.0286 0.0165 0.0166 0.0227 0.0223 0.01680.0344 0.0349 0.0286 0.0255 0.0268 0.0377 0.0259 0.0254 0.0393 0.03170.0271 0.
25、0185 0.0270 0.0105 0.0239 0.0140 0.0139 0.0153 0.0183 0.01440.0318 0.0370 0.0377 0.0793 0.0603 0.0582 0.0754 0.0901 0.0482 0.07350.0056 0.0472 0.0071 0.0692 0.0240 0.0104 0.0791 0.0421 0.0240 0.04560.0133 0.0242 0.0170 0.0039 0.0141 0.0080 0.0064 0.0097 0.0119 0.00900.0025 0.0497 0.0011 0.0024 0.014
26、6 0.0057 0.0049 0.0072 0.0050 0.00480.1428 0.0123 0.0983 0.0292 0.1437 0.0613 0.0385 0.0402 0.0590 0.03870.0466 0.0199 0.0456 0.0200 0.1100 0.0479 0.0240 0.0331 0.0350 0.02900.0149 0.0271 0.0085 0.0076 0.0430 0.0101 0.0085 0.0079 0.0146 0.01010.0220 0.0230 0.0187 0.0123 0.0154 0.0294 0.0224 0.0182 0
27、.0232 0.02030.0313 0.0244 0.0174 0.0125 0.0283 0.0238 0.0175 0.0259 0.0300 0.0213 0.0134 0.0324 0.0061 0.0100 0.0050 0.0116 0.0073 0.0117 0.0173 0.01330.0062 0.0311 0.0016 0.0024 0.0048 0.0036 0.0021 0.0038 0.0072 0.00530.0044 0.0340 0.0040 0.0022 0.0058 0.0029 0.0032 0.0036 0.0063 0.00430.0074 0.04
28、91 0.0019 0.0063 0.0073 0.0221 0.0109 0.0105 0.0146 0.0125相关系数矩阵:std =1.0000 -0.3444 0.8425 0.3603 0.7390 0.6215 0.4039 0.4967 0.6761 0.4689-0.3444 1.0000 -0.4750 0.3096 -0.3539 0.1971 0.3571 0.2600 0.1570 0.30900.8425 -0.4750 1.0000 0.3358 0.5891 0.5056 0.3236 0.4456 0.5575 0.37420.3603 0.3096 0.33
29、58 1.0000 0.1507 0.7664 0.9412 0.8480 0.7320 0.86140.7390 -0.3539 0.5891 0.1507 1.0000 0.4294 0.1971 0.3182 0.3893 0.25950.6215 0.1971 0.5056 0.7664 0.4294 1.0000 0.8316 0.8966 0.9302 0.90270.4039 0.3571 0.3236 0.9412 0.1971 0.8316 1.0000 0.9233 0.8376 0.95270.4967 0.2600 0.4456 0.8480 0.3182 0.8966
30、 0.9233 1.0000 0.9201 0.97310.6761 0.1570 0.5575 0.7320 0.3893 0.9302 0.8376 0.9201 1.0000 0.93960.4689 0.3090 0.3742 0.8614 0.2595 0.9027 0.9527 0.9731 0.9396 1.0000特征向量(vec) ：vec =-0.1367 0.2282 -0.2628 0.1939 0.6371 -0.2163 0.3176 -0.1312 -0.4191 0.2758计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导66-0.0329 -0.0
31、217 0.0009 0.0446 -0.1447 -0.4437 0.4058 -0.5562 0.5487 0.0593-0.0522 -0.0280 0.2040 -0.0492 -0.5472 -0.4225 0.3440 0.3188 -0.4438 0.2401 0.0067 -0.4176 -0.2856 -0.2389 0.1926 -0.4915 -0.4189 0.2726 0.2065 0.3403 0.0404 0.1408 0.0896 0.0380 -0.1969 -0.0437 -0.4888 -0.6789 -0.4405 0.1861-0.0343 0.236
32、0 0.0640 -0.8294 0.0377 0.2662 0.1356 -0.1290 0.0278 0.37820.2981 0.4739 0.5685 0.2358 0.1465 -0.1502 -0.2631 0.1245 0.2152 0.36440.1567 0.3464 -0.6485 0.2489 -0.4043 0.2058 -0.0704 0.0462 0.1214 0.38120.4879 -0.5707 0.1217 0.1761 0.0987 0.3550 0.3280 -0.0139 0.0071 0.3832-0.7894 -0.1628 0.1925 0.25
33、10 -0.0422 0.2694 0.0396 0.0456 0.1668 0.3799特征值(val)val =0.0039 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0240 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.0307 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0991 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1232 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2566 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0.3207 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0.5300 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2.3514 00 0 0 0 0 0 0 0 0 6.260
34、2特征根排序：6.260222.351380.5300470.3206990.2566390.1232410.09909150.03070880.02403550.00393387各主成分贡献率：newrate =0.6260 0.2351 0.0530 0.0321 0.0257 0.0123 0.0099 0.0031 0.0024 0.0004第一、二主成分的载荷：计量地理学 （徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导670.690 1 -0.64270.148 3 0.84140.600 7 -0.68050.851 5 0.31670.465 6 -0.67540.946 3
35、0.04260.911 7 0.32990.953 7 0.18620.958 9 0.01090.950 6 0.2558第一、二、三、四主成分的得分：score =0.718 5 0.049 9 0.768 4 2.00000.380 6 0.038 6 0.419 2 4.00000.184 8 -0.043 3 0.141 4 21.00000.118 6 0.031 1 0.149 7 20.00000.054 9 0.011 5 0.066 4 33.00000.228 8 0.007 0 0.235 8 7.000 00.2364 -0.0081 0.2283 10.00000.
36、1778 -0.0167 0.1611 16.00000.2292 -0.0337 0.1955 14.00000.8382 0.1339 0.9721 1.00000.2276 0.0064 0.2340 8.00000.2279 -0.0222 0.2056 12.00000.1989 -0.0382 0.1607 18.00000.0789 -0.0061 0.0728 32.00000.1711 -0.0317 0.1394 23.00000.0926 0.0266 0.1192 25.00000.0900 -0.0000 0.0899 28.00000.1692 -0.0082 0.1610 17.00000.2441 -0.0318 0.2124 11.00000.1507 -0.0108 0.1399 22.00000.2316 0.0012 0.2328 9.00000.1294 -0.0211 0.1083 27.00000.4716 0.0328 0.5045 3.00000.2737 0.0834 0.3570 5.00000.0754 -0.0013 0.0741 31.00000.0448 0.0349 0.0797 30.00000.4759 -0.2028 0.2731 6.00000.2907 -0.0883 0.2024 13.0000
