1、GCT 考点精讲班 -数学大学数学-不定积分不定积分内容综述1原函数与不定积分（1）原函数的定义：设函数 在区间 内有定义，若存在函数()fx,)ab，使得对于 内的任一点 , 都有 ,则称()Fx,ab()Fxf是 在 上的原函数f（2）原函数的构造：若函数 是 在区间 上的原函数，则()FxfI在区间 上的所有原函数是 ，其中 是任意常数()fxIC（3）不定积分的定义：若函数 是 在区间 上的一个原函数，则称()fI在区间 上的所有原函数 是 在区间 上的不定积分，()fIx()记作()dfFCNote：积分曲线 ，积分曲线族 yx()yx（4）不定积分的性质性质 1：不定积分具有线性性
2、质，即对任意（非零）常数 , 都有ab()d()()dafxbgxfxgx性质 2：积分运算与微分运算是一对逆运算，即；()d(),d()fxfFxC或 ()(),()ff（5）基本积分公式 ()dfx()FxCkkx1()x1dlnCxa1lxaedesinxcosxCcodin2sextaxccosectandxsecxCo21dxarctnxsiC2.第一换元积分法-凑（微分）法想法： ()()d()d()()uhxfxggGuhxC定理：若 ，函数 可导，则GC例：求 tan解： sidcosdlncscoxxx3.第二换元积分法想法： () 1()d()()xhtfftgtGtChx
3、 定理：若 ，且函数 的导数不等x于零，则 1()()fxh例：求 2dax解：作代换 ，则 ，原式变成sinucosdau221(1)(sin)auC2 2(sic)(arcsin)axC4. 分部积分法公式： ， 或 ()d()()duxvxvxu 例：求 ，ln2e解： d()ln(l)dlnlxxxxC 222ee2eCNote：几种能用分部积分公式计算的不定积分（1）被积函数与对数函数有关的情况， ， lndx2l(1)dx2lndx（2）被积函数与反三角函数有关的情况： ， arcsi，arct（3）被积函数与三角函数有关的情况： ， 2i2os（4）被积函数与指数函数有关的情况（
4、与三角函数的情况类似）不定积分典型例题例 11-1 与 是否为同一个函数的原函数？2sinx1cos解： ，iin2xcs(s)si2xx例 11-2已知 的一个原函数为 ，求 ，()f2ex()dfd解 221()()exfxfxCd例 11-3 （200520）设 是 的一个原函数，则不定积分2lnf=（ ） ()dxfA B3321l9xC2lnxCC D32nx分析：由于 2 2()lln,()dlnfxfxx，所以d()lxfffC即正确选项为 C例 11-4 设 ，求 ()darctnxfxC1d()xf解 因为 ，所以 2因此 .241()() Cfx例 11-5 cotdlnsi解： csdiln(i)xx(lnsi)xliC例 11-6 32lnedx解 33332ln211ed()exxxxC例 11-7 d1解： x2()xarcsinx例 11-8：求 1dex解：1eedd(1)dln(e1)exxxx C或 ()1e()ex xx xlnln1C或 e1dll(e)()xt xt C例 11-9 421x解 ：令 ，则tan42dx34cosdit1si(n)t31siniCt232xx例 11-10 ln(1)dx解 ln(1)d2ln(1)d)xxl21n()41xxC例 11-11 sid解：令 ，则2xtin1sinxtcostC22i1x
