1、GCT 考点精讲班 -数学大学数学-定积分定积分内容综述1定积分的概念（1）曲边梯形的面积 ab1ixi)(xfyxyOab)(xfyxyO（2）定积分的定义：设函数 在区间 上有定义，若对于 的任意()f,划分 ，及任取的点 ，极01naxxb 1kkx限 都存在，则称函数 在区间 上lim()nkf()f,ab（Riemann）可积，其极限值称为 在区间 上的定积分，记作 f,01()dlim()nbkaxfx（3）定积分的几何意义：平面图形的面积（4）函数平均值的概念： ()dbaf2.定积分的性质（1）定积分的 线性性质：若函数 都在 上可积，则对任意的实数 ，(),fxg,ab12,
2、k函数 在 上也可积，且12k12()()d()d()db ba aafkfxgx（2）定积分的区间可加性：若 ， ，则 在,fRcf与 上均,c可积，且()d()()dbcbaacfxfxfx反之亦然（3）定积分的方向性： ()()babff（4）特殊函数定积分的性质（奇偶性、周期性）：若函数 在 上可积，x,a则 0,()isodfuncti()d2()dev.aaffxfx，若函数 可积且以 为周期，则对任意的实数 ，都有Ta0()()aTffx（5）定积分的比较定理（保号性）:若函数 都在 上可积，且,g,b，则 ()fxg ()d()bbaafx（6）绝对值函数的可积性：若函数 在
3、上可积，则其绝对值函数,在 上可积，且 ()fx,ab()d()dbbaafxfx（7）定积分的估值定理：若函数 在 上可积，且,，则()mfM ()d()bafxba （8）积分中值定理：若函数 在 上连续，则存在 ，使得,()()baff注 1：本定理说明，当函数 连续非负时，曲边梯形的面积 恰好等x()dbafx于一个矩形的面积，此矩形的底为 ，高为 ()f注 2： 是函数 在 上的平均值，对连续函数来说，其平()dbaf()fx,ab均值一定是某一点的函数值3变限定积分函数（1）变限定积分函数的定义： ()()dxaFft（2）变限定积分函数的性质 连续性：000 0lim()li()
4、()()xxaaxftftFx 可导性：若函数 在 上连续，则 在f,bdaft上可导，且,ab()Fxf即 ()dxaftNote： () (),d()gxgxaaFftFftfgx Note：()dgxhft() ()() ()()gxagxhxFftftgxfh 4定积分的计算-牛顿-莱布尼兹公式：设函数 在区间 上连续， 是 在区间 上的一()f,b()Ff,ab个原函数，则()d()afx5定积分的换元积分法和分部积分法 ()()d()d()dbbbhbaaaafxghxghxgu；()d()()db baafxgfxgfxg 6定积分的几何应用（1）平面图形的面积： ()baAf（
5、2）旋转体的体积： 2()dbaVfx（3）平面曲线的长度： 221()d()dbbaalfxxtyt定积分典型例题（概念与性质）例 7-1利用定积分的几何意义 2a解: 21dax例 7-2计算22()4x解： 222()d4d04x x例 7-3 （200521）设连续函数 在 内严格单调递增，且yfx,a， ，若 是 的反函数，则0ffag=( ) 0dafxgA B C 2a2f02afxdD 0x分析：如图，根据定积分的几何意义可知：，所以000(),()()aaafxdgydxB即正确选项为 B2Af例 7-4.（2011.19 ）若 是 的一个原函数，则 （ 21x()f10d(
6、)xf）.A. B. C. D. 41答：C分析：本题主要考查了原函数的概念和定积分的几何意义因为 ，所以22()1)xxf100dd()4f 注：定积分 表示的是圆弧 与直线 ，2x21yx0及 所围区域的面积1xyaaAB)(xfy例 7-5.（2011.21 ）设 在 上单调连续， ()fx0,2，且对任意 总有(0)1f，1,x， 是 的反函数，212xff()gf，则（ ）.1()dPgA. B. 34， 3P，C. D. 201答：D 分析：本题主要考查了凸函数的定义、反函数的概念、定积分的几何意义由题意，函数 在区间 是上凸()yfx0,2函数根据反函数的概念及定积分的几何意义，
7、表示的是图中曲边 的面积，其值小于 21()dPgABC1例 7-6 比较 与 ， 与 的0ex21x10dx0ln()dx大小解 因为当 时， ， ，1x2xl(1)所以 ，0ed201x1ln()x221CBA例 7-7 （200919）设函数 在 上连续若在 内()gx0,2(0,)2，则对()0gx任意的 有（ ） ,2A B()(sin)xxgtdtd11C D()(si)xxtt22ngdd【分析】 因为 ，所以函数 在区间 上()0,()x()gx0,)2单增，又当 时，,2t，所以 ，从而sin()sin)gtt， 22xxtdd(0,)2x正确选项为 A定积分 典型例题（运算
8、） 例 13-1.（2011.20）若函数 ，则 （ 2()edxty21()xy）.A. B. C. D. 4e0114答：A分析：本题考查了变限定积分的导数公式因为 ，20dexyx，2(1)exx所以21d()0xy例 13-2：求下列函数的导数（1） ， （2 ）20()()xFftd0()(xFftd解：（1）因为 2 2200 0()()()()x xxftfudfud，所以 Ff（2）因为 ，2001()()()xxFftdfud所以 221xff例 13-3已知函数 由方程 确()y2sin0edcod0xtyt定，求 dx解 因为 ， 所以21sin20coxtyetd2(i)dx因此 22cosinyex例 13-4：若函数 由参数方程 确定，则()yx221sid,nttuy（ ） 3dtxA B C D 23
