1、1导数与微分题型一 利用函数的定义研究函数的可导性1 设 ，2()limsn()(txfxgxtt其中 有二阶导数，求 。()gx()fx2 设函数 对任意 均满足等式()fx，且有 ，求 。(1)(fxaf(0)fb1f3 设 可导， ，若使 在 处可导，则必有（ sinFxx()Fx0） 。()0Af()0Bf()(0)Cff。()D题型二 利用函数的导数求曲线的切线和法线方程4 已知 是周期为 5 的连续函数，它在 的某个领域内满足关系式()fx 0x，其中 是当 时比 高阶的无穷1sin31sin)8()fxo()x小，且 在 处可导，求曲线 在点 处的切线方程。()xyfx6,()f
2、5 求曲线 在点 处的法线方程。si2cotey(0,1)题型三 求复合函数的导数及抽象函数的导数6 设 ，求 。2s()inxy7 设 ，其中 具有二阶导数，求 。2iyff 2dyx题型四 求隐函数的导数（或可化为隐函数的求导问题）8 设函数 是由 确定的，其中 具有二阶导数，且 ，求()x()fyef 1f。2dyx9 已知 ，其中 为二阶可微函数，求 。()fy()fx2dyx210设 ，求 。331yxdy题型五 求幂指函数和连乘函数的导数11设 ，求 。,(0,)xabyby题型六 混合形式的函数的导数12设函数 由 所确定，求 。()yx2arctn5tyedx题型七 求函数的高
3、阶导数13设 ，求 。22(1)xe(10)14设 ，求使 存在的最大的 。4)fx()nfn15设 ，其中 在 由 阶连续导数，求 。()naxxa1()nfa第三章 微分中值定理与导数的应用题型一 证明存在 ， 使 的命题。()0f1.设 在 上连续，当 时， （ 为常数） 。试证明：()fx,)axa()0fxK若 ，则方程 在 上有且仅有一个实根。0f(0f,2. 设函数 在闭区间 上具有二阶导数，且)(xf,ba。)(,)()bcafbaf 证明：在开区间 内至少存在一点 使得 。）（ 0)(f题型二 证明结论为 的命题0)(nf3.若 在区间 上有三阶导数，且 ，设 ，证明：在)(
4、xf10， )1(f )()(3xfF内存在一点 ，使得 。），（ 10)(F4. 设函数 在 上连续，在 内具有二阶导数且存在相等的最大(),fxg,ab(,)ab值，且 ，证明：存在 ，使得 。()af,()fg题型三 证明存在 ，使()(0)nfk35. 设 在 内上连续，在 内可导，且 ，但当 时，()fx0,1(0,1)(0)f(0,1)x，求证对任意自然数 ，在 内存在 ，使 。 （提()fn,()nff示：将所证结论中 改为 ，两边积分后，可作出辅助函数x） 。()(1)nFxf6. 假设函数 和 在 存在二阶导数，并且xg,ab()0,gx，试证：（1）在开区间 内 ；()()
5、0fab,ab（2）在开区间 内至少存在一点 ，使 。,a()ffg题型四 证明有两个中值 满足的某种关系的命题)(,7. 设 在 上连续，在 内可导，且 ，试证 ：存在()fx,ab,ab()1fab，使得,()1.ef（提示：将要证结论改写为 即证 。().fe().xxfe令 ，对其应用拉格朗日中值定理。 ）()()xFef8. 设 在闭区间 上可导，且满足关系式 ，证明在区间1,0 210)()(dxff内)1,0(至少存在一点 ，使得 。0)(ff题型五 证明函数的单调性和求单调区间9. 设函数 在 上， 且 ，则)(xf1,0)(xf)(f )0(,1f的大小顺序是（ ）)(,)1
6、(ffA)0(ff )(B)()(fff )(C)10(fD010110. 设函数 对一切 满足， ，若)(xf xexffx)(3)(24)0(,)(0xf则（ ）是 的极大值 是 的极小值)(A0xf)(f )(B)0xf(f点 是曲线 的拐点 不是 的极值C, )(xfyD题型六 关于不等式的证明12. 设 在 上具有二阶导数，且满足条件 ，其中()fx0,1 (),()fxafxb都是非负常数，证明：对任意 必有,ab(0,1)x2.f（提示： 再将 分别代入相减。2()()!fftxftt0,1t并注意）2(0,1)1.x13. 设 ，常数 ，证明 。eaxa)(14. 证明：当 时， 。x21x15. 设常数 ，证明：当 且 时，ln1k0x1。2(1)lnl0xxk5
