1、数学分析教案- 1 -第八章 不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。3.有理函数
2、的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18 学时 数学分析教案- 2 - 1 不定积分概念与基本公式（ 4 学时 ） 教学要求： 积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的
3、区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。教学重点：深刻理解不定积分的概念。一、新课引入： 微分问题的反问题，运算的反运算.二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例 1 填空: ; ( ; ; ; ;. 定义. 注意 是 的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.原函数的个数: Th 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是 在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 . ( 证 )数学分析教案- 3 -可见，若 有原函数 ，则 的全体原函数所成集合为 .原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ).
4、可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 在区间 上有原函数, 则 在区间 上有介值性.例 2. 已知 为 的一个原函数, =5 . 求 . 2.不定积分 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义.例 3 ; . （二）不定积分的基本性质: 以下设 和 有原函数. .(先积分后求导, 形式不变应记牢！). . (先求导后积分, 多个常数需当心！) 时， （被积函数乘系数，积分运算往外挪！） 由、可见, 不定积分是线性运算, 即对 , 有 数学分析教案- 4 -( 当 时,上式右端应理解为任意常数. )例 4 . 求 . ( =2 ). （三）. 不定积分基本公式: 基本积分表. 1P180
5、 公式 114.例 5 . （四）利用初等化简计算不定积分: 例 6 . 求 .例 7 .例 8 .例 9 .例 10 ; 例 11 .例 12 .三、小结2 换元积分法与分部积分法 （1 0 学时 ） 数学分析教案- 5 -教学要求： 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定
6、积分。教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入 二、讲授新课： （一）. 第一类换元法 凑微分法： 由 引出凑微公式.Th1 若 连续可导, 则 该定理即为：若函数 能分解为数学分析教案- 6 -就有 . 例 1 . 例 2 . 例 3 常见微分凑法： 凑法 1 例 4 例 5 例 6 例 7 由例 47 可见，常可用初等化简把被积函数化为 型，然后用凑法 1.例 8 . 数学分析教案- 7 -. 凑法 2 . 特别地, 有 . 和 . 例 9 . 例 10 例 11 . 例 12 =.凑法 3 例 13 例 14 数学分析教案- 8 -例
7、 15 . 例 16 凑法 4 . 例 17 凑法 5 例 18 凑法 6 . 例 19 .其他凑法举例: 例 20 .例 21 例 22 数学分析教案- 9 -.例 23 . 例 24 . 例 25 例 26 .三、小结 （二）第二类换元法 拆微法： 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即= = =引出拆微原理.Th2 设 是单调的可微函数,并且 又 具有原函数. 则有换元公式(证) 数学分析教案- 10 -常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1. 三角代换: 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令 , 则例 27 解法一 直接积分; 解法二 用弦换.例 28 . 例 29 . 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是 : 利用三角公式 即 令 . 此时有 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法 .例 30 .
