1、二次函数的定义1.一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称 为 的二次函数，其中 为2yaxbca， ， 0axx自变量， 为因变量， 分别为二次函数的二次项、一次 项和常数项系数.,这里需要强调：和一元二次方程类似，二次 项系数 ，而 可以为零二次函数的定义bc，域是全体实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自 变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次 项系数， 是一次项系数， 是常数项bc， ， bc二、二次函数的性质1二次函数 的性 质：2yax0（ ）（1） 抛物线 的顶点是坐标原点（0，0）， 对称轴是 （ 轴）.0xy（2） 函数 的
2、图像与 的符号关系.2 当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点；a2. 的性质：2yaxc3. 二次函数 的相关性质2yaxbc0a（ ）若二次函数解析式为 （或 ）( )，则：2x2()yaxhk0a（1） 开口方向： ， （2） 对称轴： （或 ），0向 上向 下 bxh（3） 顶点坐标： （或 ）24(,)bac(,)hk（4） 最值： 时有最小值 （或 ）（如图 1）； 0a24a时有最大值 （或 ）（如图 2）； cbk的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0， 轴y时 ， 随 的增大而增大； 时， 随0xyx0xy的增大而减小；
3、时， 有最小值 y向下 ， 轴 时 ， 随 的增大而减小； 时， 随的增大而增大； 时， 有最大值 xx的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c， 轴y时 ， 随 的增大而增大； 时， 随0xyx0xy的增大而减小； 时， 有最小值 yca向下 ， 轴 时 ， 随 的增大而减小； 时， 随的增大而增大； 时， 有最大值 xx12（5）单调性：二次函数 （ ）的变化情况（增减性）yaxbc0a 如图 1 所示，当 时，对称轴左侧 ， 随着 的增大而减小，在对称轴的右02bxyx侧 ， 随 的增大而增大；2bxayx 如图 2 所示，当 时，对称轴左侧 ， y 随着 x 的增大而增大，
4、在对称轴的右xa侧 ， 随 的增大而减小；xyx（6）与坐标轴的交点：与 轴的交点：（0，C ）；与 轴的交点：使方程 （或x20axbc）成立的 值.2()ahk3. 二次函数 图象的画法yxbc五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定2yabc2()yhk其开口方向、对称轴及顶点坐 标，然后在 对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与y0c， 0， c，轴的交点 ， （若与 轴没有交点， 则取两组 关于对称轴对称的点）.x10x， 2， x画草图时应抓住以下几点：开口方向， 对称轴， 顶点，与 轴的交点，与 轴的
5、交点.xy三、二次函数的图像与系数关系1. 决定抛物线的开口方向：a当 时 抛物线开口向上；当 时 抛物线开口向下00a决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小； 越小，抛物 线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若 相等， 则其形状相同，即若 相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.a2. 和 共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为： ）b 2bx当 时，抛物 线的对称轴为 轴；0y当 同号时，对称轴在 轴 的左侧；,a当 异号时，对称轴在 轴 的右侧.3. 的大小决定抛物线与 轴交点的位置.（抛物线与 轴的交点为 ）cyy0c，当 时，抛物线与 轴的交点 为原点；0
6、当 时，交点在 轴的正半 轴；当 时，交点在 轴的负半 轴.板块二 二次函数图像特征函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2yax（ 轴）0xy0，k当 时，开口向0a上当 时，开口向（ 轴） k，2yaxh xh0h，k k，2bc下 2ba24bac，二、二次函数的三种表达方式（1）一般式： 20yaxbc（2）顶点式： hka（3）双根式（交点式）： 120x2.如何设点： 一次函数 （ ）图像上的任意点可设为 .其中 时，该点为直yxb01xab， 10x线与 轴交点. 二次函数 （ ）图像上的任意一点可设为 . 时，2aca 211c， 1该点为抛物线与 轴交点，当 时， 该点为抛物
7、线顶 点y12bx 点 关于 的对称点为 1x， 0， 0101xy，4.如何设解析式： 已知任意 3 点坐标，可用一般式求解二次函数解析式； 已知 顶点坐 标或对称轴时，可用 顶点式求解二次函数解析式； 已知抛物 线 与 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式 .x 已知抛物 线经过两点，且 这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时 ，抛物 线的解析式才可以用交点式x240bac表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .一、二次函数
8、与一次函数的联系一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，0ykxnl 20yaxbcG由方程组 的解的数目来确定：2abc方程 组有两 组不同的解时 与 有两个交点;lG方程 组只有一 组解时 与 只有一个交点；方程 组无解 时 与 没有交点.l二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点:（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).y2yaxbcc（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).h2yaxbh2abc（3）抛物线与 轴的交点:二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、x1x，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物
9、线与 轴的交点情况可以2x20c由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；0x有一个交点（ 顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.k2axbck（5）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为yaxbcx，由于 、 是方程 的两个根，故120AxB， ， ， 122021,bcxa22221211144bcbacxxa2.二次函数常用解题方法 求二次函
10、数的图象与 轴的交点坐标，需 转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ，2yaxbcaca， 的符号判断 图象的位置，要数形结合；bc 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由 对称性求出另一个交点坐 标.x 与二次函数有关的 还有二次三项式，二次三 项式 本身就是所含字母2(0)axbc的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内0a在联系： 0抛物线与 轴有x两个交点二次三项式的
11、值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与 轴只有一个交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与 轴无x交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相 应二次函数的零点（图象与 轴的交点问题，因此，x二次方程的实根分布问题，即二次方程的 实根在什么区间 内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的设 的二实根为 ， ， ， ，且20fxabc1x21224bac是预先给定的两个实数， 当两根都在区间 内，方程系数所满足的充要条件：， ，对应的二次函数 的图象有
12、下列两种情形：12xfx x1 x2a0O xyyxO x2 x1当 时的充要条件是： ， ， ， 0a02ba0ff当 时的充要条件是： ， ， ， 两种情形合并后的充要条件是：020baff， ， 当两根中有且仅有一根在区间 内，方程系数所 满 足的充要条件；, 或 ，对应的函数 的图象有下列四种情形：1x2xfx x1 xyOx1 xyOxyx1Oxyx1O从四种情形得充要条件是：0f 当两根都不在区间 内方程系数所满足的充要条件：，当两根分别在区间 的两旁时；， 对应的函数 的图象有下列两种情形：12xxfx xy x2x1OO x1 x2yx当 时的充要条件是： ， 0a0ff当 时
13、充要条件是： ， 0a0ff两种情形合并后的充要条件是：， ()f()f当两根分别在区间 之外的同侧时：, 或 ，对应函数 的图象有下列四种情形：12x12xfx xy x1x2Oxyx1 x2Oxy x1 x2Oxy x1 x2O当 时的充要条件是：12x， ， 0ba0f当 时的充要条件是：12， ， f4 区间根定理如果在区间 上有 ，则至少存在一个 ，使得 ab， 0fabxab， 0fx此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力f(b)f(a)ba二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个 顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可
14、以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条 边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：EDCBAFEDABCDF EDCBAh45DCBA1.如图，过三角形的某个顶点作与 轴或 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边xy与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加 1122ABCDABCBACEBABSSSx其中 , 两点坐标可以通过 或 的直线方程以及 或 点坐标得到E C2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面 积，然后再减去矩形内其他各块面积.ABCDFACEBCF所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用1
15、11222ABCDEBCFADCABABCBcCAASSxyxyxy4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积该方法不常用，如果三角形的一条边与 平行， 则可以快速求解0xy12ABCSh二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax，(h0) (h0) (k0) (h0) (h0) (k0) (k0) |k| y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”概
16、括成八个字“左加右减，上加下减” 二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk2. 关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2abcy2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2abc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk4. 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2abc 22byaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 yxhk 2hk5. 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn， 2yaxhmnk
