1、余弦定理训练案1在ABC 中，已知 a4， b6 ，C120 ，则边 c 的值是( )A8 B217C62 D219解析：选 D.根据余弦定理，c2a2b22abcos C1636246cos 12076，c 219.2在ABC 中，已知 a2， b3 ，C120 ，则 sin A 的值为( )A.5719 B.217C.338 D5719解析：选 A.c2a2b2 2abcos C2232223cos 12019.c19.由 asin Acsin C 得 sin A5719.3如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为_解析：设底边边长为 a，则由题意知等腰三角形的腰长为
2、 2a，故顶角的余弦值为4a24a2a222a2a78.答案：784在ABC 中，若 B60，2bac，试判断ABC 的形状解：法一：根据余弦定理得b2 a2c2 2accos B.B60，2bac，(ac2)2a2c22accos 60，整理得(ac)2 0，ac.ABC是正三角形法二：根据正弦定理，2b ac 可转化为 2sin Bsin Asin C.又B60 ，A C120，C120A， 2sin 60sin Asin(120A) ，整理得 sin(A30)1，A60，C60.ABC是正三角形课时训练 一、选择题1在ABC 中，符合余弦定理的是( )Ac2a2b22abcos CBc2
3、a2b2 2bccos ACb2a2 c22bccos ADcos Ca2b2c22ab解析：选 A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题2(2011 年合肥检测)在ABC 中，若 a10，b24，c26 ，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513C0 D.23 解析：选 C.cba，c 所对的角 C 为最大角，由余弦定理得 cos Ca2b2 c22ab0.3已知ABC 的三边分别为 2,3,4，则此三角形是( )A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D不能确定解析：选 B.4216223213 ，边长为 4 的边所对的角是钝角，ABC 是钝角三角形4在ABC 中，已知 a2b2bc
4、c2，则角 A 为( )A.3 B.6C.23 D.3或 23解析：选 C.由已知得 b2c2a2bc，cos Ab2c2a22bc 12 ，又0A， A23，故选 C.5在ABC 中，下列关系式asin Bbsin Aabcos Cccos Ba2b2c22abcos Cb csin Aasin C一定成立的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 C.由正、余弦定理知一定成立对于由正弦定理知 sin Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)，显然成立对于 由正弦定理 sin Bsin Csin Asin Asin C2sin Asin C，则不一定成立6在ABC
5、 中，已知 b2ac 且 c2a，则 cos B 等于( )A.14 B.34C.24 D.23解析：选 B.b2ac，c2a，b22a2， cos Ba2 c2b22aca24a22a22a2a34.二、填空题7在ABC 中，若 A120，AB5 ，BC7，则 AC_.解析：由余弦定理，得 BC2AB2 AC22ABACcosA ，即 4925AC225AC(12)，AC25AC240.AC 3 或 AC8(舍去)答案：38已知三角形的两边分别为 4 和 5，它们的夹角的余弦值是方程 2x23x 20 的根，则第三边长是_解析：解方程可得该夹角的余弦值为 12，由余弦定理得：42522451
6、221，第三边长是 21.答案：219在ABC 中，若 sin Asin Bsin C578 ，则 B 的大小是_解析：由正弦定理，得 abcsin Asin Bsin C578.不妨设 a5k，b7k，c8k，则 cos 225k8k12，7k 2 8k2 5kBB3.答案：3 三、解答题10已知在ABC 中，cos A35 ，a4，b3 ，求角 C.解：A 为 b，c 的夹角，由余弦定理得 a2b2 c2 2bccos A，169c2 635c，整理得 5c218c350.解得 c5 或 c75(舍)由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab169252430 ，0C180，C90.11在
7、ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边长，若(a bc)(sin Asin Bsin C)3asin B，求 C 的大小解：由题意可知，(a bc)(ab c) 3ab ，于是有 a22abb2c23ab，即 a2b2c22ab12，所以 cos C12，所以 C60.12在ABC 中，b asin C，c acos B，试判断ABC 的形状解：由余弦定理知 cos Ba2c2b22ac，代入 cacos B，得 caa2 c2 b22ac，c2b2a2，ABC是以 A 为直角的直角三角形又basin C，b aca ，bc ， ABC也是等腰三角形综上所述，ABC 是等腰直角三角形
