1、1有关概念、公理条件1定理1有关概念、公理条件2定理2 定理3八年级数学下册第 6 章教案定义与命题（二）教学目标：1、了解真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论，奠定推理论证的基础。2、初步体会公理化思想，并了解本套教材所采用的公理。3、通过介绍欧几里得的原本，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。教学重点：对命题的组成能清楚地区分，对命题的真假能准确地判断。教学难点：体会公理化思想。教学准备：投影 设计思路：1、通过对一组命题的观察分析让学生抓住命题的结构特征，进而概括出命题的组成。2、通过“做一做”让学生了解到一些命题结论有的正确，有的错误，从而形成
2、真、假命题的含义。3、通过“想一想”的探究解决，让学生体会公理化思想，并了解本套教材所采用的公理。4、通过阅读欧几里得的原本介绍材料，感受公理化方法对数学发展的价值。教学过程一、创设情境活动 1：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。（1） 如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。（2） 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。（3） 如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形。（4） 如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形。讨论如下问题（1）哪些命题
3、是正确的，哪些命题是错误的？（2）这些命题有什么共同的特征？（3）你能仿照这些命题的结构特征写出几个命题吗？（通过讨论、交流，引导学生抓住命题的结构特征“如果那么”，进而概括出：命题都是由条件和结论两部分组成的，条件就是已经知道的事项，结论就是由已知的事项推断出的事项。）（主要让学生通过所给例子的学习，逐步感悟、体会命题的含义和结构，不要让学生机械记忆。）活动 2、做一做 1、下列各命题的条件是什么？结论是什么？如果两个角相等，那么它们是对顶角。如果 ab, bc，那么 a=c。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。菱形的四条边都相等。全等三角形的面积相等。2、上述命题中哪些是正确的？
4、哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？与同伴交流。（可引导学生先将命题进行改写，写成“如果那么”的统一结构形式，进一步区分命题的条件和结论；通过判别命题的正误，让学生领会命题的真、假（即真命题与假命题）同时引导学生体会：要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了。）活动 3：想一想：如何证实一个命题是真命题呢？组织学生仿照课本第 193194 页的方式讨论。介绍欧几里得原本，引出公理、证明、定理等概念，结合下列图示进行。介绍本套教材选用的公理：教材 195 页六个命题公理。介绍“等量代换”这一公理。二、课堂小结1命题都是由条件和结论两部分组成的，命题有真命题和假命题两类。2六个公理是
5、证明其他定理的前提和保证。三、布置作业课本第 197 页习题 6.3 第 1、2 题。第四课时课 题6.3 为什么它们平行教学目标（一）教学知识点1.平行线的判定公理.2.平行线的判定定理.（二）能力训练要求1.通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力.2.理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理.23.掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式.（三）情感与价值观要求通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想.教学重点平行线的判定定理、公理.教学难点推理过程的规范化表达.教学方法尝试指导、引导发现与讨论相结合.教具准备投影片五张
6、第一张：定理（记作投影片6.3 A）第二张：议一议（记作投影片6.3 B）第三张：定理（记作投影片6.3 C）第四张：想一想（记作投影片6.3 D）第五张：小结（记作投影片6.3 E）教学过程.巧设现实情境，引入新课师前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生甲在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.生乙两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.生丙同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.师很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其
7、他真命题都需要通过推理的方法证实.我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨第三节：为什么它们平行.讲授新课师看命题（出示投影片6.3 A）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.师这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：图 612如图 612，已知，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且1 与2 互补，求证：a b.那如何证明这个题呢？
8、我们来分析分析.师生共析要证明直线 a 与 b 平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：1 与3 是同位角，所以只需证明1=3，则 a 与 b 即平行.因为从图中可知2 与3 组成一个平角，即2+3=180,所以：3=180 2.又因为已知条件中有2 与1 互补，即：2+1=180,所以1=180 2,因此由等量代换可以知道：1= 3.师好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符号“”读作“因为”，“”读作“所以”）证明：1 与2 互补（已知）1+ 2=180（互补的定义）1+ 2=1801=180 2（等式的性质）3+ 2=180（1 平角
9、 =180）3=180 2（等式的性质）1=1802，3=180 21= 3（等量代换）1= 3 ab（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行.注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.（2）方括号内的“1+2=180 ”等，就是上面刚刚得到的“1+ 2=180”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.3（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把
10、根据写在每一步推理后面的括号内.好，下面大家来议一议（出示投影片6.3 B）小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？图 613图 614生我认为他的作法对.他的作法可用图 614 来表示：CFE=45,BEF=45.因为BEF 与 FEA 组成一个平角，所以 FEA=180BEF=18045=135.而CFE 与FEA 是同旁内角 .且这两个角的和为 180，因此可知：CD AB.师很好.从图中可知：CFE 与FEB 是内错角.因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.图 615师生共析已知，如图 615，1 和2 是直线
11、a、b 被直线 c 截出的内错角，且1= 2.求证：ab证明：1=2（已知）1+ 3=180（1 平角=180）2+ 3=180（等量代换）2 与3 互补（互补的定义）ab（同旁内角互补，两直线平行）.这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：（出示投影片6.3 C）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.这一定理可以简单说成：内错角相等，两直线平行.师刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”来证明这一定理的.下面大家来想一想（出示投影片6.3 D）借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生甲已知，如图 616，直线 ac,b c.
12、求证：ab.图 616证明：a c,bc（已知）1=90 2=90（垂直的定义）1= 2（等量代换）ba（同位角相等，两直线平行）生乙由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.师同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.课堂练习（一）课本 P190 随堂练习1.蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图 617 所示，其中=109 28,=7032,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.4图 617解：这三个四边形的形状是平行四边形.理由是：=10928=70 32（已知）+ =180（等式的性质）ABCD ，ADBC （
13、同旁内角互补，两直线平行）四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）（二）看课本 P188190，然后小结.课时小结这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角.注意：1.证明语言的规范化.2.推理过程要有依据.3.“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”这个真命题以后证.课后作业（一）课本 P191 习题 6.4 1、2（二）1.预习内容 P1921942.预习提纲（1）直线平行的性质如何证明？（2）总结归纳证明的一般步骤.
14、活动与探究1.你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？能证明你的作法吗？过程通过这个活动，一来复习用尺规作图，二来熟悉掌握证明的步骤.图 618结果如图 618 所示.用圆规和直尺能作出两条平行线.因为在作图中，作=.而 与 是同位角.由“同位角相等，两直线平行”可知：ab.还可以作内错角，即：作一个角等于已知角 ，使所作的角与 是内错角即可.板书设计6.3 为什么它们平行一、平行线的判定方法1.公理：同位角相等，两直线平行.2.定理：同旁内角互补，两直线平行.图 619已知：如图 619，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且1 与2 互补，求证：a b.证明：1 与2 互补（已
15、知）1+ 2=180（互补的定义）1=180 2（等式的性质）3+ 2=180（1 平角 =180）3=180 2（等式的性质）1= 3（等量代换）ab（同位角相等，两直线平行）53.定理：内错角相等，两直线平行.图 620已知，如图 620，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角.且1=2.求证 ab.二、课堂练习三、课时小结四、课后作业第五课时课 题6.4 如果两条直线平行教学目标（一）教学知识点1.平行线的性质定理的证明.2.证明的一般步骤.（二）能力训练要求1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力.2.结合图形用符号语言来表示平行线的
16、三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤.（三）情感与价值观要求通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.教学重点证明的步骤和格式.教学难点理解命题、分清其条件和结论.正确对照命题画出图形.写出已知、求证.教学方法尝试指导、引导发现与讨论相结合.教具准备投影片六张第一张：议一议（记作投影片6.4 A）第二张：想一想（记作投影片6.4 B）第三张：符号语言（记作投影片6.4 C）第四张：命题（记作投影片6.4 D）第五张：证明的一般步骤（记作投影片6.4 E）第六张：练习（记作投影片6.4 F）教学过程.巧设现实情境，引入新课师上节
17、课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？这节课我们就来研究“如果两条直线平行”.讲授新课师在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：两直线平行，同位角相等.下面大家来分组讨论（出示投影片6.4 A）议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？生甲利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等.生乙还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补.师很好.下面大家来想一想：（出示投影片6.4 B）（1）根据
18、“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？（3）你能说说证明的思路吗？图 623生甲根据上述命题的文字叙述，可以作出相关的图形.如图 623.生乙因为“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”这个命题的条件是：两条平行线被第三条直线所截.它的结论是：内错角相等.所以我根据所作的图形.如图623，把这个文字命题改写为符号语言.即：已知，如图 623，直线 ab,1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角.求证：1= 2.师乙同学叙述得很好.（出示投影片6.4 C）（投影片为上面的符号语言）你能说说证明的思路吗？生丙要证明内
19、错角1=2，从图中知道1 与3 是对顶角.所以1=3，由此可知：只需证明2=3 即可.而2 与3 是同位角.这样可根据平行线的性质公理得证.6师丙同学的思路清楚.我们来根据他的思路书写证明过程.哪位同学上黑板来书写呢？（学生举手，请一位同学来）生丁证明：a b（已知）3= 2（两直线平行，同位角相等）1= 3（对顶角相等）1= 2（等量代换）师同学们写得很好.通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理.即平行线的性质定理.这样就可以把它作为今后证明的依据.注意：（1）在课本 P191 中曾指出：随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为今后证明的依据.所以像“对顶角相等”就可以直接
20、应用.（2）这个性质定理的条件是：直线平行.结论是：角的关系.在应用时一定要注意.接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题（出示投影片6.4 D ）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.师来请一位同学上黑板来给大家板演，其他同学写在练习本上.图 624生甲已知，如图 624，直线 ab,1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角.求证：1+ 2=180.证明：a b（已知）3= 2（两直线平行，同位角相等）1+ 3=180（1 平角 =180）1+ 2=180（等量代换）图 625生乙老师，我写的已知、求证与甲同学的一样，但证明过程有一点不一样，他应用了直线平行的性质公理，
21、我应用了直线平行的性质定理.（证明如下）证明：a b（已知）3= 2（两直线平行，内错角相等）1+ 3=180（1 平角 =180）1+ 2=180（等量代换）师同学们证得很好，都能学以致用.通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理，以后可以直接应用它来证明其他的结论.到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明的一般步骤吗？大家分组讨论、归纳.师生共析好，我们来共同归纳一下（出示投影片6.4 E）证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形.先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题
22、的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.师接下来我们来做一练习，以进一步巩固证明的过程.课堂练习（一）补充练习（出示投影片6.4 F）图 6251.证明邻补角的平分线互相垂直.已知：如图 625，AOB、BOC 互为邻补角，
23、OE 平分AOB，OF 平分BOC.求证：OE OF.证明：OE 平分AOB.OF 平分BOC（已知）7EOB= AOB21BOF= BOC（角平分线定义）AOB+ BOC=180（1 平角=180）EOB+ BOF= （AOB+BOC）=90（等式的性质）2即EOF=90OE OF（垂直的定义）（二）看课本 P192194，然后小结.课时小结这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤.1.平行线的性质：公理：两直线平行，同位角相等定理：两直线平行，内错角相等定理：两直线平行，同旁内角互补2.证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形.（2）根据条件、结论，结合图形，写出
24、已知、求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.课后作业（一）课本 P194 习题 6.5 1、2、3（二）1.预习内容 P1951972.预习提纲（1）三角形的内角和定理是什么？（2）三角形的内角和定理的证明.活动与探究图 6271.已知，如图 627，ABCD，B=D，求证： ADBC.过程让学生在证明这个题时，可从多方面考虑，从而拓展了他们的思维，要证：ADBC，可根据平行线的五种判定方法，结合图形，可证同旁内角互补，内错角相等，同位角相等.结果证法一：ABDC（已知）B+C=180（两直线平行，同旁内角互补）B=D（已知）D+C=180（等量代换）ADBC（同旁内角
25、互补，两直线平行）图 628证法二：如图 628，延长 BA（构造一组同位角）ABCD （已知）1= D （两直线平行，内错角相等）B=D（已知）1= B （等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）图 629证法三：如图 629，连接 BD（构造一组内错角）ABCD （已知）1= 4（两直线平行，内错角相等）B=D（已知）B 1=D4（等式的性质）82= 3ADBC（内错角相等，两直线平行）板书设计6.4 如果两条直线平行一、直线平行的性质公理：两直线平行，同位角相等图 630二、议一议1.定理：两直线平行，内错角相等.已知，如图 630，直线 ab,1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的内错角.求证：1= 2证明：a b（ ）3= 2（ ）1= 3（ ）1= 2（ ）图 6312.定理：两直线平行，同旁内角互补.已知，如图 631，直线 ab,1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角.求证：1+ 2=180三、议一议证明的一般步骤1. 2. 3.四、课堂练习五、课时小结六、课后作业
