1、2018 学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷 高三年级数学学科答案 一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1-5 BDABB 6-10 CADCC 二、填空题 （本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分，把答案填在题中横线上） 11 53- ， 724 12 i5251 ， 55 . 13 6 ， 60 14 22 ， 2,32 15 1, 5 16 20 17 3 32-4 三、 解答题 （ 本大题共 5 小题，共 74 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
2、 18 解： （ ） 1 c o s 2 3 sin 2 12 2 2xxfx -2 分 cos 23x -5 分 由 22 ，得 1 ； -7 分 （ ） c o s 23f x x ， 因为 0, 2x ，所以 22,3 3 3x ， -10 分 所以 1( ) ,12fx -14 分 19 解： （ ） AB PC 不成立，证明如下： -2 分 假设 AB PC ，因为 AB AC ， 且 PC AC C ，所以 AB 面 PAC ， -5 分 所以 AB PA ，这与已知 4PB AB矛盾， -7 分 所以 AB PC 不成立 （ ） 解法 1： 取 AC 中点 O ， BC 中点 G
3、 ，连 ,PO OG PG ， 由已知计算得 2PO OG PG ， -9 分 由已知得 ,AC PO AC OG, 且 PO OG O ， 所以 AC 平面 POG ，所以平面 ABC 平面 POG ， -12 分 取 OG 中点 H ，连 BH ， 则 PH 平面 ABC ，从而， PBH 就是 直线 PB 与平面 ABC 所成 的 角 ， A B C P O G H 因为 3PH ， 4PB ，所以 3s in4PHPBH PB -15 分 解法 2：如图，以 A 为原点， ,ABAC 所在直线为 ,xy轴建立空间直角坐标系， 则 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 0 ,
4、4 , 0ABC， -9 分 设 ,P x y z ，由 2 2 22 2222284 1648x y zx y zx y z 解得： 1,2, 3P -11 分 3, 2, 3PB ，因为平面 ABC 的 法向量是 0,0,1n ， -13 分 由 sin PB nPB n 34 -15 分 20 解： I.由 nnn aaa 221 得 221 1121 ）（ nnnn aaaa 由 31a 易得 0na ，所以两边取对数得到 ）（）（ 1lo g21lo g)1(lo g 22212 nnn aaa 即 nn bb 21 2 分 又 02)1(log 121 ab nb 是以 2 为公比
5、的等比数列，即 nnb 2 22 1 nnS 6 分 又 )1(log 2 nn ab 122 nna 7 分 II 证法一、 用数学归纳法证明： 1 当 2n 时，左边为 261131211 =右边，此时不等式成立； 8 分 2 假设当 2kn 时，不等式成立， 则当 1kn 时，左边 12 112 12112 131211 1 kkkk 10 分 12 112 121 1 kkkk 个kkkkk2212121 1k =右边 当 1kn 时，不等式 成立。 综上可得：对一切 2,* nNn ，命题成立 15 分 证法二 12 131211 n A B C P x y z )12 12 1()
6、715141()3121(1 1 nn 11 2 124142121 nnn 15 分 21 解： （ ）因为 2p ， 设 1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y C x y， 12 4A F B F x x p 所以 122xx，即 0 1x -3 分 设直线 AB 的方程是： x my n， 代入 2 4yx 得， 2 4 4 0y my n ， 所以 124y y m ，故 0 2ym ，因为 0 1x ，所以 AB 中点坐标为 )2,1( m 又因为 AB 的中垂线方程是 21y m m x ，令 0y ，得 3,0P ， -7 分 （ ）因为 AB 中点 )
7、2,1( m 在直线 x my n上 所以 221mn，且 216 16 0mn ， 解得 201m-9 分 所以121 32PABS n y y 222 2 1 6 1mm 2224 1 1mm -12 分 令 21 mt， 0,1t ，则 242PABS t t ， 设 22 , 0 ,1f t t t t ，则 2 3 2f t t t ， 易得， ft在 20,3上单调递增，在 2,13上单调递减， 所以 2m a x 2 2 43 3 3f t f ，所以 m ax 16 69PABS -15 分 22 解： （ ）当 0a 时， xf x e ， 设 00,P x y 是切点，则 000xxekkx e，解得 0 1xke -5 分 （ ） 2x af x e x =xxex xae2 2， -7 分 令 0fx ，即 20xx ae，则 2xxa g x e， 12xxgx xe ，所以当 10,2x 时， 0gx ， 当 1,2x 时， 0gx ，且当 x 时， 0gx ， 所以当 0fx 有两个不等的根时， 所以 eea 20 此时 2101x， -12 分 111 1 121xxf x e a x x e ， 因为 1111 2 0xf x x e 恒成立， 所以 1fx 在 )21,0( 上单调递增，所以 1fx )2,1(e-15 分
