1、1函数的性质1奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x )=f (x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x )=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性 质；1由函数的奇偶性定 义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是， 对于定义域内的任2意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函
2、数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定 义域是否关于原点 对称；1确定 f(x) 与 f(x)的关系；2作出相应结论：3若 f(x ) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x ) =f(x) 或 f(x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数（3）简单性质：图象的 对称性 质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设 ()fx， g的定义域分别是 12,D，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇= 偶，偶+偶 =偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇例 1讨论下述函数的奇偶性： )
3、;11()(3 ;)0(01)2(;26)(2xogxf xnxffx;0|42aaf常 数2. （2010 重庆理）(5) 函数 412xf的图象A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称3. （2010 广东理）3若函数 f（x）=3x+3-x 与 g（x）=3x-3-x 的定义域均为 R，则2A. )(xf与 g与均为偶函数 B. )(xf为奇函数， )(xg为偶函数C. 与 与均为奇函数 D. 为偶函数， 为奇函数4. （2010 山东理）（4）设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)= 2x+2x+b(b 为常
4、数)，则 f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-35. （2009 全国卷理）函数 ()fx的定义域为 R，若 (1)fx与 ()f都是奇函数， 则( ) A. ()fx是偶函数 B. 是奇函数 C. )2f D. 3是奇函数6.函数 f(x)= 的图象( )12xA.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 x=1 对称1.7（2012 年高考（重庆理）已知 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ 为0,1 上()fx ()fx的增函数”是“ 为3,4上的减函数”的（ ）()fxA既不充分也不必要的条件 B充分而不必要的条件 C必要
5、而不充分的条件 D充要条件8 已知函数 f（x）满足 f（xy）f （xy）2f （x）f（y）（x R，y R），且 f（0）0，试证 f（x）是偶函数9.f（x）是定义在（ ， 5 5，）上的奇函数，且 f（x）在5， ）上单调递减，试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明10 设定义在2，2上的偶函数 f（x）在区间0，2上单调递减，若 f（1m）f（m），求实数m 的取值范围32.单调性：（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数
6、（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x10),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。3 若函数 ，则 是以 为周期的周期函数fxafxf2Ta4 y=f(x)满足 f(x+a)= (a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。f15、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= (a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。xf6、 ，则 是以 为周期的周期函数.1()()fxfxaf2Ta三.练习1、函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则fxx1fxf5,f_5
7、f2、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)23已知函数 是一个以 4 为最小正周期的奇函数，则 （ ）)(xfy )2(fA0 B4 C4 D不能确定4.定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是R()f(2)(fxf3,锐角三角形的两个内角，则 的大小关系 为_sin,cos5.设 是定义域为 R 的函数，且 ，又 ，fx1ffxfx2f则 =2066.已知 是定义在 上的函数， 且 ，则()f (0)()ff(0)(0)ffx（ ）x是A. 周期为 20 的奇函数 B. 周期为 20 的偶函数
8、C. 周期为 40 的奇函数 D. 周期为 40 的偶函数7.已知函数 f(x)的定义域为 N，且 对任意正整数 x，都有 f(x)f(x1) f(x1)若 f(0)2004，求 f(2004)8已知函数 f(x)的定义域为 R，且 满足 f(x2) f (x)(1)求证：f(x) 是周期函数；(2)若 f(x)为奇函数，且当 0x1 时， f(x) x，求使 f(x) 在0,2009 上的所有 x 的个数12 1289设函数 f(x)在(，)上满足 f(2x )f (2x)， f(7x )f (7x)，且在闭区间0,7上，只有 f(1)f(3)0.(1)试判断函数 yf(x )的奇偶性；(2
9、)试求方程 f(x)0 在闭区间 2009,2009 上的根的个数，并证明你的结论4、对称性：函数关于原点对称即奇函数： ()(fxf函数关于 对称即偶函数：y函数关于直线 对称： 或 或 者xa()()faf(2)fxax(2)(ff函数关于点 对称：（ ,b） f(+)f-=2b1、已知 是偶函数， 则函数 的图象的对称轴是（ ）1xf xy9A. B. C . D. 1xx21xx2、函数 的 图象的一条对称轴方程是（ ）25sinyA. B. C. D. x4x8x45x3、如果函数 f(x)x 2bxc 对任意实数 t 都有 f(2t)f(2t)，那么A.f(2) f(1)f(4)
10、B.f(1)f(2)f(4) C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2) f(1)4设 （）是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 对称 对任意 ， ，都有21（ ） （）（），且 f(1)=()求 ；()证明 （）是周期函数；（）记 （ ），求 41,2f na21na5.函数的图象变换一、三种基本变换规律：1平移变换规律(1)水平平移： yf(x )的图象，可由 yf(x)的图象向左( 0), 或向右( 0)平移| |个单位得到。(2)垂直平移： yf(x )+b 的图象，可由 yf(x)的图象向上 (b0)或向下(b0) 平移| b|个单位得到。2对称变换规律(1) yf(x)
11、 与 yf( x)的图象关于 x 轴对称。(2) yf(x) 与 yf( x)的图象关于 y 轴对称。(3) yf 1 (x)与 yf( x)的图象关于直线 yx 对称。10(4) yf -1(x)与 yf (x) 的 图象关于直线 yx 对称。(5) yf(x)与 yf( x)的图象关于原点对称3伸缩变换规律(1) 水平伸缩：yf(x)( 0)的图象，可由 yf(x)的图象上每点的横坐标伸长(01) 或缩短( 1)到原来的 倍( 纵坐标不变)得到。1(2) 垂直伸缩:yAf(x)( A0)的图象，可由 yf (x)的图象上每点的 纵坐标伸长(A1)或缩短(0A 1) 到原来的 A 倍( 横坐
12、标不变)得到。注：函数 y Asin(x )(A0, 0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变换结合在一起的特殊情况，这一变换规 律对一般函数 y=Af(x ) (A0, 0)也成立。例 1：要得到函数 ysin(2x )的图象，只需将函数 ysin2x 的图象( )3(A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位3 3(C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位6 6例 2：函数 y 的图象是( )1x 1例 4：将 y2 x 的图象( )(A)先向左平行移动 1 个单位 (B)先向右平行移动 1 个单位(C)先向上平行移动 1 个单位 (D)先向下平行移动 1 个单位再作关于直线 yx 对称的图象，可得到 ylog 2(x+1)的图象。例 5：函数 ytan ( )在一个周期内的 图象是( )x2 3例 6：函数 y cos2x sinxcosx1 的图象可由 ysinx 的图象经过怎样的平移和伸缩变12换得到？ 1若 f(x)的图象过(0,1)点，则 f- 1 (x)的图象过_点， f(x1) 的图象过_点，
