1、 辅导教师：周红玲1 / 7用心付出，用实力成就梦想！电话 22309033 第二章 因式分解重点难点：1、重点：了解因式分解与整式乘法的区分，学会因式分解的基本方法2、难点：在练习中锻炼整式的计算能力及灵活使用因式分解知识点：一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.3. 分解因式必须彻底因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式
2、化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: )(cba2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(cbamcba3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: )(2baba辅导教师：周红玲2 / 7用心付出，用实力成就梦
3、想！电话 22309033 (2)完全平方公式: （1） （2） 22)(baa 222)(baa3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如 就没有分解到底.)(224yxyx4. 运用公式法:(1)平方差公式: 应是二项式或视作二项式的多项式;二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;二项是异号.(2)完全平方公式:应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方; 还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法
4、来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法 .如: )()()( nmbanbmabnam2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.五. 十字相乘法:（难）1.对于二次三项式 ,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积 , , , 且满足bxa2 21a21c,往往写成 的形式,将二次三项式
5、进行分解. 121cb c 2a2 c1a1辅导教师：周红玲3 / 7用心付出，用实力成就梦想！电话 22309033 ba11如: )(212 cxacbxa2. 二次三项式 的分解:qpp )(2bxaqpx3. 规律内涵:(1)理解:把 分解因式时 ,如果常数项 q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符qpx2号与一次项系数 p 的符号相同.(2)如果常数项 q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数 p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数 p.4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原
6、式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.典型例题精讲:例 1下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A、 B、)(bax 222)1(1yxyxC、 D、124 cbacba分析：做这类题一定要把概念分析清楚。因式分解的条件有：（1）左边是一个多项式；（2）右边是积的形势；（3）右边的每一个因式必须是整式；（4）分解因式必须彻底。答案：A例 2.利用分解因式证明： 能被 120 整除。1275分析：首先要了解某个数被另一个数整除是一个什么概念。即 A 能被 B 整除，则 B 是 A 的一个约数，可以表示成 A=BxC。做这类题我们只要把多项式因式分解，其中一个因式就是所给
7、的除数就可以了。例 3.若 则 =_， =_。5,6xy2xy2xy分析：做这类题只要记住两个完全平方公式，对它们进行推导得到：x +y =（x+y） -2xy=(x-y) +2xy；222xy=【 (x+y) -(x +y )】2；（x+y ） =(x-y) +4xy。2 22课堂练习:辅导教师：周红玲4 / 7用心付出，用实力成就梦想！电话 22309033 bbaabaa一、选择题1下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ）.A. B.2()abab2(1)2aaC. D.249(3)()xx2把多项式8a 2b3c16a 2b2c224a 3bc3 分解因式，应提的公因式是( )，
8、A.8a 2bc B. 2a2b2c3 C.4abc D. 24a3b3c33下列因式分解错误的是（ ） A 2()xyxy B 2269()xxC D y4下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）A.x21 B.x 21 C.x22x D.x 215把6(x y) 23y(yx) 2 分解因式，结果是( )A.3(x y) 2(2y) B. (xy) 2(63y)C.3(xy) 2(y 2) D. 3(xy) 2(y2)6把代数式 分解因式，下列结果中正确的是( ).69mxA B C D2(3)3)x2(4)mx2(3)x7比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式( ).
9、A. B.)(2baba 22)(baC. D.2)( )(28对于任何整数 ，多项式 都能（ ）m(45)9A.被 8 整除 B.被 m 整除 C.被(m1)整除 D.被(2m 1)整除9已知 a=2012x+2009，b=2012x+2010，c=2012x+2011，则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为（ ）A.0 B.1 C.2 D.310满足 m2n 22m6n10=0 的是（ ）A.m=1, n=3 B.m=1,n=3 C.m=1,n= 3 D.m=1,n=3辅导教师：周红玲5 / 7用心付出，用实力成就梦想！电话 22309033 11.当 n 是整数时， 不一定
10、是( )221nA、2 的倍数 B、4 的倍数 C、6 的倍数 D、8 的倍数12.设 ，那么 等于( )1,133MaNaMNA、 B、 C、 D、22213a123a11.三角形的三边 、 、 满足 ，则这个三角形是( )bc0bcA、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形二、填空题12a 2b6ab 2 分解因式时，应提取的公因式是 .2x1= (_). .82a3多项式 92与 962x的公因式是 .4若 ab=2011,ab=1,z 则 a2b 2=_.5.因式分解：14a 24a=_.6.已知长方形的面积是 （ ） ，若一边长为 ，则另一边长为_.91643
11、34a7.如果 a2ma121 是一个完全平方式，那么 m_或_.8.已知正方形的面积是 （ ， ）,利用分解因式，写出表示22yx0y该正方形的边长的代数式 9.学习了用平方差公式分解因式后，在完成老师布置的练习时，小明将一道题记错了一个符号，他记成了4x 29y 2，请你帮小明想一想，老师布置的原题可能是_.10.如果多项式 加上一个单项式以后，将成为一个整式完全平方式，那么加上的单项式是 .14x11.若 时， =_。22,8yzyzxyz12.已知 ，则 =_。40xx13.观察下列各式： ，将你猜想到的规律用222231,5,4651,01只含一个字母的式子表示出来：_。三、计算题1
12、.分解因式(1)x 32x 2 x (2) a2b 22b1辅导教师：周红玲6 / 7用心付出，用实力成就梦想！电话 22309033 (3) (4)mnn18927283232xx(5) (6)134x 22641ax(7)x -11x+24 (8)x +5x-242 2(9) (10) 2214m2416xx2. 20120183四、思考题辅导教师：周红玲7 / 7用心付出，用实力成就梦想！电话 22309033 1. 能被 198 整除吗？能被 200 整除吗？说明你的理由3192若 ，求 的值？2mnmn23.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1) =(1+x)1+x+x(x+1)2=(1+x) (1+x)2=(1+x) 3(1)上述分解因式的方法是_，共应用了_次 .(2)若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1) + x(x+1) ，则需应用上述方法_次，结果是_2204(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1) + x(x+1) (n 为正整数 ).n
