1、162-12 小球在外力作用下，由静止开始从 点出发作匀加速直线运动，到达 点时AB撤消外力，小球无摩擦地冲上竖直的半径为 的半圆环，达到最高点 时恰能维持在圆RC环上作圆周运动，并以此速度抛出而刚好落回原来的出发点 处，如图所示，试求：（1）小球在 段运动的加速度大小；AB（2）小球又落到 点前的瞬时，切向加速度的大小。分析 小球在 点恰能维持圆周运动，重力提供向心力，由此求得 ； 段机械能CCvB守恒，由 求得 ， 段小球平抛运动，可求 到 的水平距离，即 。进一步可由vBCAAS， 求 段小球运动的加速度。小球落到 点，其在 点加速度为重力加速度 ，BAS g其在切向方向的投影即为 。a
2、解 （1）小球达到最高点 时，恰能维持圆周运动，因而有mgRcvC在 段，小球只受重力作功，根据机械能守恒定律，有BRgCB221v得 B5小球在 段作平抛运动，因而有CA21gtRgRt4所以 段长为 tSCv在 段，小球作匀加速度运动，因而有ABaB2小球在 段的加速度为 )m/s(3.1452gSv（2）小球落到 点瞬时速度的水平、竖直分量分别为ARC1ggt4v因而瞬时速度大小为17gR521v小球做平抛运动，落到 点的加速度即为重力加速度，其方向垂直向下，切向方向A4cos因而切向加速度大小为 gga52s说明 本题综合运用了运动学规律，牛顿运动定律、机械能守恒定律。求解本题关键在于
3、分析清楚小球在各段的规律。另外，注意理解小球平抛落到 点的切向加速度为重力A加速度沿切向的分量。2-13 如图所示，一链静止跨于一光滑圆柱上，圆柱轴为水平，链长为圆柱周长的一半。若轻微扰动，试求当链滑过长为 的一段时的速度（ 为圆柱体的半径） 。RR分析 链滑动时，只有重力作功，机械有守恒，由机械能守恒就可求解。解 设链的线密度为 ，建立坐标如图，取过圆柱中心的水平面为重力势能零点，链滑动前，其势能为 mgyEPd0其中 ， ，因此有dRmcosgRP220 当链滑过 长度时，因链各部分速度相同，其动能为R2221)(1vvmEk此时其势能为 2)(d2RggyP)(cos2)2()1(2gR
4、gR2cos18链滑动过程中，只有重力作功，机械能守恒，因此有 gRRg222 )cos1(v解之得此时链的速度为 )s(2v说明 链受重力和圆柱面支持力作用，支持力不作功，因此机械能守恒。在用机械能守恒求解本题时，链各个质元速度相同，因此链的动能为其 质量乘以速度平方的二分一，而因各个质元所处位置的不同，各个 质元的势能却不同，因此要采用积分求链的势能，这是解本题的难点。2-14 如图，两块薄板中间用一轻弹簧连接，已知两板质量 、 ，系统原来静止1m2在水平面上（弹簧与水平面垂直） ，求至少应加多大压力 ，才能使当 撤消后， 刚F2好被提起。分析 在 板压下后再弹起过程中，在 弹簧伸长到原长
5、之前， 板受弹簧向下的弹1m2性力作用，当弹簧伸到比原长长时 ， 板开始受向上弹性力作用，此力随弹簧伸长而增大，2当增大到 （如图）时， 板被提起，而此 时弹簧伸 长的伸长量与初始时加在gkx2板上的压力 有关，整个 过程机械能守恒，由此可求解力 。1FF解 如图所示，设加压力后弹簧压缩量为 ，弹簧倔强系数为 ，而 静止，由牛1xk1m顿第二定律有(1)1kxgm取 、 ，弹簧及地球为一系统，在撤去外力 回跳过程中，只有保守力作功，机械1m2 F能守恒，选取弹簧具有自然长度 时，弹性势能为零，并选此时弹簧顶端所在高度为重L力势能零点，设 回跳后，弹簧最大伸长为 ，则由机械能守恒有1 2x(2)
6、gLmkgxk 21212 将（1）式代入（2）得 2121121)(2 xkFmFk展开 ，经整理后可得1)(gmF(3)21221gxg若需将 提起，则应有 ，将此不等式代入方程（3） ，有2kx2kmkm2122119由此解得 2121212 )()( gmgmF所以 )21压力 至少应为 方能使撤消 后 提起。此结果对互换 、 无关，同g(F212时与弹簧倔强系数 k 无关。说明 在本题中，系统只受重力、弹簧弹性力这两个保守力作用，机械能守恒。弹簧弹性势能零点选在弹簧原长处， 这样弹簧弹性势能为 （ 为弹簧伸长量）。另外，应注意21kx将 提起所满足的条件 。2mgmkx22-15 质
7、量为 的木块放置在光滑水平桌面上，质量为 ，速度为 的子弹水平Mm0v射入木块，子弹在木块内经距离 相对于木块静止，此时木块向前滑动了一段距离。如d图所示。假设木块相对于子弹的阻力是恒定不变的，则子弹相对于木块静止时，求子弹与木块一起运动的速度及木块滑动的距离 L。分析 子弹射入木块的过程动量守恒，由此求共同速度 ，从子 弹射入到子弹相对木v块静止的过程中子弹在阻力 作用下，速度从 变为 ，同时，木块在 的反作用力作用f0f下，速度从 0 变为 ，因而对子弹木块分别应用动能定理即可求解。v解 子弹和木块构成的系统在水平方向不受外力作用，其动量守恒，设子弹相对木块静止时，其速度为 ，由动量守恒
8、v)(0Mm得(1)0v设子弹和木块之间的作用力为 ，依题意此力为一恒力。对木块，在整个过程中，外力f对其作的功为 ，根据动能定理fL(2)21vM对子弹，在整个过程中，外力对其作的功为 ，根据动能定理)(dLf(3)2021)(vmdLf将（1）式代入到（2） 、 （3）式中，联立（2） 、 （3）式可解得M说明 从本题（1）、 （2）、（3）式可看出：系统的内力不改变系统的动量而可以改变系统的20机械能。结合动量守恒和动能定理就可求解本 题。在运用 动 能定理时，要正确分析子弹和木块在整个过程中各力作功情况，例如 对于木块，子 弹对其作的功 为 ，对于子弹，木块fL对其作的功则为 。)(d
9、Lf2-16 如图，一半径为 的铅直圆轨道，在轨道最低点 处，一小球沿该圆平面内RA的水平方向以速度 射出，并循圆周轨道运动到 点离开，而后作抛物线运动并通过圆vO轨道的中心 ，求速度 。O分析 小球在 点脱离圆轨道，其后作斜抛运 动过 点。根据小球在 点脱离圆周 O轨道的条件，即轨道对小球的作用 及斜抛运动过 点可求出 点位置及小球在0N点的速度。 过程机械能守恒，进而可求 点速度。A A解 设小球在 点的速度为 ，小球在 点受重力 ，轨道对其作用力 。建vOmgN立坐标如图，沿法向方向，根据牛顿定律，有 RmNg2sin小球在 点脱离轨道，脱离轨道的条件为 ，因此O 02siv从而(1)i
10、n2gR小球在 点脱离轨道后，作斜抛运动，因而其运动学方程为O tx)cos(v212ingy要使小球作抛物线运动过中心 点，则OcosRxiny即(2)t)2cs(v(3)21insi gtR由（2） 、 （3）式消去 得t(4)sico212gv21由（1） 、 （4）式可得 2ctg因此(5)3sin小球从 点运动到 点，只有重力作功，机械能守恒，因此AO )sin1(21mgRv由此解得小球在 点的速度 )i(将（4）式、 （5）式代入可得 )32(gRv说明 本题综合性很强。应用了机械能守恒定律，牛顿运动定律及运动学规律。段只有重力作功，机械能守恒。同时需注意小球脱离轨道的条件 。O
11、A 0N2-17 在地球表面上垂直向上以第二宇宙速度 发射一物体， 为地球半gR2v径， 为重力加速度，试求此物体到达与地心相距为 时所需的时间。g n分析 根据机械能守恒可求物体速度 与其距地心距离 的关系。而速度 ，积xtxdv分即可求时间。解 设物体运动到距地心 时其速度为 ，在此过程中机械能守恒xvRMmGm2211v其中 为地球质量M因为 )(222ggRv则 012MmG因而 2xvtd2122分离变量后，积分上式 nRtGMx2d10得 )()1(322/ gRnt v说明 本题是机械能守恒定律的应用。物体只受地球万有引力作用，机械能守恒。需要注意由已知条件 可得 ，从而使方程得
12、到简化。gR202mGv2-18 假设地球为质量均匀分布的球体，计算必须供给多少能量才能把地球完全拆散（用万有引力恒量 ，地球质量 ，地球半径 表示） 。GMR分析 假定我们把地球逐层拆散，每次移走一 层 厚的球壳，把这层球壳搬到无穷远rd所用的能量为这壳层与其余部分之间引力势能。拆散地球所需最小能量即 为所有引力势能之和。解 半径为 厚度为 的球壳所具有的引力势能为rdrmGEP其中 ， ， 为地球密度，因此，将这球壳搬到无穷远所需34rm42的能量为 rEWPdd因此将地球完全拆散所需的总能量为 RrG0234)(d将 代入并积分得34RMW5说明 理解把地球拆散所须供给的能量至少应等于地
13、球系统引力势能是解本题的前提，而写出球壳所具有的引力势能 是解本题的关键。rmGEPd2-19 如图所示，弹簧倔强系数为 ，质量为 的物体与桌面接触，其摩擦系数为k。若以不变的水平力 拉物体，则物体自平衡位置开始运动，试求物体到达最远时系F23统的势能和物体在运动过程中的最大动能。分析 物体受恒力 F，摩擦力 ，弹簧弹性力 作用。当 时，物体mgkxkxmgF向右变加速运动，当 ，也就是物体加速度 时，此时物体有最大速度kx0，此后 物体 变减速运动，直到物体速度 时，为物体所能达到的最maxvgv大位移 。通过以上分析，分别由牛顿定律及动能定理求解。解 设物体到最远时的位移为 ，此时其速度为
14、零，根据动能定理max021maxkgF解得 k)(2ax因此，物体到达最远时系统的势能为 kmgFEP22max)(1分析物体受力，在任意位置时，根据牛顿定律 当加速度 时，物体达到最大速度，此时0xkgF由此可知，当弹簧从自然长度拉伸到 位置时，动能为最大值，由动能定理得0xmax21)(kEm从而 kgFEk2)(ax说明 本题由动能定理求解，有两点是解本 题的关键。 （1）物体达到最大位移时，其速度为零，而不是合力为零；（2）当物体加速度 时，物体达到最大速度。0x2-20 传送机通过滑道将长为 ，质量为 的柔软匀质物体以初速 向右送上水平Lm0v台，物体前端在台面上滑动 距离后停下来
15、，如图。已知滑道上的摩擦可不计，物与台S面间的摩擦系数为 ，而 ，试计算物体的初速度 。0v分析 这是一个涉及到变力作功的问题。物体在滑道上不受摩擦力作用，送上了平台，就会受到摩擦力作用。在物体完全滑上台面上前，因其是柔软匀质的，它对台面的压力可以认为与滑上台面的质量成正比。由此 计算摩擦力及其作功，根据动能定理即可求解。解 物体完全滑上台面之前，其所受摩擦力 是变化，只有完全滑上台面之后，其f24所受摩擦力为常数量，因此 SxLmgf0其中 为物体前端的坐标。x物体滑动 S 距离，摩擦力作功为 xfAdFSLLg0)2(mg对物体，根据动能定理 201)(vmS解得物体的初速度 20Lgv说
16、明 本题是动能定理的应用，在 计算摩擦力的功时，因其是变化的，所以要分段计算，就是本题的把摩擦力分为 段和 段。 这 是解本题的关键。x2-21 如图所示。劲度系数为 的弹簧下端竖直悬挂着两个物体，质量分别为 和k 1m，达到平衡后，突然撤去 ，试求 运动的最大速度。2m2m1分析 、弹簧、地球系统机械能守恒，当系统势能最小时， 具有最大动能。1 1解 取弹簧原长处为坐标原点，建立坐标如图所示，取坐标原点处为重力势能和弹性势能零点。撤去 后， 和弹簧在任一时刻的势能为21(1)gxkEP2当 为最小值时P0dx即 1gmk解得势能 为最小值时 的位置PE(2)x12当撤去 后， 和弹簧的势能为
17、最小值时， 具有最大动能，从而具有最大速度 ，21 1mmaxv此时的机械能为252max1invEP由（1）式知 212mingkP因此(3)2max1212vxE而撤去 后， 、弹簧系统的机械能守恒， 、弹簧在撤去 初始时的机械能为21 2（ 为悬挂 和 静平衡时，弹簧的伸长）121gk1)()( 22gk(4)21gkm由（3） 、 （4）式可得 2122max1212 )(gkxv将（2）式代入上式，解得 的最大速度为 kg12maxv说明 重力和弹簧弹性力都是保守力，因此系统机械能守恒。另外需注意的是，当系统势能最小时对应于 具有最大动能，从而具有最大速度。12-22 如图所示，长为
18、 的细杆顶端固定一小重球，竖直倒置在粗糙的水平地面上，L小球处于不稳定的平衡状态，稍有扰动，小球将从静止开始向下跌落，假设细杆很轻，其质量可略，试求小球碰地时速度的水平分量和竖直分量。分析 小球初始作以 为圆心的圆周运动直到某一位置 ，随后作斜抛运动。 认清O)(0这一点，就可由作圆周运动时 的牛顿定律，机械能守恒，利用脱离 圆周运时细杆受支撑力得到小球脱离圆周运动时的位置（由 角表示）、速度 。此后过程中因小球作抛0N00v体运动，其碰地时的速度的水平分量和 竖直分量就不难求出。解 小球的运动分为两个阶段。第一阶段：因地面粗糙，细杆下端无滑动，小球受约束做以 为圆心， 为半径的圆周运动。第二阶段：当小球运动到 ， 时，OL 00v细杆所受支持力 ，细杆脱离地面，因细杆质量忽略不计，此后小球作抛体运动。0当小球作圆周运动时，由牛顿定律，有
