1、第一讲 导数的概念教学内容1. 导数的物理与几何模型;2. 导数的定义;3. 求导举例; 4. 函数的可导性与连续性的关系.教学目的与要求1. 理解导数的概念及它的几何意义、物理意义;2. 能用导数的定义求简单函数的导数;3. 理解可导与函数连续的关系;4. 会用左、右导数的概念判断分断函数的连续和可导性.教学重点与难点导数的概念及它的几何意义、物理意义; 用左、右导数的概念判断分断函数的连续和可导性.教学时数 42.1 导数的概念一、导数的物理与几何模型1. 变速直线运动的瞬时速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 s f(t)求动点在时刻 t0的
2、速度 考虑比值 00)(tfts这个比值可认为是动点在时间间隔 t t0内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 t0的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令 t t00 取比值 的极限 如果这个极限存在 设为 v 即0)(tf0)(lim0tfvt这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0的速度 2. 平面曲线的切线的斜率设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果割线 绕点 旋转而趋于极限位置 MT 直线 就称为曲线 有点 处的切线 设曲线 C 就是函数 y f(x)
3、的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0 f(x0)处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为00)(tanxfxy其中 为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 xx 0时 上式的极限存在 设为 k 即 0)(lim0fkx存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan 其中 是切线MT 的倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义1. 函数 在一点 处导数)(xfy0定义 设
4、函数 在 内有定义，),(xN当自变量 在 处取得增量 (点 仍在该邻域内)时；x0x0相应地函数 取得增量 ；y(0ffy如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，x)(xfy0并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即)(fy0x)(0xf. 0xf0limy0lixf(也可记为 , 或 0xy0xd0)(xf也称函数增量与自变量增量之比 是函数 在以 及 为端点的区间上的平xy0x均变化率，导数 是函数 在点 处的变化率，即瞬时变化率）（ 0xf )(f02. 函数 在一点 处导数导函数)(xfy将 处导数定义中的 换成 ，如果 与 之比当 时的极限存在，则称函0x0x
5、yx0数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，)(fy )(fx)(xf即.)(xf0limxy0liff)(显然，当 在某区间 内变化时， 是 的函数. 因此称之为导函数. 导函数I)(f的记号还有 , 或 ydxf)(3. 处导数与导函数的关系0函数 在点 的导数 是导函数 在点 处的函数值即 )(fy0）（ 0xf ）（ xf0x.）（ 0xf0x通常，导函数简称为导数例题 1 求函数 的导数以及在 点的导数.2y1x4.不可导的情形由可导定义，如果 的极限不存在，即有下述情况之一，称函数 在0limx )(xfy点 处不可导 0x（1） = ； （2） 无稳定的变
6、化趋势.0lixy0lixy例题 2 （1）求函数 在 处的导数.（2）求函数 在 处的导数.31xy5. 导数定义的不同形式= 的具体形式有以下情况，需要学生灵活运用.0limx)(0f（1） = ；0lixxf)(00xf（2） = ；0lihff)(00f（3） = ；0limx0)(xf0f（4） =0limxxff)()0(0xf（5） = .li )(1(00flf )(0f例题 3 （1）已知 存在，求 .)(0xf0limhhxfxf)()0（2）已知 ， 在 处连续，求 .)(afa)(af（3） 计算极限 .3rctnli3xx三、求导举例例 1求函数 f(x) C（ C
7、为常数）的导数 解: hffh)lim)(00lih即( C ) 0 例 2. 求 的导数 . xf1(解: hxhfffh1lim)(li)( 00 200 1)(lim)(li xhxhh 例 3. 求 的导数xf解 hxhffh 00li)(li)( xh21m)( 例 4求函数 f(x) x n (n 为正整数)在 x a 处的导数 解 f (a) (x n1 ax n2 a n1 ) na afli naxlilin1 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x) nx n1 即 ( x n) nx n1 (C)0 21)(1) 1更一般地 有( x ) x 1 其中 为常数 例 5
8、求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x) hfh)(lim0hxhsin)si(l0 2sin)co(21lim0hxh xhxhcos2in)cos(lim0即 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 例 6求函数 f(x) a x(a0 a 1) 的导数 解 f (x) hfh)lim0hx0lia1t令 )1(logmtax aexaxlnlog特别地有( e x ) e x 例 7求函数 f(x)log a x (a0 a 1) 的导数 解 hxhff ahh log)lim)li)( 00 hxahahah xxx )1(li)1(log
9、i)(log1im000 eln即 axal1)(log特殊地 axaln1)(log x1)(l四、函数的可导性与连续性的关系1.单侧导数根据极限存在的充要条件，函数 在点 可导，当且仅当)(xf0与0limxxff()(00limxxf)(0同时存在且相等这两个极限值分别称为 在点 的右导数和左导数（统称为单侧导)(f0数） 分别记为 ， ）（ 0xf）（ 0f2. 可导的充要条件= = ）（ 0xf）（ 0f）（ 0xf例题 4 （1）设 讨论函数 在 处的可导性)(xf0,2x)(xf0（2） 设 ，求 )(f,1sin2x)(f3. 函数可导与连续的关系(1).可导必连续设函数 在点
10、 可导，即 存在，由极限与无穷小量的关系知y)(xf 0limxy)(xf，其中 是 时的无穷小量上式两端同乘以 ，得0yxf)(由此可见，当 时， 即函数 在点 连续 x0y)(f(2). 连续未必可导例如，函数 在点 处连续（图 1） ，但由例题 2（1）知， 在点y|x y|x处不可导 同样，函数 在点 处连续（图 2） ，但由例题 2（2） ，中，0xy30x在点 处不可导. y3x由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导图 1 图 2作业：练习册第 10 次第二讲 求导法则(1)教学内容1. 导数的四则运算;2.
11、反函数的导数法则;3. 复合函数的导数法则.教学目的与要求5. 熟练掌握导数的四则运算法则6. 熟练掌握反函数的求导法则;7. 熟练掌握复合函数的导数法则.教学重点与难点导数的四则运算法则及反函数的导数法则、复合函数的导数法则.教学时数 32.2 求导法则(1)一、导数的四则运算设 都在 处可导，则有),(xu)(vx ； ； ；vv)( uc)( .2u我们现在只证明.证 设 则)(xf)(v=hxffhlim0hxvuxvuh )()(lim0= u)()(= + =xvxhli0 xh)(li0 vu例 1 ，求 ， .2sinco4)(3f )(f)2f解 = ， = .xxi2)(f
12、432例 2 求 的导数.1lg3tasinyx解 .xa 222icosello= .22lg3stlna x例 3 求正切函数的导数.例 4 求正割函数的导数.二、反函数的导数法则法则： 若 单调、连续，在 y 处可导.且 则它的反函数)(yx .0)(y在对应点 处可导，单调.且)(xfy)(xf)(1证 由单调性当 时， 0y从而 ，又因为 连续，当xy)(xf， ，从而 .0xy)(f1y利用以上定理可以证明：， ；21)(arcsinx 21)(arcosxx， .2t 2t三、复合函数的导数法则法则：设 是由 复合而成.若 在 处可导，)(xfy)(),(xufy)(xu而 在
13、处可导.则 在 处可导且u dy证 在 处可导，则有 ， ，其中 . )(fyu0lim)(f )(fuy0可以推得fy)(用 除以式有 ，所以0x xux= .ufd00lim)(li dy这个法则相当重要，称为复合函数的链式法则.复合过程可推广到多个情形.例 3 求 )(3xe解 为 复合而成，所以 = = .yxu3,dxuy3ex例 4 求 (lnta)解 由 复合而成，所以 =lntayxln,tayuxdxuy2sec12cs注：在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程，可直接写出结果.例 5 )1ln(2xy解 = .)(22x 21x例 6 aafrcos)(解 = .)(122
14、xxf 22axa例 7 nbafy)(解 .abxfx)(1例 8 )(lnrctgy解 .abxa 1)(l12例 9 已知 ，求)10()2(xf )(f法 1： = = ！.)0(limfx0lix 10)2x法 2： .)()(1f ()(1 x=100！例 10 设 且 =0，证明： =00,1sin)(,0)(xgxf )0(g)0(f证 = = ，又因为 =)(f )(lim0xfx xx1sinli0)(g=0，且 ，ggxx )(lili001six故易知 =0.)(f例 11 设 在 上有界， ，求xf1,2sin)(xfxg)0(g解 = .)0(g 0)(limsin
15、)(li0)(lim020 xfxfxgxxx作业：练习册第 11 次第三讲 求导法则(2) 高阶导数教学内容1. 隐函数的导数法则;2. 对数求导法;3. 高阶导数.教学目的与要求8. 熟练掌握导数的隐函数的求导法则;9. 会用对数求导法;10. 会求函数的一阶二阶导数和简单函数的 n 阶导数;11. 掌握抽象函数的一阶二阶导数的求法.教学重点与难点隐函数的求导法则导数, 对数求导法, 简单函数的 n 阶导数.教学时数 32.2 求导法则(2)一、隐函数的导数法则1. 隐函数的定义：形如 的函数为显函数.而由方程 或 所确)(xfy0),(yxF),(),(yxgf定的函数为隐函数2. 隐函数求导法：将方程两端对 求导（ 看成 的函数） ，然后解出 例 1 已知 ，求 .0exydyx解： 从而 .ye ye例 2 已知 ，求 .5730x0xd解： 则 .4612y64215y
