1、1第二单元 导数与微分的导 数一、导数的概念1、定义： xyfxffxf 0000 lim)()(lim)( 或2、几何意义：过（x 0,f(x0)）点的切线的斜率，即 。tan)(kf切线方程： )()(00xfxfy法线方程： )(10ff3、可导与连续的关系：可导必连续，连续未必可导。如y=x，在 x=0处不可导。4、左、右导数： （左导）xffxf )(lim)( 000（右导）fffxli0005、导数存在的充要条件： （分段函数必须用此讨)()(00xff论）6、极限、连续、可导之间的关系：在 x0处，可导连续极限存在，反之不真。二、导数公式：1. ； 2.0)(c ;)(1x3.
2、 4.;ossinx sinco6.ec).(ta52 ;c)(t2xx9. 10.;lx e211. 12.;ln1)(logaxa ;1)(lnx13. 14.;rcsi2 ;arcos215. 16.;1)(atn2x .1)t(2x三、导数的四则运算设 ， 都是可导的函数，则有：)(u)(v和差法则: ;u乘法法则： )(vv特别地， （c 是常数） ；c除法法则： ).0(,)(2vuv四、复合函数微分法设函数 在 处有导数 ，函数 在点 的)(xu)(xu)(ufyx对应点 处也有导数 ，则复合函数 ，在点 处)(fyu 有导数，且 .dxyxx 或五、隐函数求导法设 y = f(
3、x)由方程 F(x,y)=0 所确定，求 y / 时，将方程中的 y看作中间变量，先对其求导，再对 x 求导，解出 y /即可。六、由参数方程确定的函数的求导法则设 y=y(x)由 所确定，(t) 、(t)可导，且 /(t)0，则有：)(tdxy七、对数求导法x=(t)y=(t)3幂指函数 的导数，可化成隐函数 lny = vlnu,按隐函数vuy求导法求其导数。八、高阶导数1、显函数：一阶一阶的往上求，直至满足要求。2、隐函数： dxyyd,3、参数方程所表示的函数： 均是对 t 求微分）dxy,(,或 3)()tttyx微 分一、概念： dxfyxAy)(),(二、微分与导数的关系：导数
4、微分三、微分基本公式：（略，见导数基本公式）四、微分的四则运算（1） ;)(dvud（2） ，特别地 ， （C 为常数）v ,)(du（3） ).0(,)(2v五、复合函数的微分法则设 则复合函数 的微分为：),(),(xufy)(xfydufd六、微分用于近似计算 )0()(xfxf例 1 设 f(x)在 x = x0处可导，且 f /(x0)= 2,求 。hxffh)(lim004解： 2)()(lim)(lim00000 xfhfxfhxffhh例 2 设 y=f(x)满足 ，求 f /(0)（求 x0=0时的导1)2x数)解： 1)(22)0(li)2(0li0 fxffxfxx所以
5、1f例 3 设 f(x)在 x=2处可导，且 f /(2)=1,求 hffh2)()(lim0（x 0=2）解： hfffhffhh 2)()()(lim2)()(lim0 1212110 ff例 4 设 f /(x0)=1,f(x0)=0,求 （化成分式，添项）)(li0xfh解： 1)(1)(lim)1(li 000 xfhfhxfh例 5 设 y=f(x)在点 x=1 处可导，且 求 f(1)。,2)(lim1fx（利用可导与连续关系求函数值）解： 因 y=f(x)在点 x=1 处可导，可知 f(x)在 x=1 处必连续，由定义知 2)(lim)1(xff例 6 设 f /(1)=1，求
6、 （相应于区间 1，x的增量）1)(1fx解： 21)(lili)(li21 fxfx例 7 设 )(,2)(,)(gfxgf 求 )()(xgufxg解： 2ln2ln,ln2 )(xgux xff 5例 8 设 yxey求),1sin(解： )cos(1)()cos(co 1211 xxxx ee例 9 求曲线 y=1+sinx 在点（0，1）处切线的斜率 k。解：y /=cosx，y /(0)=1，所以 k=1.例 10 设 y=y(x)由方程 cos(x+y)+y=1 确定，求 dxy解：等式两端同时求导得：sin(x+y)(x+y) /+y /=0,即sin(x+y)(1+y /)+
7、y /=0，解得 )sin(1yxy例 11 求由方程 所确定的隐函数 y=y(x)的导数 y /。022xye解：等式两端同时求导得： 0)(yxeyx所以 )2(xyey例 12 设函数 ，求 y / (对数求导法) sin解：等式两端同时取对数得：ln y = sinx lnx两端关于 x求导得： xxysin1lcos1所以 )inl(cossinxyx例 13 设函数 y=y(x)由参数方程 x=cost,y=sint-tcost确定，求y/，y /。解： （参数方程的导数） tttdytdtx sinicos,sinttxysi6ttdxydtysin1i,2例 14 设 22,l
8、1, xyttx求解： tdtxyttdytdt 2222 1,1,12221, tdtxyty例 15 讨论 f(x)= 在 x=0处的连续性与可导性。解： 0)1(lim)(li,0)1ln(im)(li 000 xxfxxf而 f(0)=ln(1-0)=0,所以 f(x)在 x=0处连续。li)1ln(i)(li)( 000 xxxfff xxfff 1limlim1)1(20li xx由 = =1，可知 ，故 f(x)在 x=0 处可导。)(ff0(f例 16 设 ，其中 f /(x)存在，求 y /。)(xey解： )()( xxeff 例 17 设 1,1ln)(2fx求解： 22
9、2 )1()()(, xxxff ln (1-x) , -1x0 7所以 f/(-1)=0例 18 设 )(,23sin)(xfex求解： )2(sini23sin(i xefxx2cosin6例 19 设 ，求 y /. (先化简，再求导) 1lxey解： )1(1)ln()ln( xxxx eee22)1(1 xxxxxx ee例 20 设方程 y=sin(x+y)确定了函数 y=y(x),求 y/ (用微分法) 解： dxdyxdyxdy cos()cos()(cos )(12)cos(1 )(sinsinyxdyxdyxyd2)cos(1iyx22 )cos(1)sin()cs(iny
10、xyxddxy 3)o(1i例 21 设函数 f(x)= 问 x=0 处可导吗？解：该分段函数在 x=0 两侧的函数表达式虽相同，而的极限不同，要分左右导数讨论。xex1,0时与 0,1xe0 , x = 08 xexyfxexyf 100100 limli)(,limli)(所以，在 x=0 处左右导数不相等，故导数不存在。例 22 设 y=f(x)由参数方程 x=ln(1+t2) , y = t-arctant 确定，求（06、14） 2,dxy解： dttydtxdytdxttdty 21)(,2,12,122 tdttxyd41222例 23 设函数 y=y(x)是由参数方程 x=co
11、st, y=sint-tcost 所确定，求 （05、14） 2,dxy解： ttdxytdtxttdy sin,sin,sincost)(ttdxydsin1i2例 24 设函数 y=y(x)由方程 确定，求xyex020,xxdy解：两端对 x 求导得： （07、14） yx所以 ，又当 x=0 时 y=0eydx9故 10xdy，用 x=0,y=0 及 y/(0)=122 )()1()(xeyeey代入得： 02xd例 25 函数 f(x)是可导函数，下列各式中正确的是（ A ）A、 B、)0()(0limfxfx )()(2(lim000xfxffx C、 （08、2）)(li 00f
12、fx D、 （在0，x区月份间2)()(00 xxf上） 例 26 函数 y=y(x)由方程 x=t-sint,y=1-cost所确定，求（08、14）2,dxy解： 2cotsin2co1si,cos1,sin ttdtxytdtxtdy ttdy2cs1)(co2sin41si2in1)s(2 tttdtx 例 27 计算 的近似值。1.0解：选 ，x 0=100, x=100.1, 则f)( xff 12)(,1010代入公式：f(x)f(x 0)+f/( x0)(x-x0)得：5.1).1(20.1例 28 已知 f(x)= 在（ -，+）内处处可导，试求 a、b、c、d 的值。解：分
13、段点为 x=0及 x=1, f(x)在 x=0处连续 (可导必连续)因 f(0)=0, dcxbaxxx (lim,0)(li 2320所以 d=f(0)=0又因 f(x)在 x=1处连续 ,即 a+b+c=0 0)1(li)(lim23121 fdcxbaxx由于 f(x)在 x=0 可导， （讨论 x=0 的导数取由 0 增大到 x ）所以 cxbafxf xx lim)0(1lim)0( 232故 c=1 由于 f(x)在 x=1 可导， （讨论 x=1 的导数取由 1 增大到 x ）所以 23lim(1lim)1( 123 cbaxcbabaf xx 洛 必 达c，故 1li10li)1(2 xxf 123cba由、联立解得：a=2, b=-3,c=1所以，当 a=2, b=-3,c=1，d=0 时 f(x)在（-，+）内处处可导。例 29 若 y=x2+ax+b与 2y=-1+xy3在点（1，-1）处相切，求常数 a,b.x2+x, x0ax3+bx2+cx+d, 0x1x2-x, x1
