1、第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理内容介绍知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程 应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。弹性力学问题具有 15 个基本未知量，基本方程也是 15 个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。由于基本方程与 15 个未知量的内在联系，例如已
2、知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。学习要点：1. 弹性力学基本方程；2. 本构方程；3. 边界条件；4. 弹性力学边值问题；首先将弹性力学基本方程综合如下：1. 平衡微分方程 用张量形式描述 2. 几何方程 用张量形式描述 变形协
3、调方程 当然，具体求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以而且必须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。 基于上述的理由，为简化求解的难度，选取部分未知量作为基本未知量。若以位移函数作为基本未知量求解，称为位移解法； 若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法； 若以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，称为
4、混合解法。 在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题， 数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。 第一类边值问题： 已知弹性体内的体力 Fbx， Fby，F bz 和其表面的面力Fsx，F sy，F sz，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。 第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量 Fbx，F by，F bz 以及表面的位移分量 ， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为位移边界条件。 第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量 Fbx，F by，F bz，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分
5、量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称为混合边值问题。 以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。 4边界条件： 如果物体表面的面力 Fsx，F sy，F sz 为已知，则边界条件应为： 称为面力边界条件，用张量符号表示为 如果物体表面的位移 已知，则边界条件应为称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，还有混合边界条件。综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程
6、，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。这里没有考虑变形协调方程，原因是位移已经作为基本未知量。对于任意的单值连续的位移函数，如果设其有三阶的连续导数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果，自然地满足，所以位移作为基本未知量时，不需要考虑变形协调方程。要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。 弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。位移解法是以位移函数作为基本未知函数求解的，所以需要通过几何方程将位移函数表达为应变分量，再通过物理方程将其表达为应力分量，代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。 首先，根据物理方程和几何方程，可以得
7、到由位移分量表达的应力分量，即其中 将上述位移表示的应力分量代入平衡微分方程，整理后可得 这里 是拉普拉斯运算符号，即 上述方程是以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅（Lam）方程，它可以表示为张量形式 或表达为矢量形式 上式中 为拉普拉斯算符矢量。对于边界条件， 如果物体表面的位移已知，则直接由位移形式给定，即使用位移边界条件。 如果给定的边界条件是物体表面的面力， 则面力边界条件式需用位移分量表示， 将应力分量代入物理方程，整理可得位移分量表示的面力边界条件： 或表达为张量形式 显然，如果给定的边界条件是面力边界条件，那么位移解法的边界条件表达式十分复杂，因此求解的难度将是比较大的。 总之，
8、如果以位移函数作为基本未知函数求解弹性力学问题，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，则可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。以应力作为基本未知函数求解弹性力学问题时，应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。但是仅此还不够，仅仅满足上述条件的应力分量并不是真正的应力。因为这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将可能得到一组矛盾方程，不可能求出单值连续的位移分量。要使这组方程不矛盾，则要求应力分量不仅满足平衡微分方程和面力边界条件，而且应力分量对应的应变分量必须满足变形协调方程。 这个问题也可以从物理上解释，应力分量满足平衡微分方程
9、和面力边界条件，只能保证物体的平衡，但是不能保证物体的连续。只有这组应力分量求出的应变分量满足变形协调方程时，才能保证变形后的物体是连续的。当位移分量作为基本未知函数求解时，变形协调方程是自然满足的。如果位移表示基本未知量，只有应力作为基本未知函数求解时，变形协调方程作为一组补充方程是必须的。 因此，对于应力解法，应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程。由于变形协调方程是由应变分量表达的，在应力解法中，需要将其转换为由应力分量表达。将物理方程改写为其中 将上式代入变形协调方程的第一，四两式，可得 轮换 x， y，z 可得其余四个方程。由此可得应力表达的变形协调方程。下面我们对应力分量表示的
10、变形协调方程的第二式作简化。 首先对平衡微分方程的第二和第三两式分别对 z，y 求偏导数，然后相加可以得到 将上式与变形协调方程的第二式相加后并整理，可得 上式为简化后的方程，轮换 x，y ，z 以后，可得另外两个类似的公式。 综上所述，我们一共得到以下六个关系式： 上述方程即为应力分量表达的变形协调方程，通常称为贝尔特拉米-米切尔方程。 如果弹性体体力为常量，则应力分量表达的变形协调方程可以简化为 上述方程为应力分量表达的变形协调方程，通常简称为应力协调方程。但是应该注意：应力是不需要协调的，其实质仍为应变分量所满足的变形协调关系。 如果用张量形式表达，则上述公式可写作 总而言之，在以应力函
11、数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。混合解法以六个应力分量和三个位移分量作为基本未知量求解弹性力学问题。通过物理方程中消去应变分量，其基本方程为平衡微分方程和由应力分量表达的几何方程，即 这里有三个平衡微分方程和六个几何方程，共计九个方程对应九个未知函数，加上给定的边界条件，则可得到唯一的解。 弹性力学的基本求解方法的应用要根据问题性质，主要是根据边界条件选择使用。对于面力边界条件问题，使用应力解法；位移边界条件应用位移解法；混合解法主要应用于混合边界条件，即弹性体的部分边界位移已知，部分边界面力已知的问题。 本节将从位移表达的平衡微分方程和应力表达的变形协调方程入手，推导体力为常量时的应力分量，应变分量，位移分量，以及体积应力和体积应变所遵循的规律，为进一步分析和理解弹性力学问题作必要的准备。 将位移分量表示的平衡微分方程的三个公式分别对 x，y ，z 求偏导数， 然后相加可得
