1、五、复合函数的偏导数定理 1 设 ， 在点 处有连续偏导数，),(yxu(,)vxy),(在相应的点 处有连续偏导数，则复合函数),(vufz),(v在点 处有偏导数，且,xyxzuxzyvy为了更清楚地表示复合函数中变量之间的关系,常用图 6-1 表示,称这种图为函数的结构图. 图 6-1多元复合函数的求导和一元复合函数求导类似.在进行多元复合函数的求导时,一般是先写出函数与中间变量、自变量的结构图求函数对某个自变量的偏导数时，看函数到该自变量有几条路线，则求导公式中就有几项，每条路线有几根连线，每项就有几个偏导数相乘.如果只有唯一的自变量，偏导数就成为了一元函数的导数（称为全导数） 例 8
2、 设 求 ,sin,cos,xyuettdu解 作函数的结构图. 由结构图可得 tydtxt1sin22sincoc()(osyxttetee例 9 ，求 ， arin,zu2xyxzy解 作函数的结构图. 由结构图可得 xz221,()duxy.yy例 10 求函数 的偏导数)sin(xez解 设 ， 则 ， xu,vvezusi1cossinveyveuu，)()(yxxxzyz1cossinveveuu )cos()sin(yxyxexy例 11 设 ， 且 二阶可导，求()zf2fu2z解 ， 2,xy()zduf22()2()4()xfuxyfuxyfyy六、隐函数的一阶偏导数定理
3、2 设方程 确定隐函数 ，且 可微，则当0),(yxF)(xfy),(yF，函数 可导，且有0yF)(fyyxd定理 3 设方程 确定隐函数 ，函数 可微，且0),(z),(yxfz),(zyx，则函数 具有连续的偏导数，且有0z xfz， zxFyzyF例 12 设方程 确定函数 ，求 0)sin(y)(xdy解 设 ，则 xxF),， ， coyy)cos(yxFdx例 13 设 ，求 2234xyzz解 令 ，2(,)34x因为 ， ， xyz6所以 ， ， xzFzzx6 zyFyzy3264七、二元函数的极值1. 二元函数的极值二元函数极值的定义与一元函数极值的定义是类似的定义 3
4、设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果对该邻),(yxfz),(0y域内异于 的点 都满足不等式 ，则称 为),(0yx ),(0yxff),(0yxf函数 的极大值；如果都满足不等式 ，则称 为f ,函数 的极小值，极大值与极小值统称为极值，使函数为极值的点,称为极值点)(0yx例 14 函数 在 取得极小值1，因为当 或),(2yxf )0,( 0x时， (如图 6-2).1),(2fyxf例 15 函数 在点 处取得极大值 .因为在点2z, 1),0(f附近 处有 (如图 6-3), 其函数对应的)0,(),( ),),(fyxf 曲面是上半球面，显然 高于周围的点0图 62 图 63定
5、理 4 （极值存在的必要条件）设函数 在点 处有极值，),(yxfz),(0y并且在该点有偏导数 ， 存在，则有 ，),(0yxf),(0yxf 。0),(0yxf使 ， 同时成立的点 称为函数的驻点，f ),(fy ,(解 得驻点为（1，-1）。2=0,2=0zzxy令由定理 4 可知，可导函数的极值点必为驻点，但函数的驻点不一定是极值点.例如 是函数 的驻点，但在 的任何一个邻域内，既存在使)0,(yz),(取负值的点，又存在使 取正值的点，因而驻点 不是极值点z ),(定理 5（极值存在的充分条件）设函数 在点 的某个邻yxfz),(0yxP域内具有二阶连续偏导数且 , 若记 ，0),(
6、0yxf,0y ,fA， 则),(0yxfBCy(1)当 时， 为极值， 时为极大值， 时为极2A,0f小值;(2)当 时， 不是极值；),(x(3)当 时， 可能是极值也可能不是极值020yf利用定理求具有二阶连续偏导数的函数 的极值的步骤：),(yxfz(1)求偏导 ；yxyxff,(2)解方程组 ， 求出驻点 ；0),(fy ),(0yx(3)求出驻点处 ， ， 的值；,AxfB),(0yxfC(4)由 的符号判定出 是否为极值，若是极值，则求出CB2 ),(0y例 17 求函数 的极值xxyf 93),( 23解 ， ， ， ， 9632xfx 6f6fxyf6yf解方程组 ,02y求
7、得驻点 ， ， ， )0,1(,)3(),(在 处， ，且 ，所以函数在 处有极小值 ；, 72ACBA)0,1( 5)0,1(f在 处， ，所以 不是极值点；),(0)2,1(在 处， ，所以 不是极值点0392 03在 处， ，且 ，所以函数在 处有极大值, 7ABA)2,3(1)(f例 18 要制造一个无盖的长方体水池，已知它的底造价为每平方米 1800元，侧面造价均为每平方米 600 元，设计的总造价为 21600 元，问如何选取它的尺寸，才能使水池的容积最大？解 设水池的长宽高分别为 ，则容积为zyx,（1）)0,(xyzV由已知条件可知 ，2160(6180即 ，3)23解得 （2
8、）yxyxz1(将（2）代入（1）式,得，V223从而有，22)()11(yxyxyx 22)(13yx23 令 , 得唯一驻点（2，2）即 ，代入（2）式得 0,yVx yxz由问题的实际意义可知，函数 在 时确有最大值,又只有唯xyzv0一的驻点，所以取长宽都为 2 米，高为 3 米时，水池的容积最大2. 条件极值如果自变量在定义域内可以任意取值，不受任何限制，所求得函数的极值，通常称为无条件极值, 如例 17如果自变量的取值有附加条件,求得函数的极值，称为条件极值，如例 18，求容积 V 的最大值，除了定义域外，自变量 还有附加条件 对于有些0,zyxzyx 36)(23yxz实际问题，
9、可以把条件极值化为无条件极值，例如例 18. 但在许多情况下，将条件极值化为无条件极值并不简单，我们有另外一种直接求条件极值的方法，可以不必先把问题化为无条件极值，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法.考虑函数 在满足条件 （称为约束条件）的极值问),(yxfz0),(yx题用拉格朗日乘数法求解的步骤如下：(1)构造一个辅助函数（称为用拉格朗日函数），),(),(),(fL其中 为待定常数，称为用拉格朗日乘数，将条件极值问题转化为求的无条件极值问题；),(zyxL(2)求驻点，即解方程组 ;0),(,0yxLfxx(3)判别所求的驻点是否为极值点，通常由实际问题的实际意义判定例 19 设某工厂生产 和 两种产品，产量分别为 和 （单位:千件） ，ABxy总利润函数为（单位:万元）2416),(2yxyxL已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料 千克，现有该0原料 千克，问两种产品生产多少千件时，总利润最大?最大总利润为多少？ 50解 问题是在 ，即 约束条件下，求 的最5020yx5.2yx ),(yxL大值. 构成拉格朗日函数 )5.2(2416),(2 yxyxyxF解方程组 05.2),(816,yxFyx得 .1x5y这是唯一可能的极值点 因为由实际问题本身可知最大值一定存在 所以总利润的最大值就在 ， 取得 此时总利润的最大值 （万元）1x5.y 18)5.,(L
