1、第六章 定积分定积分的有关理论是从 17 世纪开始出现和发展起来的，人们对几何与力学中某些问题的研究是导致定积分理论出现的主要背景尽管其中某些问题早在公元前就被古希腊人研究过，但直到 17 世纪有了牛顿(Newton)和莱布尼兹(Leibnitz)的微分思想后，才使这些问题统一到一起，并且与求不定积分的问题联系起来下面我们先从几何与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质、计算方法及其应用第一节 定积分概念一、 定积分问题举例 曲边梯形的面积设 f(x)是定义在区间a,b上的非负连续函数，由曲线 yf(x)及直线 xa,xb 和 y0 所围成的图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边
2、梯形的面积图 61为了利用已知图形(比如说矩形 )的面积公式，可以先在 a,b内任意插入 n 个分点ax0x 1x 2x nb这样整个曲边梯形就相应地被直线 xxi(i1,2,n1)分成 n 个小曲边梯形，区间a,b分成 n 个小区间x 0,x1,x 1,x2,， x n1,xn,第 i 个小区间的长度为x ixixi （i1,2,，n) 对于第 i 个小曲边梯形来说，当其底边长 x i 足够小时，其高度的变化也是非常小的，这时它的面积可以用某个小矩形的面积来近似若任取 ix i1,xi,用 f( i)作为第 i 个小矩形的高(图 61)，则第 i 个小曲边梯形面积的近似值为A if( i)x
3、 i这样，整个曲边梯形面积的近似值就是11()nniiif从几何直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲边梯形的面积就会越接近，因而和式与整个曲边梯形的面积也会越接近，记 ，当 0 时，和式1()niifx1maxiin的极限如果存在，则这个极限值即为曲边梯形的面积 A，即 1()niif01lm()niiAfx2 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度 vv(t)是时间间隔 ， 上 t 的连续函数，且v(t) 0，计算在这段时间内物体所经过的路程 s我们知道，对于匀速直线运动，有公式：路程速度时间但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化着的变量，因此所求路程 s 不能直接按匀
4、速直线运动的路程公式来计算然而，物体运动的速度函数 vv(t)是连续变化的，在很短的时间内，速度的变化很小因此如果把时间间隔分小，在小段时间内，以等速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部分路程的近似值，再求和得到整个路程的近似值最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物体在时间间隔 ， 内的路程对于这一问题的数学描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，具体描述为：在区间 ， 内任意插入 n1 个分点 t 0t 1t 2t n1t nT2,把区间 ， 分成 n 个小区间t 0,t1,t 1,t2,， t n ，t n ，各小区间的长度依次为 t 1, t2,，t n,在时间段t i ，
5、t i上的路程的近似值为v( i)t i (i1,2,，n)，整个时间段 ， 上路程的近似值为sv( 1)t 1+v( 2)t 2+v( n)t n1nii当分点越密时， 就会与 s 越接近，因此记 ,当 0 时，和式1()niivt 1maxiint的极限如果存在，则这个极限值即为物体在时间间隔 ， 内所走过1()niivt的路程即01lim()nisvt二、 定积分定义从上面的两个例子可以看到，尽管所要计算的量，即曲边梯形的面积 A 及变速直线运动的路程 s 的实际意义不同，前者是几何量，后者是物理量，但计算这些量的方法与步骤都是相同的，它们都可归结为具有相同结构的一种特定和的极限，如面积
6、 ,01lim()niAfx路程 .01li()nisvt抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念定义 设函数 f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入 n1 个分点ax0x 1x 2x nb,把区间a,b分成 n 个小区间x 0,x1,x 1,x2,， x n ，x n,各小区间的长度依次为x 1x1x0,x 2x2x1,，x nxnxn1,在每个小区间x i ，x i上任取一点 i,作乘积 f( i)x i(i1,2,n)，再作和式 （611）0lmiS记 maxx 1,x 2,， xn,如果不论a,b怎样分法，也不论 x i ，x
7、 i上点 i怎样取法，当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I，这时我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间a,b上的定积分(简称积分 )，记作 ,即()dafx， (612)0(libiaf I其中 f(x)叫做被积函数，f(x )dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限， a,b叫做积分区间注 当和式 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x)及积分区间1()niifa,b有关，而与积分变量所用字母无关，即()d()()dbbbaaafxftfu读者容易由定积分的定义或下面介绍的定积分的几何意义得到这一结论如果 f(x)在a,b上的定积分存在，我们就说
8、 f(x)在a,b上可积由于这个定义是由黎曼(Riemann)首先给出的，所以这里的可积也称为黎曼可积，相应的积分和式也称为黎曼和1()niif对于定积分，有这样一个重要问题：函数 f(x)在a,b上满足怎样的条件， f(x)在a,b上一定可积?这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件定理 1 设 f(x)在区间a,b上连续，则 f(x)在a,b上可积定理 2 设 f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在a,b上可积利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下：曲线 yf(x) (f(x)0) 、x 轴及两条直线 xa、xb 所围成的曲边梯形的面积 A
9、 等于函数f(x)在区间a,b上的定积分即()daAf物体以变速 vv(t)v (t)0作直线运动，从时刻 tT1 到时刻 tT2,这物体经过的路程s 等于函数 v(t)在区间 ， 上的定积分，即12()Tsvt三、 定积分的几何意义在a,b上 f(x)0 时，我们已经知道，定积分 在几何上表示曲线 yf(x)、()dbafx两条直线 xa、 xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积；在 a,b上 f(x)0 时，由曲线 yf(x)、两条直线 xa、 xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，定积分图 62在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在a,b上 f(x)既取得正值又取得负()d
10、bafx值时，函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴上方，而其他部分在 x 轴的下方(图 62)如果我们对面积赋以正负号，在 x 轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分 的几何意义为：它是介于 x 轴、函数 f(x)的图形及两条()dbaf直线 xa、xb 之间的各部分面积的代数和图 63例 1 利用定积分的几何意义，计算120dx解 显然，根据定积分的定义来求解是比较困难的，根据定积分的几何意义知， 就是图 63 所示半径为 1 的圆在第一象限部分的面积，所以120dx220d4x四、 定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，我们先对定积分作以下两
11、点补充规定：(1) 当 ab 时， 0;()afx(2) 当 ab 时， db()dabfx由上式可知，交换定积分的上下限时，绝对值不变而符号相反下面我们讨论定积分的性质下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即()d()()dbbbaaafxgfxgx证 01()lim()nb iiiaf f0011li()li()nni ifxgxdbbaaf性质 1 对于任意有限个函数都是成立的类似地，可以证明：性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即(k 是常数)()d()bba
12、akfxfx性质 3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设 aCb， 则()()()dcbaacfxfxfx证 因为函数 f(x)在区间a,b上可积，所以不论把a,b怎样分，积分和的极限总是不变的因此，我们在分区间时，可以使 c 永远是个分点那末， a,b上的积分和等于a,c上的积分和加c ,b上的积分和，记为,()()()i i iaaccbffxfx令 0，上式两端同时取极限，即得()d()()dbaacfxff这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性按定积分的补充规定，不论 a,b,c 的相对位置如何，总有等式()d()()dbcbaacfx
13、fxfx成立例如，当 abc 时，由于,()()()cbaabfff于是得 ()d()()dbccaabfxfxfxc性质 4 如果在区间a,b上 f(x)1，则dbbaa这个性质的证明请读者自己完成性质 5 如果在区间a,b上，f(x)0，则(ab) ()0bafx证 因为 f(x)0，所以 f( i)0(i1,2,，n)又由于 x i0(i1,2,，n),因此0,1(iif令 maxx 1,，x n 0，便得到要证的不等式推论 1 如果在区间a,b上，f(x)g(x), 则(ab)()dbbaafxgx证 因为 g(x)f(x)0，由性质 5 得0()baf再利用性质 1，便得到要证的不等
14、式推论 2 (ab) ()d()dbbaafxfx证 因为f(x)f(x)f(x),所以由推论 1 及性质 2 可得，d()dbbbaaafffx即()()bbaafxf注 f( x)在 a,b上的可积性可由 f(x)在a,b上的可积性推出，这里我们不作证明性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间a,b上的最大值及最小值，则m(ba) M(ba) (ab)dbfx证 因为 mf(x)M,所以由性质 5 推论 1 得()dbbbaaafx再由性质 2 及性质 4，即得到所要证的不等式这个性质说明，由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围例 2 估计定积分 的值2
15、1d+x解 因 f(x) 在，上连续，所以在，上可积，又因为2(1x2)，21()0)fx所以 f(x)在，上单调减少，从而有，()52f于是由性质 6 有21()dfx性质 7 (定积分中值定理) 如果函数 f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点 ，使下式成立：（a b） ()bafxf这个公式叫做积分中值公式证 把性质 6 中的不等式各除以 ba 得1()dmfxM这表明，确定的数值 介于函数 f(x)的最小值 m 及最大值 M 之间根据闭区1()dbafx间上连续函数的介值定理，在a,b上至少存在一点 ，使得函数 f(x)在点 处的值与这个确定的数值相等，即应有(
16、a b)()bafxf两端各乘以 ba，即得所要证的等式图 64积分中值公式有如下的几何解释：在区间a,b上至少存在一点 ，使得以区间a,b为底边、以曲线 yf(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f( )的一个矩形的面积( 图 64)显然，积分中值公式（ 在 a 与 b 之间）()d()baffb不论 ab 或 ab 都是成立的例 3 求 120lim+nnx解 由于当 0x1/2 时，有0 x n,21+所以0 12dnx120n又由积分中值定理，有（ 1/2)，120limlinnnx故120lid0+nnx习题 611 利用定积分定义计算由抛物线 yx2+1,直线 xa，xb
17、 及 x 轴所围成的图形的面积2 利用定积分的几何意义求定积分：(1) ; (2) （a0） 0dx20da3 根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1) 与 ； (2) 与 12013010ex10()x4 估计下列各积分值的范围：(1) ； (2) ;21()dx31arctnd(3) （a0)； (4) 2eax 20ex第二节 微积分基本公式在第一节中，我们介绍了定积分的定义和性质，但并未给出一个有效的计算方法，当被积函数较复杂时，难以利用定积分直接计算为了解决这个问题，自本节开始将介绍一些求定积分的方法一、 积分上限函数设函数 f(t)在a,b上可积，对于 xa,b ，则函数 f(t
18、)在a,x上可积定积分对每一个取定的 x 值都有一个对应值，记为dxaF(x) , ax b,()daftF(x)是积分上限 x 的函数，称为积分上限函数，或称变上限函数或变上限积分积分上限函数具有下述重要性质定理 1(原函数存在定理) 设函数 f(x)在a,b上连续，则积分上限函数就是 f(x)在a,b上的一个原函数，即(dxaft,axbd()()xaFftf证 我们只对 x( a,b)来证明 (xa 处的右导数与 xb 处的左导数也可类似证明) 取x充分小，使 x+x (a,b)，则F F(x+x) F(x) (d(xaaftftd)axft()x因 f(x)在a,b上连续，由积分中值定
19、理，有Ff( )x, 在 x 与 x+ x 之间，即F/xf( )由于 x0 时， x ，而 f(x)是连续函数，上式两边取极限有,00limlilim()xxfff即F(x)f(x)另外，若 f(x)在a,b上可积,则称函数 (x) , xa,bdbft为 f(x)在a,b上的积分下限函数，它的有关性质及运算可直接通过关系式 ()()bxxbftft转化为积分上限函数而获得例 1 设 f(x)C（,+ ） ）,且满足方程，1681200()d()9x xfttf求 f(x)解 在方程两端对变量 x 求导得，2157()()2ffxx即 (1+x2)f(x)2x (1+x2),故f(x)2x 例 2 计算下列导数：(1) ; (2) sin0d()xft 32detx解 (1) sinsin00dsi()()x xftft(icofA(2) 3 32200ddeedx xt ttx300ext t232exxA23e对于一般情形，我们有下述结论：设 f(x)C (a,b),u(x )和 v(x)为可导函数，且 u(x)a,b,v( x)a,b ，则有()d(ftff读者可利用复合函数求导法则证明此结论例 3 求 21cos0elimtx解 易知这是一个 型的未定式，我们用洛必达法则来计算 22cos11cos00ededlilim()xttx xx2cos0inliexx
