1、一元函数积分学【知识要点】1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2、熟练掌握不定积分的基本公式。3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换） 。4、熟练掌握不定积分的分部积分法。5、掌握简单有理函数不定积分的计算。6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件7、掌握定积分的基本性质8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。9、熟练掌握牛顿莱布尼茨公式。10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。11、 .理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕
2、坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。1 不定积分定义 函数 的全体原函数称为函数 的不定积分，记作 ，并称 微积分)(xf )(xfdxf)(号，函数 为被积函数， 为被积表达式， 为积分变量。因此df)(，CxFdf)()(其中 是 的一个原函数， 为任意常数（积分常数） 。f基本积分公式（要求熟练记忆）（1 ） dx0（2 ） .)1(1aCa（3 ） . xln（4 ） dxl ),0(（5 ） Cex（6 ） Cxdcossin（7 ） i（8 ） .xtacos12（9 ） . Cdcin（10 ） .xxarsin12（11 ） .dct2正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的
3、关键之一，所有积分公式中的 均应x理解为 的连续函数，例如 理解为下面的结构式：x Cxadx1式中的方块可以为自变量 ，也可以是 的函数，如：xx正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。2 直接积分法直接积分法是指用代数或三角恒等变形，并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。3 换元积分法换元积分法就是对不定积分 作适当的变量代换：令 ，或令dxf)( )(ux，把被积表达式变换成对新变量 的函数，而对 积分时是可利用基本积分公式)(xuu的类型。这就是换元积分法。换元积分法的依据就是基本积分公式中的 可以换成任意连续可导函数时，公式依然x成立。例如：如：.Cxu
4、xdu)(arctn)(12当用任意连续可导函数来替换 时，公式仍然成立，如 ， ，)sin(xul1.A34sini， ，等等，公式均成立：xusin)l(sinxu.Cxd )sinarctl(li)l(i12换元积分法分第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。1、 第一类换元积分法 第一类换元积分法又称凑微分法，这种积分方法是：求积分 时，若dxf)(是 的可导函数，用一个新的变量 来代换 ，并用 代换 ，此时积分)(xu)(xdu变成了 ，而它用可以直接用公式积分得到 ，最后将dxf)(df)( CF)(换成 即可。u2、第二类换元积分法第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，所给
5、的积分 不能直接套公dxf)(式计算，而是要将积分变量 用一个函数 代替（要求 严格单调、可导） ，且x)(ttx0)(t，并将 d用 代替，使积分变成 ，这个积分可以套公式t)(tf)(积出为 ，最后将 用 作反还原。CF1x4 分部积分法分部积分法也是一种重要的方法，它是由函数之积的微分公式推导出来的。分部积分公式设 均可导，则 udvvd)(，)(,xvu两边对 积分得 。u移项得分部积分公式如下：vdu或 。udv说明：在用分部积分法进行积分时，应努力使积分中右端的积分比左端的积分容易，因此应用分部积分法时，恰当选择 和 （或 和 ）是解题的关键。如果选取不当，得到的积分会比原积分更不
6、易求出。对 和 的选择，应当考虑两点：（1 ） 要容易求得。v（2 ）要使 较所给积分 容易计算。duudv5 定积分定积分 的几何意义是：它是介于 轴、曲线 、直线 之间badxf )( x)(xfybxa、各部分面积的代数和；在 上方的面积取正号，在 下方的面积取负号。对于定积分的定义，我们还应明确以下几点：（1）定积分的值是一个常数，它知与被积函数 及积分区间 有关，而与积分变)(xf,b量的字母无关，则应有 。babadtfxf )(（2）在定积分的定义中，我们假定 ；如果 ，我们规定abaabdfdxf )()(如果 则规定 0 x6 定积分的计算1、变上限积分定义 积分上限 为变量
7、时的定积分 称为变上限积分。变上限积分一般是上限xdtfxa)(的函数，记为 ，于是有 ，且有下列定理。x)( )(定理（对积分上限的导数） 如果函数 在区间 上连续，则函数xf,bxadtf )()()bx对积分上限 的导数等于 ，即 。(f)()()(xfdtfxxa设 是 的可导函数，记 ，)(,xb tbx)(则此定理可以推广为。)()()( afxbfdtfxba 2、牛顿莱布尼茨公式定理（牛顿莱布尼茨公式） 如果 是连续函数 在区间 上的任意一个原函)(F)(xf,ba数，则有 。)()( abdxfba7 定积分的应用定积分的应用主要有：平面图形面积的计算以及旋转体体积的计算。计
8、算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线及两条直线 和 所)(),(21xfygax1b2围成的（其中 是下面的曲线， 是上面的曲线） ，12y则其面积可由下式求出： .)(dxgfSba如果平面图形是由两条连续曲线及两条直线 和 所围)(),(21yxcy1d2成的（其中 是左边的曲线， 是右边的曲线） ，则其12x面积可由下式求出： .)(dySdc计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线 和直线)0()xfy及 轴所围平面图形绕 轴旋转一周所形)(,baxx成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积 可由下式求出：V.)()(22dxfdxfVbabax同理，若立体是由连续曲线 和直线y)
9、0(及 轴所围平面图形绕 轴旋转一周)(,cy所成的旋转体，如图所示，则该旋转体的体积 可由下式yV求出：.dcdcy yyV)()(22)(xfy)(gya o b xo x)(yx)(yyd co a x x+dx b xy )(xfo x)(yxydy+dyyy图 5.16c【历年试题选编】选择题1、 （ 0806） （ ）dx)1(cosCxAsin. CBsin. Cxcos. CxDcos.答案： 。分析： 利用不定积分性质和公式即得。2、 （ 0907）若 ，则 （ ）edxf22)( )(fxA.2.B2.C1.D答案： . 利用不定积分性质即得。3、 （ 1005） （ ）d
10、x41. 3. Cx31.xD31.答案： .利用不定积分公式，可知选项 正确。AA4、 （ 0807） （ ）dx15.12.B0.C答案： . 分析：因为 为奇函数。5x5、 （ 0906） （ ）dx10221.xdA21.xB4.C0.D答案： .D分析：因为定积分的值是一个常数。6、 （ 1007）已知 ，则 （ ）dtxF02)( )(xF21.xA1.B2.C1.2xD答案： .C填空题7、 （ 0817） ._)(03dtx答案： 。x38、 （ 0918） 。_de答案： 。Cx39、 （ 1018） _cos20inxe答案： 。1分析：因为 。1)(sins20sin20
11、i20in exdexx 10、 （ 1017） 。_dex答案： 。C分析：因为 。Cexxex)(1计算题11、 （ 0823）计算 。xd5sin答案： 。Cx5cos1)(1i12、 （ 0923）计算 .xl答案： .xddx 2lnl)(nl1(ln13、 （ 1023）计算 .xe2答案： .Cexx 222 )(14、 （ 0827） （1）求曲线 及直线 所围成的图形 所示的面积 ；xy0,1yDS（2 ）求平面图形 绕 轴转一周所形成旋转体的体积 。DV答案：（1） .1010edeSx（2 ） 。)1(2)( 1022 eVxxx 15、 （ 0927） （1）求在区间 上的曲线 与 轴所围成图形的面积 ；,ysinS（2 ）求（1 ）中的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 。xV答案：（1） 。002cossinxdS（2 ） 。2)sin()1(2i 000 xdxVx
