1、1第六章 定积分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1理解定积分的概念及其性质2了解定积分的几何意义3了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式4掌握定积分的换元法和分部积分法5了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法（二）内容提要1曲边梯形所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形2定积分的概念与定积分的几何意义（1）定积分的概念设函数 在区间 上有定义，任取分点)(xfy,ba，bxxn1210把区
2、间 分成 个小区间 ，记为,ban),(,ii，iniii xx11ma再在每个小区间 上，任取一点 ，取乘积 的和式，即,1iiiif)(inixf1)(如果 时上述极限存在（即这个极限值与 的分割及点 的取法均无关） ，则0,bai称函数 在闭区间 上可积，并且称此极限值为函数 在 上的定积分，记)(xf,ba)(xf,ba做 ，即bad，baniiixfxf10)(lmd)(其中 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分)(xff ,ba区间， 与 分别称为积分下限与积分上限，符号 读做函数 从 到 的定abbaxfd)()(xf2积分关于定积分定义的说明：定积分是特定
3、和式的极限，它表示一个数它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如 ，一般地有2/02/0dsinsintx= baxfd)(batf)(定积分的存在定理：如果 在闭区间 上连续或只有有限个第一类间断点，,ba则 在 上可积)(xf,b（2）定积分的几何意义设 在 上的定积分为 ，其积分值等于曲线 、直线)(f,abaxfd)( )(xfy和 所围成的在 轴上方部分与下方部分面积的代数和bx,0y3定积分的性质（1）积分对函数的可加性，即,bababaxgxfxgf d)()(d)(可推广到有限项的情况，即ba babann fffxff )()()()( 12
4、1 （2）积分对函数的齐次性，即babakxfkf )( d)(d)(为（3）如果在区间 上 ，则 ,1ba（4） （积分对区间的可加性）如果 ，则cbaabcxfxfxf d)()(d)(注意：对于 三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有c,bacabcxfxfxf )()()(（5） （积分的比较性质）如果在区间 上有 ，则,)(gbabaxgxfd)()(（6） （积分的估值性质）设 与 分别是函数 在闭区间 上的最大值与最Mm)(f,ba小值，则)(d)()( abxfabmb3（7） （积分中值定理） 如果函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至)(xf,ba,ba少存在一点 ，
5、使得baabfxf)(d)(4变上限的定积分（1）变上限的定积分当 在 上变动时，对应于每一个 值，积分 就有一个确定的值，x,bxxatfd)(因此是变上限的一个函数，记作atfd)(，xa bxatf )( )(称函数 为变上限的定积分（2）变上限的定积分的导数如果函数 在闭区间 上连续，则变上限定积分 在闭区间)(xf,baxatfd)()(上可导，并且它的导数等于被积函数，即,baxa bxxftfx )( )(d)()(d5无穷区间上的广义积分设函数 在 上连续，任取实数 ，把极限 称为函数)(f),ababfd)(lim在无穷区间上的广义积分，记做)(xf，baa xfxfd)(l
6、imd)(若极限存在，则称广义积分 收敛；若极限不存在，则称广义积分a发散axfd)(类似地，可定义函数 在 上的广义积分为)(xfb,ab xfd)(limd函数 在区间 上的广义积分为)(xf),(，ccxfxfxf )()(其中 为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分 才是收敛的；否c d4则广义积分 是发散的xfd)(6微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）设函数 在闭区间 上连续，如果 是 的任意一个原函数，则)(f,ba)(xFf，)(d)( abxfaa以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿莱布尼茨公式7定积分的计算（1）定积分的换元法设函数 在 上连续，令 ，则有)(xf
7、,ba)(tx，aattff d)(d)(其中函数应满足以下三个条件： ；b)(,)( 在 上单值且有连续导数；t当 在 上变化时，对应 值在 上变化, )(tx,ba上述公式称为定积分换元公式在应用换元 公式时要特别注意：用变换把原)(t来的积分变量 换为新变量 时，原积分限也要相应换成新变量 的积分限，也就是说，换xt t元的同时也要换限原上限对应新上限，原下限对应新下限（2）定积分的分部积分公式设函数 在区间 上均有连续导数，则)(,vu,babaauvvud)(d以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数（3）偶函数与奇函
8、数在对称区间上的定积分设函数 在关于原点对称区间 上连续，则)(xf ,a当 为偶函数时， ，axfxf0d)(2d)(当 为奇函数时， )(xfa利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便二、例题精解51变上限的定积分对上限的求导方法例 1 已知 ， 求 txFd1sin)(2 )(xF解 = +xtsin2cxt2ctsind1= ，d1cxsi= +)(xF)(12xcoin= xs小结 如果定积分上限是 的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定积分的下限是 的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公x式对上限求导；如果复合函数的上
9、限、下限都是 的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是 的函数，另一个定积分的下限也是 的xx函数，都可以化为变上限的定积分来求导2 利用换元积分法计算定积分的方法例 2 计算 （1） ， （2） 40dx40dtansecx解 （1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限令 ， ， ，xt2tt当 时， ，当 时， ，于是042= =4d1x201t20d1tt.3ln4ln42tt（2） =40dtasecx403)(secx431140小结 用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算
10、就可以了如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果 3 利用分部积分法计算定积分的方法分部积分公式为 .babauvvudd6例 3 计算（1） ， （2） 10darctnxxdln2e1解（1） =10rt10rt2x= 10)ln(24= （2） 由于在 上 ；在 上 ，所以1,elx2e,1lnx= +xdlne1d)ln(e1l21= +)2(le1x)2(le12x= + + ln4e1ln42e1= （ + ）+ （ + ）12= + 43e4小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注意正负号，有时需要分段进行积分. 4 广义积分的计算方法例
11、 4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 .(1) ， 02d)1(x解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式= = =blimx02)(blimbx02)1(dbbx02)1(li= = ，1)(li2b故所给广义积分收敛，且其值为 小结 71本章的重点是定积分的概念及几何意义牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法2学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法3要深刻理解微积分基本定理：牛顿莱布尼茨公式。微积分基本定理，一方面揭示了定积分与微分的互逆性质；另一方面它又是联系定积分与原函数（不定积分）之间的一条纽带4计算定积分的着眼点是算
12、出数值，因此我们除了应用牛顿莱布尼茨公式及积分方法（换元法、分部积分法）计算定积分以外，还要尽量利用定积分的几何意义、被积函数的奇偶性（对称区间上的定积分）以及递推公式 = 的已有结果来20dsinx20dcosxn算出数值5应用牛顿莱布尼茨公式计算有限区间定积分时，应注意不要忽略了被积函数在积分区间上连续或有第一类间断点的条件，否则会出现错误的结果三、习题与答案：1、 设 连续，且 则)(xf30,)(xdtf_)8(f2、曲线 在 上的弧段与 轴及直线 所围成图形的面积ysin2,x2_3、广义积分 当 取_时收敛。1,dxp4、 _sin35、已知电流强度 与时间 的函数关系为 试用定积分表示从 0 到时刻 T 这一段it),(ti时间流过导线横截面积的电量是_6、设 可导，且 求 （10 分）)(xf,0)(f,2)(f20)(limxdtf7、设 计算 的值。,sin0td8、求下列定积分（1） 、 ；（2） 、 ；（3）10x362cosin1dx10dxex（4） ；20sind答案： 2、3；3、 4、0；5、 6、1；7、1；8、,1;1pTdxi0;)( ;1542)(8（2） （3） （4）;arctne)12(
