1、 第一讲 注意添加平行线证在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线, 则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等, 同旁内角互补. 利用这些性质, 常可通过添加平行线 ,将某些角的位置改变, 以满足求解的需要.例 1 设 P、 Q 为线段 BC 上两点,且 BP CQ,A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使BAP CAQ 时, ABC 是什么三角形？试证明你的结论.答：
2、 当点 A 运动到使 BAP CAQ 时, ABC 为等腰三角形.证明：如图 1,分别过点 P、 B 作 AC、 AQ 的平行线得交点 D.连结 DA.在 DBP AQC 中, 显然 DBP AQC,DPB C.由 BP CQ,可知 DBPAQC.有 DP AC,BDP QAC.于是, DABP,BAP BDP.则 A、 D、 B、 P 四点共圆,且四边形 ADBP 为等腰梯形.故 AB DP.所以 AB AC.这里,通过作平行线, 将 QAC“平推”到 BDP 的位置.由于 A、 D、 B、 P 四点共圆, 使证明很顺畅.例 2 如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形,ABPQC图 1BA
3、F BCE.求证： EBA ADE. 证明：如图 2,分别过点 A、 B 作 ED、 EC的平行线,得交点 P,连 PE.由 AB CD,易知 PBAECD.有PA ED,PB EC.显然,四边形 PBCE、 PADE 均为平行四边形 .有BCE BPE,APE ADE.由 BAF BCE,可知 BAF BPE.有 P、 B、 A、 E 四点共圆.于是, EBA APE. 所以, EBA ADE.这里,通过添加平行线, 使已知与未知中的四个角通过 P、 B、 A、 E 四点共圆,紧密联系起来. APE 成为 EBA 与 ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相
4、等” 、 “夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段 “送”到恰当位置, 以证题.例 3 在 ABC 中, BD、 CE 为角平分线 ,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作AC、 AB、 BC 的垂线, M、 N、 Q 为垂足. 求证：PM PN PQ.证明：如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交 PQ、 AC于 K、 G,连 PG.由 BD 平行 ABC,可知点 F 到 AB、 BC PEDGABFC图 2ANEBQKGCDMFP图 3两边距离相等.有 KQ PN. 显然, ,可知 PGEC.PDEFGC由 CE
5、 平分 BCA,知 GP 平分 FGA.有 PK PM.于是,PM PN PK KQ PQ.这里,通过添加平行线, 将 PQ“掐开”成两段,证得 PM PK,就有 PM PN PQ.证法非常简捷.3 为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例 4 设 M1、 M2是 ABC 的 BC 边上的点 ,且 BM1 CM2.任作一直线分别交AB、 AC、 AM1、 AM2于 P、 Q、 N1、 N2.试证： .APBQC1N2A证明：如图 4,若 PQBC,易证结论成立.
6、 若 PQ 与 BC 不平行, 设 PQ 交直线 BC于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于E.由 BM1 CM2,可知 BE CE M1EM2E,易知 , ,APBDQCEAPEDCM21BQN图 4 , .1ANMDE12EM2则 .PBQCD211ANM2所以, .A1N2A这里,仅仅添加了一条平行线, 将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为 DE,于是问题迎刃而解.例 5 AD 是 ABC 的高线, K 为 AD 上一点 ,BK 交 AC 于 E,CK 交 AB 于 F.求证：FDA EDA.证明：如图 5,过点 A 作 BC 的平行线,分别交直线 DE、 DF、 B
7、E、 CF 于 Q、 P、N、 M. 显然, .ABDKMC有 BDAM DCAN. (1)由 , 有 AP . (2)BDPFCBCAMD由 , 有 AQ . (3)AQENN对比(1)、(2)、(3) 有AP AQ. 显然 AD 为 PQ 的中垂线, 故 AD 平分 PDQ.所以, FDA EDA.这里, 原题并未涉及线段比, 添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式, 就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来 .4 为了线段相等的传递图 5MPAQNFBDCEK当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例 6
8、在 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且MDN90.如果 BM2 CN2 DM2 DN2,求证： AD2 (AB2 AC2).41证明：如图 6,过点 B 作 AC 的平行线交 ND延长线于 E.连 ME.由 BD DC,可知 ED DN.有BEDCND. 于是, BE NC.显然, MD 为 EN 的中垂线 .有 EM MN.由 BM2 BE2 BM2 NC2 MD2 DN2 MN2 EM2,可知 BEM 为直角三角形, MBE90.有ABC ACB ABC EBC90.于是, BAC90. 所以, AD2 (AB2 AC2).21B
9、C4这里,添加 AC 的平行线,将 BC 的以 D 为中点的性质传递给 EN,使解题找到出路.例 7 如图 7,AB 为半圆直径, D 为 AB 上一点,分别在半圆上取点 E、 F,使 EA DA,FB DB.过 D 作 AB 的垂线,交半圆于 C.求证：CD 平分 EF. 证明：如图 7,分别过点 E、 F 作 AB 的垂线, G、 H 为垂足,连 FA、 EB.易知DB2 FB2 ABHB,AD2 AE2 AGAB.图 6ANCDEBMAGDOHBFCE图 7二式相减,得 DB2 AD2 AB(HB AG),或 (DB AD)AB AB(HB AG). 于是 ,DB AD HB AG,或
10、DB HB AD AG.就是 DH GD. 显然, EGCDFH. 故 CD 平分 EF.这里,为证明 CD 平分 EF,想到可先证 CD 平分 GH.为此添加 CD 的两条平行线EG、 FH,从而得到 G、 H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图 8,三直线 AB、 AN、 AC 构成一组直线束, DE 是与 BC 平行的直线.于是,有 ,BNDMACE即 或 .NB此式表明, DM ME 的充要条件是 BN NC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例 8 如图 9,ABC
11、D 为四边形 ,两组对边延长后得交点 E、 F,对角线 BDEF,AC 的延长线交 EF 于 G.求证： EG GF.证明：如图 9,过 C 作 EF 的平行线分别交 AE、AF 于 M、 N.由 BDEF,可知 MNBD.易知SBEF SDEF. 有 SBEC S KG *5 DFC.可得 MC CN. 所以, EG GF.例 9 如图 10, O 是 ABC 的边 BC 外的旁图 8ADBNCEM图 9ABMEFNDCG切圆, D、 E、 F 分别为 O 与 BC、 CA、 AB的切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证： AK 平分 BC.证明：如图 10,过点 K 作 BC 的行平线
12、分别交直线 AB、 AC 于 Q、 P 两点, 连 OP、 OQ、OE、 OF.由 OD BC,可知 OK PQ. 由 OF AB,可知 O、 K、 F、 Q 四点共圆,有 FOQ FKQ.由 OE AC,可知 O、 K、 P、 E 四点共圆.有 EOP EKP.显然, FKQ EKP, 可知 FOQ EOP.由 OF OE,可知 RtOFQRtOEP. 则 OQ OP.于是, OK 为 PQ 的中垂线 ,故 QK KP. 所以, AK 平分 BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.第二讲 巧添辅助圆 在某
13、些数学问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例 1 如图 1,在 ABC 中, AB AC,D 是底边 BCAOEPCBFQK图 10ABGCDFE图 1上一点, E 是线段 AD 上一点且 BED2 CEDA.求证： BD2 CD.分析：关键是寻求 BED2 CED 与结论的联系 .容易想到作 BED 的平分线,但因 B
14、EED,故不能直接证出 BD2 CD.若延长 AD 交 ABC 的外接圆于 F,则可得 EB EF,从而获取.证明：如图 1,延长 AD 与 ABC 的外接圆相交于点 F,连结 CF 与 BF,则BFA BCA ABC AFC,即 BFD CFD.故 BF:CF BD:DC.又 BEF BAC,BFE BCA,从而 FBE ABC ACB BFE.故 EB EF.作 BEF 的平分线交 BF 于 G,则 BG GF.因 GEF BEF CEF,GFE CFE,故 FEGFEC.从而 GF FC.21于是, BF2 CF.故 BD2 CD.1.2 利用四点共圆例 2 凸四边形 ABCD 中, A
15、BC60, BADBCD90, AB 2,CD1, 对角线 AC、 BD 交于点 O,如图 2.则 sinAOB_.分析：由 BAD BCD90 可知 A、 B、 C、 D四点共圆,欲求 sinAOB,联想到托勒密定理 ,只须求出 BC、 AD 即可.解：因 BAD BCD90,故 A、 B、 C、 D 四点共圆.延长 BA、 CD 交于 P,则ADP ABC60.ABCDPO图 2设 AD x,有 AP x,DP2 x.由割线定理得(2 x) x2 x(12 x).解得33AD x2 2, BC BP4 .313由托勒密定理有BDCA(4 )(2 2)2110 12.33又 SABCD SA
16、BD SBCD . 故 sinAOB .2326315例 3 已知：如图 3,AB BC CA AD,AH CD 于 H,CP BC,CP 交 AH 于 P.求证：ABC 的面积 S APBD. 43分析：因 SABC BC2 ACBC,只须证 ACBC APBD,转化为证 APCBCD.这由 A、 B、 C、 Q 四点共圆易证( Q 为BD 与 AH 交点).证明：记 BD 与 AH 交于点 Q,则由 AC AD,AH CD 得 ACQ ADQ.又 AB AD,故 ADQ ABQ.从而, ABQ ACQ.可知 A、 B、 C、 Q 四点共圆.APC90 PCH BCD,CBQ CAQ,APC
17、BCD. ACBC APBD.于是, S ACBC APBD.43432 构造相关的辅助圆解题A图 3BPQDHC有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造辅助圆例 4 如图 4,四边形 ABCD 中, ABCD,AD DC DB p,BC q.求对角线 AC 的长. 分析：由“ AD DC DB p”可知 A、 B、 C 在半径为 p 的 D 上. 利用圆的性质即可找到 AC 与p、 q 的关系 .解：延长 CD 交半径为 p 的 D 于 E 点, 连结
18、AE.显然 A、 B、 C 在 D 上.ABCD, BC AE. 从而, BC AE q.在 ACE 中, CAE90, CE2 p,AE q,故AC .2AEC4q2.2 联想直径的性质构造辅助圆例 5 已知抛物线 y x22 x8 与 x 轴交于 B、 C 两点，点 D 平分 BC.若在 x 轴上侧的 A 点为抛物线上的动点,且 BAC 为锐角,则 AD 的取值范围是_.分析：由“ BAC 为锐角”可知点 A 在以定线段 BC 为直径的圆外, 又点 A 在 x 轴上侧, 从而可确定动点 A 的范围, 进而确定 AD 的取值范围.解：如图 5,所给抛物线的顶点为 A0(1,9),AEDCB图 4ABDCPQEyx0(1,9)(-2,0)(4图 5
