1、 数学分析的建立极限思想的理论化微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期，微积分在力学、天文学中大现身手，轻而易举地解决许多本来认为束手无策的难题。后来，微积分又在更多的领域取得了丰硕的成果。人们公认微积分是 17、18 世纪数学所达到的最高成就。 但是另一方面，无论是牛顿的瞬和流数，还是莱布尼茨的 dx 和，都涉及到“无穷小量“，而在他们各自的论述中都没有给出确定的、一贯的定义，都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础。牛顿承认他对自己的方法只作出“简略的说明，而不是正确的论证。“莱布尼茨曾把无穷小量形容为一种“理想的量“，但正如一些数学家所说：“与其说是一种说明，还不如说是一个谜。“ 奇怪的是，微
2、积分自身存在着明显的逻辑混乱，然而在实际应用中则是卓有成效的得力工具。这样，微积分就具有了“神秘性“。起初，“神秘性“集中表现在对于“无穷小量“这个概念的理解上，并因而受到了各种人的攻击。数学家们不能容忍这一新方法的理论本身是如此的含糊不清乃至荒谬绝伦。法国数学家洛尔称微积分为“巧妙的谬论的汇集“；著名思想家伏尔泰说微积分是“精确的计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术“。在一片疑难和责问声中，以英国主教兼哲学家贝克莱的谴责最为强烈，他讥讽无穷小量是“逝去的量的鬼魂“，说微积分包含“大量的空虚、黑暗和混乱“，是“分明的诡辩“。马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时期称为“神秘的微积分“
3、时期，并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几何应用上是惊人的）结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。“ 神秘归神秘，微积分的逻辑缺陷不免遭到人们的猛烈攻击，因此激厉数学家们为消除微积分的神秘性，亦即为微积分建立合理的理论基础而努力。18 世纪，在这方面作出贡献的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。-达朗贝尔达朗贝尔（DAlembert Jean Le Rond，1717178
4、3）数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析的主要开拓者和奠基人。达朗贝尔为极限作了较好的定义，但他未能把这种表达公式化。达朗贝尔是十八世纪少数几个把收敛级数和发散级数分开的数学家之一，并且他还提出了一种判别级数绝对收敛的方法 达朗贝尔判别法，即现在还使用的比值判别法 ；他同时是三角级数理论的奠基人；达朗贝尔为偏微分方程的出现也做出了巨大的贡献，1746 年他发表了论文张紧的弦振动是形成的曲线研究 ，在这篇论文里，他首先提出了波动方程，并于 1750 年证明了它们的函数关系；1763 年，他进一步讨论了不均匀弦的振动，提出了广义的波动方程；达朗贝尔在数学领域的各个方面都有所建树，但他并没有严
5、密和系统的进行深入的研究，他甚至曾相信数学知识快穷尽了。但无论如何，十九世纪数学的迅速发展是建立在他们那一代科学家的研究基础之上的，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler ，17071783）欧拉是世界上公认的历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔弗里德里克高斯） 。欧拉是第一个使用“函数 ”一词来描述包含各种参数的表达式的人，他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。他在 1735 年定义了微分方程中的 欧拉-马歇罗尼常数，这一公式为计算的积分、求和与级数提供了便利。欧拉于 1748 年、1755 年和 1768-1770 年写的关于微积分的伟大
6、论文无穷小分析引论 微积分概论 ， 积分学概论立即成了经典著作，为微积分学理论基础的建立起到了推进作用。 约瑟夫拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1736-1813）在 1979 完成的解析函数论及收入其中的一篇论文中，拉格朗日为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论
7、的起点。同时拉格朗日是分析力学的创立者。拉格朗日在其 1788 年发表的名著分析力学中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础。他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中。他的研究目的是使力学成为数学分析的分支。他在分析力学的序言中说：“我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而
8、只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算。喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域。”实际情况正是这样。可是“无穷小量“的本质尚未弄明白，无穷级数的“和“的问题又日渐突出了。在很长一段时间里，人们习惯地把有限多项相加的运算规则照搬到无穷级数中，虽然也解决过许多问题，但有时竟出现了像 1/2=0 这样的荒谬结果。进入 19 世纪以后，随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也更加复杂，在这种情况下，要求有明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则，就显得更加重要和迫切了。事实上，微积分作为变量数学，是运用“无穷“来描画和研究运动和变化过程，获得了成功的，
9、却长期没有对有关“无穷“的概念给出正确的阐述，甚至导致逻辑上的混乱，这也正是微积分的理论基础所要解决的问题。 数学家们经过一百多年的艰苦探索历程，终于在前人所积累的大量成果（包括许多失败的尝试）的基础上，建立起微积分的理论基础。其中最大贡献的就是柯西，魏尔斯特拉斯了。-柯西柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）自从牛顿和莱布尼茨发明微积分（即无穷小分析，简称分析）以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。1813 年柯西在担任工程师期间，用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。
10、柯西 1821 年出版的分析教程和 1827 年出版的关于定积分理论的报告中，开始有了极限概念的基本明确的叙述，并以极限概念为基础，对“无穷小量“、无穷级数的“和“等概念给出了比较明确的定义。极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量“与“零“的内在联系，从而澄清了逻辑上的混乱，撕下了早期微积分的神秘面纱，从而结束了百年的争论。狄利克雷于（Dirichlet ，P.G.L.）1837 年提出了函数的严格定义-魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815-1897)在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。他
11、是把严格的论证引进分析学的一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。1841 年至 1856 年间，在他担任数学老师的时候，他为了能够让自己的学生们更好地理解微积分中最重要的极限概念，在狄利克雷于（Dirichlet，P.G.L.）1837 年提出的函数的严格定义的基础上改变了柯西等人当时对极限的定义，创造了著名的、直到今天大学数学分析教科书中一直沿用的极限的 - 定义，以及完整的一套类似的表示法，并用这种方式重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，使得数学分析的叙述终于达到了真正的精确化。1860 年，维尔斯特拉斯证明了任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。同时在一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系，这样分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上，微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。 同时微积分理论基础的严密化，使微积分跃进和扩展为现代数学的数学分析这个重要分支。
