1、吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 1复习旧课：1无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系 导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限23 极限的运算法则231 极限的性质定理 1：（唯一性）如果极限 存在，则它只有一个极限。即若)(limxf， ，则 Axf)(limBf)(liA定理 2 ： （有界性）若极限 存在，则函数 在 的某一空心)(li0xf)(xf0邻域内有界定理 3 ： （局部保号性）如果 ，并且 （或 ） ，则fx)(lim0 A在 的某一空心邻域内，有 （或 ） 。0xf推论 若在 的某一空心邻域内有 （
2、或 ） ，且0x0)(xf)(xf，则 （或 ） 。Axf)(lim0232 极限的运算法则定理 1： 设 , ,则xf)(li Bxg)(lim(1) =gAfli(2) xxf )(li)(lim若 .(常数),则CCffli(3) )0()li)(li BAxgff证明 因为 , ，利用 2。2 定理，它们可以分别写fmli为:= ,)(xf)(A)(xBg其中 均为无穷小量，则有：,讲述我们先介绍极限的运算法则证明从略。以上性质只对的情况加以叙0x述，其它的形式也有类似的结果。吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 2(1) + =A+B+ )(xfg)(x由 22 定理知 仍为无穷小
3、量,所以 + 以 A+B 为极限.)()(fxg即 = .)(limxf BAflimli容易证明： )(00Px)()li00xQx例 1 求 )53(lim2x解 152例 2 求 53li1xx解 2lim31x6例 3 求 li1x解 因为 0 根据无穷大于无穷小的关系所以有 1limx注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。例 4 求 li21x解 lim21x 1)(li1xx 2)1(limx例 5 279li23x设 为多项式)(xP当 时，0)(xQ因为 为多项式，f所以极限值等于在处的函数值0x因为 为两个多项)(f式商的极限，且在 x=1处分母的极限不为零，
4、所以极限值等于函数值。在 x=-1 处，分母为零，不能直接计算极限。在 x=-1 处，分母为零，不能直接计算极限。“ ”型，先设法0约去非零因子。吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 3解 1279lim23xx )4(3lixx 63limx例 6 求 li3x解 1lim3x3li2xx结论： .,0,0,li10 nmbabxbannmx 当当 当例 7 求 )12(li1xx解 m22li1小结： 1极限运算法则2求极限方法1）设 为多项式，则 。)(xP)(lim00xPx2） 、 均为多项式，且 ，则Q)()li00xx3）若 ，则,(Agf )(limxfg4）若 为“ ”型时
5、，用因式分解找出“零因子” 。)(limxf0“ ”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以 x 的最高次幂。先通分，再计算。吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 45）结论： .,0,0,lim10 nmbabxbannmx 当当 当6）若 有界，则)(,)(f)(lixf7）若 为“ ”型时，一般是通分或有理化后再处lixg理。24 两个重要极限241 判别极限存在的两个准则准则 1 （夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满)(,)(xhgf0),(0xU足 )()(fx且有极限 ，则有Ahgxxlimli00 Axf)(li0准则 2 如果数列 单调有界，则 一定存在。nnxli24
6、2 两个重要极限1极限 1sil0x例 8 计算 tanim解 = =1xl0sil0xcosinlm0xxcos1l0例 9 计算 21i解 20coslimx20sinlx20sin1lxx 一般 1sinlm0U证明略 例 8、例 9 结果可作为公式使用。 2sin1coxx 可证得此结论。吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 5 21sinlm2120x例 10 计算 x35sil0解 ni35ix结论： 1)(slim0)(fxf例 11 计算 xxin3li0解 xsnli0 2sinlm2colisi2coli 000 xxx例 12 求 xtaim解 xtnsil0)tans
7、i(l0xx 1)tansi(l0x例 13 求 xxtasil解 错误做法： 1nim)tansi(lxx正确做法： xtasli)t(il0ttsilm0t2极限 exx)1(li例 14 计算 2limx解 2)1(lix21)(liexx和差化积公式练习： 203coslimxx4因为当 时，x1sinl一般 eU)1(lim0lie 2xx)1(lim吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 6例 15 计算 xx10)2(lim解 xx10)(li 210)(liex例 16 计算 xx)51(li解 xlim)5(lixx 55)1(limexx例 17 计算 x)32(li解 xx)31li 3)(lix 3)1(limx e(例 18 计算 xxlni0解 )(l )1l(i0x xx10)ln(imlnli0ex例 19 exli0解 令 0),1ln(uxuux 时 ，当则所以 exlim0)l(i0u小结： 1snli0x； 1； )(li0)(fxf xtanlim020coslix1例 18，例 19 视情况选讲吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 7 ；exx)1(limexx10)(li 1； 1xlni0xli0作业 P271（ 3） （6） ，P311（1） （6） （9）2（1） （3）
