1、1极 限 思 想 在 高 中 解 题 中 的 运 用宜 宾 县 一 中 雷 勇极 限 的 思 想 是 近 代 数 学 的 一 种 重 要 思 想 ， 我 们 在 大 学 所 学 的 数 学 分 析就 是 以 极 限 概 念 为 基 础 、 极 限 理 论 为 主 要 工 具 来 研 究 函 数 的 一 门 学 科 。 而在 高 中 一 些 数 学 问 题 的 解 答 上 如 运 用 极 限 的 思 想 ， 会 是 我 们 的 解 答 简 单 而 高效 。 所 谓 极 限 的 思 想 ， 是 指 用 极 限 概 念 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 一 种 数 学 思 想 。下 面 将 用
2、 例 题 举 出 极 限 思 想 的 妙 处 。 尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。例 1、过 抛 物 线 的 焦 点 F 作 一 直 线 交 抛 物 线 于 P、 Q)0(2axy两 点 ， 若 线 段 与 的 长 分 别 是 、 ,则 等 于 （ ） PFQpq1(A) (B) (C) (D) a2a21a4a4分 析 ： 本 题 是 有 关 不 变 性 的 问 题 ， 常 规 解 法 是 探 求 的 关qp、系 ， 过 程 繁 琐 ， 且 计 算 较 复 杂 。 若 能 充 分 借 助 于 极 限 思 想 即 取
3、PQ 的 极 限 位置 可 使 问 题 变 得 简 便 易 行 ： 将 直 线 PQ 绕 点 F 顺 时 针 方 向 旋 转 到 与 轴 重 合 ，y此 时 Q 与 O 重 合 ， 点 P 运 动 到 无 穷 远 处 ， 虽 不 能 再 称 它 为 抛 物 线 的 弦 了 ， 它是 弦 的 一 种 极 限 情 形 ， 因 为 ， 而 ， 所 以aOp41qP，故选择（C） 。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维aqp41的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。例 2、正 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ n）A（ ） B（ ） ,1,nC（ ） D（ ）0,22,xyFPQ
4、OHAn A1A2A3S2分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无限接近 .当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正 多边形的一个内角，n即为 ，因此，所求二面角的范围应为（ ）2n 2,例 3、已知长方形的四个项点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB 的中点 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 后，依次反射到0PPCD、DA 和AB 上的点 、 和 （入射角等于反射角） ，设 坐标为 若234 4),0(4x则 的取值范围是（ ）,x14tgA B C D)3()32,1()21,5()32,5(分析：本题命制
5、得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出 的取值范围，根据极限的观点，令 ，tg 14x不妨令 与 重合，依据入射角等于反射角，即知 、 、 均为各边中点，4P0 1P23此时 ，而四个选择项中仅有选择项（C）与此数据有关，故选（C）21tan例 4、已知函数 ，若存在 为实数，只要 ，就有2()1)4fx,t 1,xm()，则 的最大值是 ()fxm分析：作函数 与 的图像，平移 f(x)的图像.使之与直线 交y2() yx于（1，1）和 两点，此时所得的图像是 ，图像的极端位(,)1
6、()yfxt置；于是解方程组 ，再由 ，得 ，所以()ftm1m49tmax9x4PBCD 01P3Ay10 8 6 4 2 -2 -10 -5 5 g x = x3 x-3 f x x+1 3例5、 已知数列 中， 且对于任意正整数 ，总有 ，是否na51n21na存在实数 ，使得 ，对于任意正整数 恒成立？若存在，给出b, nnb)43(证明；若不存在，说明理由。分析: 如果这样的 存在的话，则由 ，可得 。a,nnba43anlim对 两边取极限，得 ，解得 或 。21na20若 ，则数列 应该是以 为首项、以 为公比的等比数列，0na51a43q于是， ， 不符合1435n 14322
7、 212a显然，不可能对任意的正整数 都满足 ；n1na若 ，将 代入 ，可求得 ，此时，3a51 nnba4338b，验证： ，不符合 。nn48 2285nna43所以，这样的实数 不存在。ba,例6、设n 为自然数，求证: 412519n分析： 当 时，不等式显然成立。1设 时，不等式成立，即k412519k 1那么，当 时，1kn222 3312 kk由于 ，413412k4证到此处，用数学归纳法证题思路受阻。之所以用数学归纳法证题思路行不通，其原因在于 是一个常数，从 到41k右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。1k当联想 ，且当 时， ，不妨把要证结论强化41limn1n9184n为： 259 2证明：当 时， ，不等式 成立，1n9184n设 时，不等式 成立，即k21415912kk那么，当 时，kn)2(41)42(31)(4322591kkkkk即当 时，不等式 成立，所以有 1kn412591n通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题的解题难度，而且在寻找解题思路、探索发现新结论有着重大作用。
