1、12003 年考研数学（三）真题评注一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是,0,1cos)(xxf若若 .2【分析】 当 0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导.x【详解】 当 时，有1,0,0,1sinco)(2 xxf 若若显然当 时，有 ，即其导函数在 x=0 处连续.2)()(lim0ffx【评注】 原题见考研数学大串讲P.21【例 5】 （此考题是例 5 的特殊情形）.（2）已知曲线 与 x 轴相切，则 可以通过 a 表示为 .bay23 2b2b64a【分析】 曲线在切
2、点的斜率为 0，即 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，y再根据在切点处纵坐标为零，即可找到 与 a 的关系.2【详解】 由题设，在切点处有，有 032axy.20x又在此点 y 坐标为 0，于是有 ,023b故 .4)( 6202 axab【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学四 P.36 第一大题第（3）小题.（3）设 a0， 而 D 表示全平面，则，xxgf其 他若 ,10,)(= .DdygxfI)(2a【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才10,xyx不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内
3、积分即可.【详解】 =DdxygfI)(daxy10,22= .)1(202102 adxadyxa【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.完全类似例题见数学复习指南P.191【例 8.16-17】 .（4）设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵0,),0(aaT， ，TEAB1其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 .【分析】 这里 为 n 阶矩阵，而 为数，直接通过 进行计算并T 2aTEAB注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)(TTaEAB= T= TT)(= TaE21= ,E)(于是有
4、 ，即 ，解得 由于 A0 ,故 a=-021a012.1,2a1.【评注】完全类似例题见数学复习指南P.305 第 2 大题第（5）小题 .（5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 ，则 Y 与 Z 的相关系数4.0XZ为 0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为)4.0()4.0()4.0,cov(),c( XEYXYEXYZ= )(E=E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y),且 .DXZ于是有 cov(Y,Z)= =DZY),cov( .90),c(XY【评注】 注意以下运算公式： ，aX)( ).,cov(),cov(YXa3完全类似例题见
5、数学复习指南P.475【例 3.32】的【注】 .（6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 为来自总体 X 的简单随机nX,21样本，则当 时， 依概率收敛于 .nniiXY1【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均nX,21值：).(1nEXiipnii【详解】 这里 满足大数定律的条件，且 =221,n 22)(iiiEXD，因此根据大数定律有21)(4依概率收敛于niiXY12 .211niiEX【评注】 大数定律见数学复习指南P.484 .二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满
6、分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 存在，则函数)0(f xfg)(A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0.(C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. D 【分析】 由题设，可推出 f(0)=0 , 再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可.【详解】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有 存在，故 x=0 为可去间断点.)0()(lim)(li)(lim000 fxfxfgx 【
7、评注 1】 本题也可用反例排除，例如 f(x)=x, 则此时 g(x)= 可排除(A),01x(B),(C) 三项，故应选(D).【评注 2】 若 f(x)在 处连续，则 . 0x )(,)()(lim0000 AffAxfx 本题事实上相当于考查此结论，详情可参见考研数学大串讲P.18 的重要结论与公式.（2）设可微函数 f(x,y)在点 取得极小值，则下列结论正确的是),(0yx4(A) 在 处的导数等于零. （B） 在 处的导数大于零.),(0yxf0),(0yxf0(C) 在 处的导数小于零 . (D) 在 处的导数不存在. A 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可
8、得结论.【详解】 可微函数 f(x,y)在点 取得极小值，根据取极值的必要条件知),(0yx，即 在 处的导数等于零, 故应选(A).0),(0yxf ),(0yxf0【评注 1】 本题考查了偏导数的定义， 在 处的导数即 ；),(0yxf0),(0yxf而 在 处的导数即),(0yxf0x).,(0yxf【评注 2】 本题也可用排除法分析，取 ，在(0,0) 处可微且取得极小2,(yxf值，并且有 ，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).2),(yf（3）设 ， ， ，则下列命题正确的是nnap2naq,1(A) 若 条件收敛，则 与 都收敛.1n1np1nq(B) 若 绝对收
9、敛，则 与 都收敛.1na1n1n(C) 若 条件收敛，则 与 敛散性都不定.1n1np1nq(D) 若 绝对收敛，则 与 敛散性都不定. B 1na1n1n【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】 若 绝对收敛，即 收敛，当然也有级数 收敛，再根据1n1na1na， 及收敛级数的运算性质知， 与 都收敛，故应2nnap2aq1np1nq选(B).【评注】 完全类似例题见 文登数学全真模拟试卷数学三 P.23 第二大题第（3）小题.5（4）设三阶矩阵 ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有abA(A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a
10、+2b 0.(C) a b 且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. C 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件.【详解】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有，即有 或 a=b.0)(22baba 0ba但当 a=b 时，显然秩(A) , 故必有 a b 且 a+2b=0. 应选 (C).【评注】 n（n 阶矩阵 A 与其伴随矩阵 A*的秩之间有下列关系：).1)(,0,*)(nrr完全类似例题见数学复习指南P.329【例 3.31】.（5）设 均为 n 维向量，下列结论不正确的是s,21(A) 若
11、对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，sk,21 021sk则 线性无关.s,21(B) 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ，都有s sk,21.021skk(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.s,(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. B s21【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数 ,都有 sk,21，则 必线性无关，因为若 线性相021skk s,21 s关，则存在一组不全为零的数 ,使得 ，矛盾. 可sk 021sk见（A）成立
12、.(B): 若 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s,216，都有 (B)不成立.sk,21 021sk(C) 线性无关 ,则此向量组的秩为 s；反过来，若向量组 的s,21 s,21秩为 s，则 线性无关，因此(C)成立.s(D) 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无s,21关，可见(D)也成立 .综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数，使得 成立，则 线性相关. 其逆否sk,21 021sk s,21命题为：若对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，s,21 0skk则 线性无关. 在平时的学习
13、过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的s,21等价性.与本题完全类似例题见数学复习指南P.313【例 3.4】.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： =掷第一次出现正面 ， =掷第二1A2A次出现正面， =正、反面各出现一次， =正面出现两次 ，则事件3A4(A) 相互独立. (B) 相互独立. 21, 432,(C) 两两独立. (D) 两两独立. C 3 A【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为， ， ， ，21)(AP21)(21)(3AP41)(且 ， ， ， ，421431 2A0)(321P可见有，
14、 ， ，)()(2121)()(3131)()(3232A， .3APAP 442故 两两独立但不相互独立； 不两两独立更不相互独立，应选(C).21, 3,【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.本题考查两两独立与相互独立的差异，其要点可参见数学复习指南P.401 .7三 、 （本题满分 8 分）设).1,2,)1(sin1)( xxxf试补充定义 f(1)使得 f(x)在 上连续.,2【分析】 只需求出极限 ，然后定义 f(1)为此极限值即可.)(lim1xf【详解】 因为=)(li1xf )1(sinli1x= xi)(slim1= xx cos)(sinl1= x
15、xin)1(coinli 221 = .由于 f(x)在 上连续，因此定义)1,2，(f使 f(x)在 上连续.,【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换 y=1-x，转化为求 的极限，可以适当简化.0y完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见文登数学全真模拟试卷P.数学三P.24 第三题.四 、 （本题满分 8 分）设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又122vfu,求)(21,),(2yxfyxg.2ygx【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题： ，),(vufg8，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用)
16、(21,2yxvyu .22uvff【详解】 ，vfxug.fy故 ，vfxvuffxg2222 .2222 fyffy所以 2222 )()( vfxufxgx = .2y【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.完全类似例题数学复习指南P.171【例 7.20,7.22】.五 、 （本题满分 8 分）计算二重积分.)sin(2)(2dxyeIDyx其中积分区域 D= .,【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换： ，有sin,coryrxdxeIDy)sin(2)(2= .i202rrd令 ，则2rt.teItsin0记 ，则tdAtitte
17、09= cossin0tdetett= 0cotd= sins0tetett= .1A因此 ，)(2e).1(2eI【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求） ，即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、 （本题满分 9 分）求幂级数 的和函数 f(x)及其极值.12)1()(nnx【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当 x=0 时和为 1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】 .1)()122nnxxxf上式两边从 0 到 x 积分，得).l()( 20
18、2dtfx由 f(0)=1, 得).1(,ln1)(xf令 ，求得唯一驻点 x=0. 由于0,)1()2xf，0f可见 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.10完全类似例题见数学题型集粹与练习题集P.285 数学三模拟试题（五）第八题.七、 （本题满分 9 分）设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 内满足以下条件：),(， ，且 f(0)=0, )(xgf )xf .2)(xegxf(1) 求 F(x)所满足的
19、一阶微分方程；(2) 求出 F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程 .【详解】 (1) 由)()()(xgfxfxF= 22g= )()(xfxf=(2 -2F(x),2xe可见 F(x)所满足的一阶微分方程为 .4)(2xF(2) )(2Cdeexdx= 4= .22xxe将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得C=-1.于是.)(2xexF【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.完全类似例题在文登数学辅导班上介绍过，也可参见文登数学全真模拟试卷数学三 P.17 第三题 .八、 （本题满分 8 分）设函数 f(x)在0，3上连续，在（ 0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使)3,0(.)(f
