1、折纸问题第 1 页，共 4 页矩形折纸类问题解法分类举例 姓名 近年来，一类矩形折纸问题“折”进了中考数学题，有的考生着实感到解答起来不够顺手，颇具难度本文就这类题型的解题规律作点探讨与提示，请看例题一、沿矩形对角线折叠例 1如图 1，在矩形 ABCD 中，AB16，BC8,将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，且 CE 与 AB 交于点 F，那么 AF= 。练习 1如图 2，在矩形 ABCD 中，AB16，BC6,将矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 B1处，(1)B 1CD=500，ACB= ；（2）若 AB1与 CD交于点 E，P 为线段 AC 上的任意一点， PHCD 于 H，
2、PGAE 于 G，试求 PGPH 的值。二、沿矩形对称轴折叠例 2已知矩形 ABCD 的边 AB2，ABBC，矩形 ABCD 的面积为 s，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新矩形，求这个新矩形的对角线的长度。三、使其对角顶点重合折叠例 3如图 3，矩形纸片 ABCD 的长 AD9cm，AB3cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后，求 DE 的长和折痕 EF 的长四、使矩形一顶点落在其某一边上而折叠例 4如图 4，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB8，BC10，求 EC 的长。图 1FECDA B图 3C1EFO CDAB图 4 FDAB CE图
3、 2EGHB1DA BCP折纸问题第 2 页，共 4 页练习 2如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点 A落在 BC 边上的点 A1处，折痕为 PQ，设 BA1=x，若限定点 P、Q 分别在AB、AD 上移动，则 x 的取值范围是 。五、使矩形一顶点落在其对称轴上而折叠例 5已知如图 5，有一块面积为 1 的正方形 ABCD，M、N 分别为 AD、BC 边中点，将 C 点折至MN 上，落在点 P 的位置，折痕为 BQ，连接 PQ。（1）求 MP。（2）求证：以 PQ 为边长的正方形的面积等于 。31六、两次不同方式的折叠例 6 （初三）如图 6，一张宽为 3，长为
4、4 的矩形纸片 ABCD，先沿对角线 BD 对折，点 C 落在点C1的位置，BC 1交 AD 于 G，再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，得折痕 EN，EN 交 AD 与 M，则ME 的长为 。练习 3将一矩形 ABCD 如图方式折叠，EF、EC 为折痕，折叠后点 A 落在边 CD 的 A1处，点 B 落在 A1E 的 B1处。若 A1D=4，BC=8，求 BE 的长。七、中考题选例 7 （甘肃兰州市）如图，在直角坐标系中，将矩形 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在点 A1处，已知 OA= ，AB=1，则点 A1的坐标是（ ） 3（A） （ ， ） （B） （ ，3）22（C） （ ，
5、 ） （D） （ ， ） （本题中把 OA= 改为 OA=2，则怎样解？）313图 5321PNMB CA DG图 6EMC1N CAB DyxA1 BO ACQP CBA DA1B1A1DA BCFE折纸问题第 3 页，共 4 页例 8 （山西吕梁市）将一张纸片沿任一方向翻折，得到折痕 AB（图（1） ） ；再翻折一次，得到折痕 OC（图（2） ） ；翻折使 OA 与 OC 重合，得到折痕 OD（图（3） ） ；最后翻折使 OB 与 OC 重合，得到折痕 OE（图（4） ） 再展示恢复成图（1）形状，则DOE 的大小是_度 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）例 9 （湖南邵阳市）如图，在
6、矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，使点 D恰好落在对角线 AC 上的点 F 处求：（1）EF 的长；（2）梯形 ABCE 的面积例 10 （湖南郴州市）如图 5，矩形纸片 ABCD 的边长分别为 a，b（ab） 将纸片任意翻折（如图 6） ，折痕为 PQ （P 在 BC 上） ，使顶点 C 落在四边形 APCD 内一点 C，PC的延长线交直线AD 于 M，再将纸片的另一部分翻折，使 A 落在直线 PM 上一点 A，且 AM 所在直线与 PM所在直线重合（如图 7） ，折痕为 MN（1）猜想两折痕 PQ，MN 之间的位置关系，并加以证明（2）若QPC 的
7、角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕 PQ，MN 间的距离有何变化？请说明理由（3）若QPC 的角度在每次翻折的过程中都为 45（如图 8） ，每次翻折后，非重叠部分的四边形 MCQD，及四边形 BPAN 的周长与 a，b 有何关系，为什么？ （5） （6） （7） （8）折纸问题第 4 页，共 4 页例 11同学们都喜欢老师给他的作业打“红钩” ，我们将一张长 10，宽 1的矩形红纸条（图甲）进行翻折，也可以得到一个漂亮的“红钩” （图乙） ，如果“红钩”中的=60 ，那么这个“红钩”的面积为 2.（精确到 0.1 2）（2）2= 例 12矩形纸片 ABCD 中,第一次按如图
8、方式折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕为 EG、EF ，得到五边形 EGBCF；第二次对五边形 EGBCF 按如图方式折叠，使点 G 与点 F 重合，折痕恰好是EB、EC，若 BC=2，则 AB 长度为（ ）（A） （B） （C） （D）22125例 13已知矩形纸片 ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E重合（1）如果折痕 FG 分别与 AD、AB 交于点 F、G（如图 9） ，AF= ，求 DE 的长；23（2）如果折痕 FG 分别与 CD、AB 交于点 F、G（如图 10） ，AED 的外接圆与直线 BC 相切，求折痕 FG 的长 （2006 年南
9、京市）图（9） 图（10）2图 ?图 C C(G,F)CC EFGE(A,D)FGEDB B BA B折纸问题第 5 页，共 4 页例 14 （初三）已知如图，矩形 OABC 的长 OA= ，宽 OC=1，将AOC 沿 AC 翻折得APC3（1）填空：PCB=_度，P 点坐标为（_，_） ；（2）若 P，A 两点在抛物线 y=- x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点 C 在此抛物线上；4（3）在（2）中的抛物线 CP 段（不包括 C，P 点）上，是否存在一点 M，使得四边形 MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时 M 点的坐标；若不存在，请说明理由例 15 （初三）如图，矩
10、形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将 ABE 沿 BE 折叠后得到 GBE，延长 BG 交 DC于点 F.（1）如图 1，点 G 在矩形 ABCD 内部，试判断 GF 与 DF 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图 2，当点 G 在 BC 边上时，即有 ,则 的值为_;=1DCFAB当点 G 在矩形 ABCD 内部时，如果 ，求 的值；2当点 G 在矩形 ABCD 内部时，如果 ，用 t 的代数式表示 （直接写出结论） ；D当点 G 在矩形 ABCD 外部时，你得出的结论是否还成立 ?请直接写出结论即可.例 15 （初三）解：（1）GF=DF,证明略；3 分（2）2；1 分 ,过程略；
11、3 分 ，当点 G 在矩形 ABCD 外部时，得出的结论还成立 .3 分tAB CE DGFAB CE DG (F)AB CE DG F图 1 图 2 图 3折纸问题第 6 页，共 4 页练习：1在一张长方形 纸片中， 现将这张纸片按下列图示方式折叠，ABCD25,0,cmABc请分别求折痕的长。（1）如图甲，折痕为 ，点 的对应点 在 上；EFD（2）如图乙， 分别为 的中点， 的对应点 在 上，折痕为 ；,PQ, GPQAE（3）如图丙，点 与点 重合，折痕为 。BE甲 乙 丙2如图所示，现有一张矩形纸片 ，其中 ，点 是 的中点，ABCD4,6cmBCEBC实施操作：将纸片沿直线 折叠，
12、使点 落在梯形 内，记为点 。EAE（1）请用尺规，在图中作出 （保留作图痕迹） ；（2）试求 两点之间的距离。(连 B 得 RTB C),BC （2007 年乐山市）如图，把矩形纸条 沿 同时折叠， 两点恰好落在ACDEFGH， BC，边的 点处，若 ， ， ，则矩形 的面积为 ADP90FH 8P6AD。(第 4 题)GGPQECCFCDA ADADB B BE FEEDAB CAB CDE F（1）AB CDE FGH（2）(第 5 题)AE PDGHFBACD(第 3 题)CACEDB折纸问题第 7 页，共 4 页 （2007 年江西省）如图，将矩形 纸片沿对角线 折叠，使点 落在 处
13、，ABCDBC交 于 ，若 ，则在不添加任何辅助线的情况下，图中 的角BCADE2.5 45（虚线也视为角的边）有（ ）A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 （2007 淄博市）有一边长为 2 的正方形纸片 ABCD，先将正方形 ABCD 对折，设折痕为EF（如图(1)） ；再沿过点 D 的折痕将角 A 反折，使得点 A 落在 EF 的 H 上（如图(2)） ，折痕交 AE 于点 G，则 EG 的长度为( )（A） （B） （C） （D）436238434236.(2007 年冷水滩区)如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 B 落在直角梯形 AECD 中位线 FG上，且 AB=1，则
14、 AE 的长为 ( )A2 B3 C2 D3233(第 6 题) 7.（2007 年贵阳）将长为 20cm，宽为 2cm 的长方形白纸条，折成图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为 8 （2011 例卷）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（3，4） ，点B 的坐标为（7，0） ，D，E 分别是线段 AO、AB 上的点，以 DE 所在直线为对称轴，把ADE作轴对称变换得ADE ，点 A恰好在 x 轴上（1）ABO 的度数为_，线段 AB 的长是_（2）当 AAx 轴时，线段 DE 的长为_（3）如图 2，当 ADOA 时， （1）求 AD 的长 （2）求线
15、段 DE 的长（4）设 OA=x,OD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围（ 第 7题 ）y xA BAOD Ey xA BAOD E 图图图y xBAO折纸问题第 8 页，共 4 页yxHGEAC BOD图 1 图 29.（2011.河泽）10.（2011.成都）11.（012 模拟 18 如图,矩形 OABC,B(9,6),点 A,点 C 分别在 x 轴,y 轴上.D 为 BC 上一点,把OCD 沿 OD 对折,C 点落在直线y=2x-6 上,则 D 点坐标为 （连 CE，由 OC=OH=OE 得HEC=90，,GEC=90，由 DC=DE 得 D 是 C
16、G 的中点于是 D（3,6） ）例 2 如图 2-2，把一张长方形纸片 ABCD 折叠起来，使其对角顶点 A、C 重合，若其长 BC 为a，宽 AB 为 b，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析 图形沿 EF 折叠后 A、C 重合，可知四边形 AFED与四边形 CFED 全等，则对应边、角相等，AF=FC，且 FC=AE，则ABFADE，由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积解：图形沿 EF 折叠后 A、C 重合，四边形 AFED与 CFED 关于 EF 对称，则四边形 AFED四边形 CFEDAFE=CFEAF=FC，D=D=B=90AB=CD=ADADBC，AEF=EFCAEF=AFE则
17、 AE=AFRtABFRtADE在 RtABF 中，B=90，AB 2+BF2=AF2设 BF=x，b 2+x2=（a-x） 2，x= aS=2S ABF =2 bx=2 b = 122ab2()a8 解 如图所示，第二次翻折，折痕 OC 平分AOA；第三次翻折，折痕 OD平分2-2折纸问题第 9 页，共 4 页COA，OD 平分AOC；第四次翻折，折痕 OE 平分BODDOE=180-AOD-BOE=180- （AOC+BOC）=90129 解 如图，设 EF=x，依题意知：CDECFE DE=EF=x，CF=CD=6，AC= =10 AF=AC-CF=4， AE=AD-DE=8-x268在
18、 RtAEF 中，有 AE2=AF2+EF2， 于是（8-x） 2=42+x2解得 x=3，因此 EF 的长是 3（2）由（1）知：AE=8-3=5，S 梯形 ABCE= =39()(58)622AEBC10 解 （1）PQMN因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ADBC，且 M 在 AD 直线上则有 AMBC，所以AMP=MPC由翻折可得：MPQ=CPQ= MPC，NMP=AMN= AMP1212所以MPQ=NMP，故 PQMN（2）两折痕 PQ，MN 间的距离不变过 P 作 PHMN，使 PH=PMsinPMH因为QPC 的角度不变，所以CPC 的角度也不变，则所有的 PM 都是平行的又因
19、为 ADBC，所以所有的 PM 都是相等的又因为PMH=QPC，故 PH 的长不变（3）当QPC=45时，四边形 PCQC是正方形，四边形 CQDM 是矩形因为 CQ=CQ，CQ+QD=a，所以矩形 CQDM 的周长为 2a同理可得，矩形 BPAN 的周长为 2a所以两个四边形的周长都为 2a，与 b 无关折纸问题第 10 页，共 4 页11 解 （1）在矩形 ABCD 中， AB=2，AD=1，AF= ，D=9023根据题意得：EF=AF= DF=AD-AF= 231在 RtDEF 中， DE= = 2EFD3（2）设 AE 与 FG 交于 O，取 AD 的中点 M，连结并延长 MO，交 B
20、C 于 N由轴对称的性质得 AO=EO MNDE，MO= DE D=90，ADBC，12四边形 MNCD 是矩形，MN=CD=AB=2设 DE=x，则 ON=2- x12AED 的外接圆与 BC 相切， ON 是AED 的外接圆的半径OE=ON=2- x，AE=2ON=4-x 在 RtAED 中，AD 2+DE2=AE2，1 2+x2=（4-x） 2，解得 x= DE= ，OE=2- x= 158158176由轴对称的性质得 AEFG FOE=D=90又OEF=DEA， FEOAED， FOEAD把 OE= ，DE= ，AD=2 代入解得 FO= 176581730易证FEOGAO，FO=GO， FG=2FO= ，即折痕 FG 的长是517512 解（1）P 点坐标为（ ， ） ；32（2）点 P（ ， ） ，A（ ，0）在抛物线 y=- x2+bx+c 上，4343320bc解得 b= ，c=13
