1、分段函数的极限和连续性例 设 )21( )0( )(xxf（1）求 在点 处的左、右极限，函数 在点 处是否有极限？）f( ）xf(1（2）函数 在点 处是否连续？ ）x（3）确定函数 的连续区间）f(分析：对于函数 在给定点 处的连续性，关键是判断函数当 时的极限是）x0x 0x否等于 ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续)(0xf解：（1） 1lim)(li1xfx1x )(li1fx函数 在点 处有极限） x（2） )(lim2)(1ffx函数 在点 处不连续）x（3）函数 的连续区间是（0，1） ， （1，2） ）f(说明：不能错误地认为 存在，则 在 处就连续求分段函数
2、在分界点)(f）xf(的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同只有0x才存在)(lim),(li)(lim000 xfffxx函数的图象及连续性例 已知函数 ，24)(xf（1）求 的定义域，并作出函数的图象；）xf(（2）求 的不连续点 ；） 0x（3）对 补充定义，使其是 R 上的连续函数）xf(分析：函数 是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量 x 的取值范）围，给函数 补充定义，使其在 R 上是连续函数，一般是先求 ，再让）xf( )(lim0fx即可)lim)(0fx解：（1）当 时，有 22x因此，函数的定义域是 ,当 时，x.24)(xxf其图象如下图（2）由
3、定义域知，函数 的不连续点是 ）xf(20x（3）因为当 时，2x2)所以 4(lim)(li2fxx因此，将 的表达式改写为）)2(4)(2xf则函数 在 R 上是连续函数）f说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致利用函数图象判定方程是否存在实数根例 利用连续函数的图象特征，判定方程 是否存在实数根01523x分析：要判定方程 是否有实根，即判定对应的连续函数 的图象是0)(xf )(xfy否与 x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在 x 轴上方，另一点在 x 轴下方即可解：设 ，则 是 R 上的连续函数
4、152)(3xf ）xf(又 ，因此在 内必存在一点 ，使 ，所以08,100,30x0)(f是方程 的一个实根0x3x所以方程 有实数根0152说明：作出函数 的图象，看图象是否与 x 轴有交点是判别方程 是)(xfy 0)(xf否有实数根的常用方法，由于函数 是三次函数，图象较难作出，因此152)(3f这种方法对本题不太适用函数在区间上的连续性例 函数 在区间（0，2）内是否连续，在区间 上呢？4)(xf 2,0分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续解： （ 且 ）24)(2xxf R2x任取 ，则0 )()(lim)(li 0
5、000 xffxx 在（0，2）内连续)(f但 在 处无定义， 在 处不连续x)(xf2从而 在 上不连线)(f,说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线函数在某一点处的连续性例 讨论函数 在 与 点处的连续性)0()1lim()xxfnn 12x分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法本题极限式中，若不能对 x 以 1 为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得 的表达式，使解答搁浅)(xf讨论 在 与 点处的连续性，若作出 的图像，则可由图像的直观信)(x
6、f12)(f息中得出结论，再据定义进行解析论证由于 的表达式并非显式，所以须先求出 的解析式，再讨论其连续性，其中)(f )(xf极限式中含 ，故须分类讨论nx解：（1）求 的表达式：)(f当 时， x xxxfn01lim1当 时， xfn)(li)(当 时，1x01lim)(fnx xf1,0,)(（2）讨论 在 点处的连续性：)(f1)(lim)(li,limli 1111 xfxx 不存在， 在 点处不连续)(f（3）讨论 在 点处的连续性：x221lim)(li,1lim)(li 2221 xffxxx21lim)(li,21lim)(li21 xfxfx ， 在 点处连续)()(li21ffx f根据函数的连续性确定参数的值例 若函数 在 处连续，试确定 a 的值0,)1(3xaf 0x解： xxf30)(lim)li,)(,1li33afex欲 在 处连续，0必须使 ，故)(limfx3ea说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解
