1、1平面向量 2预习：1.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量 和 ，作 ，则 叫做向abbOBaA, )0(AB量 和 的夹角。ab（1） 时， 和 同向；0ab（2） 时， 和 反向；（3） 时， ；（4）注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围是 。02.两向量共线的判定设 ，其中 。),(),(21yxba0b3.我们都学过向量有关的哪些运算？4.力做的功：的 夹 角 。与是 sFsW,co|F|讲授新课：1.平面向量的数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 和 ，他们的夹角为 ，我们把数量ab的 数 量 积 （ 内 积 ） 。与叫 做 bacos|ba|记为： ，即bcos|规
2、定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 。0a2.投影的概念：叫做 方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量。cos|ba在3.向量数量积（内积）的几何意义：数量积 等于 的长度 方向上的投影 的乘积。ab在与 | cos|b4.两个向量数量积的性质：设 为两个非零向量ba、（1） =0b（2）当 和 同向时， =a|b当 和 反向时， = -a|2特别地， aa|2或（3）| |ba|（4） |cos（5）平面向量数量积的运算律：已知向量 ，则和 实 数、 cba = （交换律） )()()( 数 乘 结 合 律b 分 配 律cacb5.平面两向量数量积的坐标表示：已知两个非零向量 ，),(
3、1yx),(2yxb两个向量数量积等于他们对应坐标的乘积的和，即 。21yxba6.平面内两点间的距离公式：（1）设 ；222|),( yxayxayxa或则（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终边的坐标分别为 ，那么：),(,21yx、（平面间两点的距离公式） 。2121)()(| yx7.向量垂直的判定：设 ， 则),(1a),(2xbba021yx8.两向量夹角的余弦：（ ）0=|cos221yx例 1.已知 试判断 的形状，并给出证明。),5(,3),21(CBAABC3例 2.在 中， ，且 的一个内角为直角，求 k 的值。ABC),1(),32(kACABC例 3.已知 ，则 的
4、夹角是多少？求与 垂直的单位向量的坐标是多少？)13,(),31(baba与 a例 4.已知 ,若点 在线段 的中垂线上，则)1(),23BA)21,(xPABx例 5、已知 若 与 的夹角为锐角，求实数 m 的取值范围。),1(),2(mbaab同步练习：1、已知 ,向量 与 的位置关系为（ ）3,4ab3ab4A平行 B垂直 C夹角为 D不平行也不垂直2、在 中， ，若 为直角三角形，求实数 的值。),2(),1(kAABCk3、已知 ,(1)若 ,求 ；(2)若 与 的夹角为 60，求 ；(3) 若 与1,2ababababab4垂直，求 与 的夹角ab4、已知 ，则 与 的夹角是 aba)(,2,1b5、已知 ，求 与 的夹角。0,)3()2(,34)3( baab6、已知四边形 ABCD 中 = (6,1), =(x,y)， =(-2,-3),ABCD(1)若 ,试探究 x 与 y 间的关系式；BCD(2)满足(1)问的同时又有 ,试求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. D5答案：1.B2.（-2 或 0）3.4.45 度5. )6(arcos6.（1） 02yx（2）16
