1、求数列通项公式的方法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列123n13na132n是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得a23，所以数列 的通项公式为 。()22nna()nna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数132n132na列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数2na ()n列 的通项公式。n二、累加法例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na解：由 得 则12n1n23212()()()()211()()aaaann
2、n 所以数列 的通项公式为 。a2na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而12na12na求出 ，即得数列 的通项公式。1231()()()()nnaa n例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1123nnaa， na解：由 得 则123n1nn12321211()()()()333()(3nnnnnaaaa 所以 1.na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1231nna1231nna进而求出 ，即得数列 的122()()()()nna na通项公式。例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n1133nnaa， na解： 两边除以 ，得 ，132na
3、1n112nn则 ，故11nn2232111221()()()()3332() 1)333nnnnnnaaaa因此 ，()2()2nn na则 13.nnn评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1321nna11233nna进而求出 ，即得数列11222()()()()33nna的通项公式，最后再求数列 的通项公式。nna三、累乘法例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nn， 0n12()5n132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)235!
4、.nna评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而1()nna 12()5nn求出 ，即得数列 的通项公式。13212naa n例 6 已知数列 满足 ，求 的通n11231()(2)n naa， na项公式。解：因为 1231()()n na所以 1231n na用式式得 1.nna则 1()2)nn故 1(2)na所以 13222 !(1)43.nannaa 由 ， ，则 ，又1231()()n n 212a取 得 1知 ，则 ，代入得 。a !345na所以， 的通项公式为n!.2n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1()2)nna1(2)na进而求出 ，从而可得当 的
5、表达式，最后再求出数列1322naa na时 ，的通项公式。n四、待定系数法例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112356nna， na解：设 115()nnxx将 代入式，得 ，等式两边消去123nna 123525n nnaxax，得 ，两边除以 ，得 代入式得155nx ,1,则1()nn由 及式得 ，则 ，则数列 是以1560a50na152na5na为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。1 1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1235nna152()nnaa从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列5nan的通项公式。
6、na例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na113524nnaa， na解：设 112()nnnxyxy将 代入式，得1354nna123(2)nnn nxyaxy整理得 。(5)4n令 ，则 ，代入式得234xy52xy115()nnnaa由 及式，1230得 ，则 ，5na11523nna故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，2n1因此 ，则 。153nna1352nnna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为14nn，从而可知数列 是等比数列，进而11523(52)nnnaa52na求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。n例 9 已知数列 满足 ，求数列
7、 的通项公式。na21 1345nana， na解：设 2 21()()()n nxyzxyz将 代入式，得21345nan，则22 2345(1)()()n naxnyzaxyz2 2()45n nx等式两边消去 ，得 ，na2 2(3)(4)(5)yxyzxnyz解方程组 ，则 ，代入式，得2452xyz3108xz2 213()0(1)(3)n nana 由 及式，得218023108na则 ，故数列 为以213()0(1)2nan 2n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2183，则 。1302nna43108na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为2145nn，从而可知数列2
8、 213()0(1)8(308)nana是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后23108na再求出数列 的通项公式。n五、对数变换法例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。在 式两边取511237nn， 10nn， 5123nna常用对数得 lgllg2a设 1l()5(l)n nxyaxy11将式代入 式，得 ，两边消去11 5lgl3g2(1)5(lg)n naxnyaxy并整理，得 ，则5lgna()xy，故l3g25xylg34216y代入 式，得 11 1lg3lglg3lg2l()5()444164n naa 12由 及
9、 式，1g3l2ll2l 71046612得 ，lgl 04na则 ，1l3l2lg()165g44na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等l3l216n lg3l27416比数列，则 ，因此1ggl (l)44na 1111 16 6444411 6614444553l23lg2lg(l7)5glglll(32)l(32)7lg(nnnn nn1641)32nnn则 。11545647nna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nnaa，从而可知数列1lg3lg2lg3lg2l()5()41644164n naa是等比数列，进而求出数列 的通l3lg2164na
10、项公式，最后再求出数列 的通项公式。n六、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2nn121323(1)3nn2(2)13(2)13()()112(3)2(1)()12(1(2)3()!nnnn nnnnaa 又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得 ，即 ，再3(1)2nn 1lg()2lgnna1l3()2nn由累乘法可推知 ，从而(1)23!13212lllgl5nnna 。1()3!25na七、数学归纳法例 12
11、 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na解：由 及 ，得1228()13nan189a212234228(1)82439538()()981480391aa由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2()1n（1）当 时， ，所以等式成立。21()89a（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3kak222222222()()138()1()(1)()3()1()kkkkkk由此可知，当 时等式也成立。1nk根据（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数
12、列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nnb2()nb故 ，代入 得11()nna1412)6nnnaa2214()46nnnbb即 221(3)n因为 ，故40nnba11240nnba则 ，即 ，123n13nn可化为 ，1()2nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数311432413a21列，因此 ，则 ，即 ，得2()nnn()nb4()3na。2()343na评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公12nnb3b3nb式，最后再求出数列 的通项公式。na
