1、1研究课题：例析求函数值域的方法求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点，虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：1、直接法：从自变量 的范围出发，推出 的取值范围。x()yfx例 1：求函数 的值域。1y解： ， ， 函数 的值域为 。0xx1yx,)2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。()()Fafbfc例 2：求函数 （ ）的值域。24yx1,x解： ， 22()6 ， ，1,x3,x2()9x ，23()655y函数 （ ）的值域为 。4yx1,x3,53、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆
2、关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例 3：求函数 的值域。12xy解：由 解得 ， ， ，xxy20x10y 函数 的值域为 。1y1x(,)4、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例 4：求函数 的值域。25xy2解： ，17(25)12255xyxx ， ，函数 的值域为 。70y1|2y5、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 、 、 均为常数，axbcdabcd且 ）的函数常用此法求解。0a例 5：求函数 的值域。21yx解：令 （ ） ，则 ，t0t2tx 当
3、 ，即 时， ，无最小2215()4ytt1t38xmax54y值。函数 的值域为 。x(,6、判别式法：把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有x(,)0Fxy实数根，判别式 ，从而求得原函数的值域，形如0（ 、 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。2112axbcya2例 6：求函数 的值域。231xy解：由 变形得 ，2x2()(1)30yxy当 时，此方程无解；当 时， ，1yR，2()4()30y解得 ，又 ，113y3函数 的值域为231xy1|3y7、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 7：求函数 的值域。2yx解：当 增
4、大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增1x12x大，函数 在定义域 上是增函数。2yx1(,2 ，函数 的值域为 。11yx1(,28、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例 8：求函数 的值域。21xy解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 ，对函数进行变形可R得， ， （ ， ） ，2(1)()yxy1y21yxx1y ， ， 函数 的值域为0y2x|19、图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。例 9：求函数 的值域。|3|5|yx解： ，2|8x(3)5x 的图像如图所示，|3|5|yx 8 5-3 oy x4由图像知：函数 的值域为|3|5|yx8,)以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。
