1、1.已知函数 f(x)=(4x+k2x+1)/(4x+2x+1) （1）若对任意的 xR，f(x)0恒成立，求实数 k 的取值范围（2）若 f(x)的最小值为-3，求实数 k 的值（3）若对任意实数 x1,x2,x3，均存在以 f(x1),f(x2),f(x3)为三边边长的三角形，求实数 k 的取值范围。1. 可设 2x=t t0 则令 f（x）0 对于 x 为 R 成立即为一个二次函数实根分布问题 有 k 大于-2 按第一小题的思路可化简 f（t ）=1+（k-1）/（t+1/t+1）用基本不等式可解出最值，再把-3 带入可得 k=-11 题意即为 f（x）最大值与最小值 min min m
2、ax 可组成三角形（1）f（x）=（4x+k2x+1）/（4x+2x+1） ）=（4x+（k-1）2x+2x+1）/（4x+2x+1）=1+ 【（k-1）2x/ （4x+2x+1）】 =1+【（k-1 ） /（2x+1+2 （-x）】0所以（k-1）/（2x+1+2（-x）-1；k-（2x+2（-x），且2x+2（-x ）=2（因为 2x0 且 2（-x）0），当且仅当2x=2（-x ）是取得等号所以 k-2（2）f（x）=（4x+k2x+1）/（4x+2x+1） ）=1+【（k-1）2x/（4x+2x+1）】=1+ 【（k-1）/ （2x+1+2（-x ） 】k1 时，令分母（2x+1+2（
3、-x ）最大时，f （x）最小，但（2x+1+2（-x）最大为无穷，不合题意；k1 时，令分母（2x+1+2（-x ）最小时，f （x）最小，所以分母应为 3，可得 1+【（k-1）/3 】=-3所以 k=-11（3）由题意 f（x1）-f（x3）f（x2）f （x1 ）+f（x3）且 f（x1），f（x2），f（x3）均大于零；f（x1）-f（x3）的最大值为 f（x）max-f（x）min；f（x1）+f（x3 ）的最小值为 2f（x）min；于是得 f（x）max-f（x）minf（x）2f （x）min；f（x）max-f（x）min=f （ x）min；f（x）max=2f（x）mi
4、n；由于 f（x）0，故，f（x） min 一定存在，故 f（x）max 一定存在；故 1+【（k-1）/（2x+1+2（-x）】存在最大值，故 k=1，此时f（x）max=1+（k-1）/3 ；f（x）min=1（因为分母 2x+1+2（-x ）可取无穷大，故 f（x）在 x 趋于无穷大时，趋于 1）于是，1+（k-1）/3 =2，即 k=4又因为已经知道 k=1所以 1=k=4已知函数 f（x）= （4x+k2x+1）/（4x+2x+1） （1）若对任意的xR，f（x）0 恒成立，求实数 k 的取值范围（2）若 f（x）的最小值为-3，求实数 k 的值（3 ）若对任意实数 x1，x2，x3
5、，均存在以 f（x1），f（x2），f（x3）为三边边长的三角形，求实数 k 的取值范围2. f 的任意 3 个函数值为边可构成三角形，即任意两个函数值 h（t1 ），h（t2）之和会大于第三个函数 值 h（t3），则只要满足 2h（t ）minh （t）max 即可1）.k-1 0 时，h （t）增函数，h（t）min=h（tmin）=h（2）=1+（k-1）/3；当 t时，h（t ）max 趋近于但小于 Lim h（t） =1，因为（k-1）/（t+1）0 恒成立；则，1+（k-1）/3 =1/2Lim h（t ）=1/2 ， 得 k=-1/2 ；加上前提条件 k1，则-1/2k12）.k
6、-1=0 时，h（t）=1 恒成立，构成等边三角形3）.k-1 0 时，h （t）减函数，则 h（t）max=h（tmin）=h（2）=1+（k-1 ）/3；当 t时，h（t ）min 趋近于但大于 Lim h（t ） =1，因为（k-1）/（t+1）0 恒成立；2h（t）minh （t）max，即 2Lim h（t）=h（t）max，2=1+（k-1）/3，则 k=4；加上前提条件则 1k=4综上所述，-1/2k=41）令 t=2x0， 则 f=（t2+kt+1）/（t2+t+1）= （t+k/2）2+1-k2/4/（ t2+t+1）因为分母 t2+t+10+0+1=1 ， 故分子需恒大于
7、0，k=0 时显然成立k0 时，因为 t0， 分子的最小值为当 t=-k/2 时取得，为 1-k2/4 0， 故有-2k0综合得：k-22） 同 1），t2+kt+1=ft2+ft+f（f-1）t2+t（f-k）+f-1=0delta=（f-k ）2-4（f-1）2=（2f-k-1）（1-k）=0 ， f 有最小值，则有 f=（k+1 ）/2， 1-k0故有（k+1）/2=3 ， 得：k=53）依题意，表明 f（x）恒大于 0，且其最大值 M 小于最小值 m 的 2 倍由 1）k-2 ， 由 2）f=（k+1）/2同时，（f-1）t2+t（f-k）+f-1=0 的两根积=1， 因此两根须都为正
8、根故两根和=-（f-k）/（f-1）0， 得： k1 时，1fk； 此时 m=（k+1 ）/2， M=k， 得：M2m， 符合-2k1 时， kf1； 此时 m=（k+1 ）/2， M=1， 得： M2m，符合k=1 时，f（x）=1， 也符合综合得：k-21）令 t=2x0， 则 f=（t2+kt+1）/（t2+t+1）= （t+k/2）2+1-k2/4/（ t2+t+1）因为分母 t2+t+10+0+1=1 ， 故分子需恒大于 0，k=0 时显然成立k0 时，因为 t0， 分子的最小值为当 t=-k/2 时取得，为 1-k2/4 0， 故有-2k0综合得：k-22） 同 1），t2+kt+
9、1=ft2+ft+f（f-1）t2+t（f-k）+f-1=0delta=（f-k ）2-4（f-1）2=（2f-k-1）（1-k）=0 ， f 有最小值，则有 f=（k+1 ）/2， 1-k0故有（k+1）/2=3 ， 得：k=53）依题意，表明 f（x）恒大于 0，且其最大值 M 小于最小值 m 的 2 倍由 1）k-2 ， 由 2）f=（k+1）/2同时，（f-1）t2+t（f-k）+f-1=0 的两根积=1， 因此两根须都为正根故两根和=-（f-k）/（f-1）0， 得： k1 时，1fk； 此时 m=（k+1 ）/2， M=k， 得：M2m， 符合-2k1 时， kf1； 此时 m=（
10、k+1 ）/2， M=1， 得： M2m，符合k=1 时，f（x）=1， 也符合综合得：k-22.设外接圆半径为 R，则：(cosB/sinC)*向量 AB+(cosC/sinB)*向量 AC=2m*向量 AO 可化为：(cosB/sinC)*(向量 OB-向量 OA)+(cosC/sinB)*(向量 OC-OA)=-2m*向量 OA （*）易知向量 OB 与 OA 的夹角为 2C，向量 OC 与 OA 的夹角为 2B，向量 OA与 OA 的夹角为 0，|向量 OA|=|向量 OB|向量 OC|=R则对(*)式左右分别与向量 OA 作数量积，可得：(cosB/sinC)*(向量 OB*向量 O
11、A向量 OA*向量 OA)+(cosC/sinB)*(向量 OC*向量 OA向量 OA*向量 OA)=2m*(向量 OA*向量 OA)即(cosB/sinC)*R2(cos2C -1)+(cosC/sinB)*R2(cos2B -1)=-2m*R22sin2C*cosB/sinC +2sin2B*cosC/sinB=2msinC*cosB+sinB*cosC=msin(B+C)=m因为 sinAsin-(B+C)=sin(B+C)且A=所以 m=sinA=sin已知函数设 f(x)=1+x-(x2)/2+(x3)/3-(x4)/4+.+(x2011)/2011已知函数 f(x)=1+x-(x2
12、)/2+(x3)/3-(x4)/4+.+(x2011)/2011,g(x)=1-x+(x2)/2-(x3)/3+(x4)/4-.-(x2011)/2011,设 F(x)=f(x+3)*g(x-3),且函数 F(x)的零点均在区间a,b(a0，若 x 不等于-1 ，则 f(x)=(1+x2011)/(1+x)0，所以f(x)在 R 上单调递增，f(-1)=-1/2-1/3-.-1/20110，所以 f(x)=0 有唯一实数解，解在区间(-1，0)上，所以 f(x+3)=0 的解在(-4， -3)上g(x)=-1+x-x2+x3-.-x2010=-f(x)0，f(2)=-1+(22/2-23/3)
13、+(24/4-25/5)+.(22010/2010-22011/2011) 注意到 n=2 时，2n/n-2(n+1)/(n+1)=(1-n)*2n/(n*(n+1)0，故而 f(2)0 从而 g(x)有唯一实数解，解在区间 (1，2)上，故 g(x-3)的实数解在(4,5)上综合上面的 f(x+3)*g(x-3)=0 的解在(-4 ，-3)并上(4，5)上 由于 a,b 为整数，故b-a 最小时 a=-4，b=5 ，b-a 最小值为 91.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（-1，1），P 是动点，且三角形 POA 的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA， （）求点 P 的轨迹
14、 C 的方程； （）若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点，且 ，直线 OP 与 QA 交于点 M，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足 SPQA=2SPAM？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。解：（）设点 P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由 得 ，整理得轨迹 C 的方程为 （ 且 ）。（）设 ，由 可知直线 PQOA，则 ，故 ，即 ，由 O、M 、P 三点共线可知， 与 共线， ，由（）知 ，故 ，同理，由 与 共线， ，即 ，由（）知 ，故 ，将 代入上式得 ，整理得 ，由 得 ，由 ，得到 ，因为 PQOA，所以 ，由 ，得 ，P 的坐标为（1 ，
15、1）。例 5、已知函数 f（x ）=lnx ，g（x）=e x， （）若函数 （x）= f（x）- ，求函数 （x ）的单调区间； （）设直线 l 为函数的图象上一点 A（x 0，f（x 0）处的切线证明：在区间（1，+）上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g（x ）相切。解：（） ， 且 ， ，函数 的单调递增区间为（0，1）和（1，+）。（） ， ，切线 l 的方程为 ，即 ， 设直线 l 与曲线 y=g（x）相切于点 ， ， ， ，直线 l 也为 ， 即 ， 由得 ， ，下证：在区间（1，+ ）上 存在且唯一，由（）可知， 在区间（1，+）上递增，又 ， ，结合零点存在性定理，
16、说明方程 必在区间 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 ；故结论成立。 4、对于函数 y=f（x），如果存在区间m，n，同时满足下列条件：f（x）在 m，n内是单调的；当定义域是m，n时，f（x ）的值域也是m，n则称m，n 是该函数的“和谐区间 ”若函数 f（x ）= a+1 a - 1 x (a0)存在“和谐区间”，则 a 的取值范围是（ ）A（0 ，1） B（0 ，2） C（ 1 2 ， 5 2 ） D（1，3）由题意可得函数 f（x）= a+1 a - 1 x (a0)在区间m，n是单调的，所以m，n （-，0）或m，n（0，+），则 f（m）=m，f （n）=n，故 m、n 是方程
17、a+1 a - 1 x =x 的两个同号的实数根，即方程 ax2-（a+1）x+a=0 有两个同号的实数根，注意到 mn= a a =10，故只需=（a+1）2-4a20，解得- 1 3 a1，结合 a0 ，可得 0a1故选 A5、对于区间m，n上有意义的两个函数 f（x ）与 g（x），如果对任意 xm，n均有|f（x）g（x）|1，则称 f（x）与 g（x）在m，n上是接近的；否则，称 f（x）与 g（x）在m ，n上是非接近的现有两个函数 f1（x ） =loga（x3a ）与（a0 且 a1），f1（x）与 f2（x）在给定区间a+2，a+3 上都有意义，（1）求 a 的取值范围；（2
18、）问 f1（x）与 f2（x ）在给定区间a+2，a+3上是否为接近的？请说明理由解：（1）要使 f1（x）与 f2（x）有意义，则有要使 f1（x）与 f2（x）在给定区间 a+2，a+3上都有意义，等价于：所以 0a1（2）f1（x）与 f2（x ）在给定区间a+2，a+3上是接近的，对于任意 xa+2，a+3恒成立设 h（x）= （x2a）2a2，xa+2 ，a+3 ，且其对称轴 x=2a2 在区间a+2，a+3 的左边所以，当时，f1 （x ）与 f2（x）在给定区间a+2，a+3上是接近的；当时，f1（x）与 f2（x）在给定区间 a+2，a+3上是非接近的7 已知曲线 E：x2=4y ，过 F(0,1）作两条互相垂直的直线分别交曲线于 A,B,C,D 四点，设弦 AB,CD 的中点分别为 M,N解：由题意，可设直线 AB 和 CD 的解析式为：y=kx+1,y=-1/kx+1，点 M、 N 的坐标分别为(xm,ym),(xn,yn)将 y=kx+1,y=-1/kx+1 分别代入 x=4y 得：x-4kx-4=0 和 x+4/kx-4=0，由根与系数关系得xm=2k,ym=2k+1；xn=-2/k,yn=2/k+1则 M(2k,2k+1)，N(-2/k,2/k+1)则直线 MN 的解析式为：y=(k-1/k)x+3它经过定点（0,3）
