1、数学高考综合能力题选讲 20曲线轨迹的探求100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质从这个角度来说，轨迹问题成为解析几何高考命题的重点和热点也就不足为奇了探求动点的轨迹，主要有以下方法：（1）定义法：若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线，则可利用曲线的定义得到结论（2）直接法：直接建立动点所满足的关系式，然后通过化简方程得出结论（3）间接法：又分为相关点法、参数法、交轨法等解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程范例选讲例 1 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称
2、轴，离心率为 ，且双52曲线上动点 P 到点 A（2，0）的最近距离为 1（）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在 y 轴上；（）求此双曲线的方程；（）设此双曲线的左右焦点分别是 ，Q 是双曲线右支上的动点，过12,F作 的平分线的垂线，求垂足 M 的轨迹1F2Q讲解：（）可考虑反证法证明：设双曲线的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，半焦距为 ，则由abca，得 ，所以， 52254ab12b假设存在满足条件且焦点在 y 轴上的双曲线，则其渐近线方程为 2yx在此条件之下，一方面，我们当然可以设双曲线方程为：，然后把 用 表示，利用 的最小值为 1，推出矛240yxmPAmPA盾而另一方面，是否有更
3、简捷的办法呢？由于在前面的解答过程中已经求出了双曲线的渐近线，不妨作大胆的猜想：“点 A 到渐近线的距离大于 1”经过验证，猜想正确（事实上，点 A（2，0）到渐近线的距离为）所以双曲线上动点到点 A 的距离都超过 1所以，不存在满足415d条件且焦点在 y 轴上的双曲线（）解：由（）可设双曲线的方程为： ，2104xyb则这个双曲线上任一点 到点 的距离为：,Pxy,0A 2222 25844PAxbxb ，(,)b若 ，则当 时， 有最小值，由 ，解得82585xPA2min415PAb（舍去）；21b若 ，则当 时， 有852xb最小值，由 ，解得min1PA；312b或 （ 舍 去 ）
4、双曲线的方程为：2419xy（）解：设点 M 的坐标为（x，y），延长 与 交于点 T，2QF1连接 OM QM 平分 ，且 QM12，1F ， 1QT1FMT又点 Q 是双曲线右支上的动点， 122QFTQFa ，2a ，OM即点 M 在以 O 为圆心， 为半径的圆上 当点 Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM 趋近于双曲线的渐近线， 点 M 的轨迹是圆弧 CBD，除去点 C,点 D.方程为：26593xyx点评：挖掘图形的几何性质，运用定义求轨迹是求动点轨迹的常用方法例 2如图，过点 A（ 1，0），斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C： y2=4x 交于 P， Q 两点 .（I）若曲线
5、 C 的焦点 F 与 P， Q， R 三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点 R 的轨迹方程；（II）设 P， Q 两点只在第一象限运动，（0，8）点与线段 PQ 中点的连线交 x 轴于点 N，当点 N 在 A 点右侧时，求 k 的取值范围.讲解：（I）要求点 R 的轨迹方程，注意到点 R 的运动是由直线 l 的运动所引起的，因此可以探求点 R 的横、纵坐标与直线 l 的斜率 k 的关系然而，点 R 与直线 l 并无直接联系与 l 有直接联系的是点 P、Q ，通过平行四边形将 P、Q 、R 这三点联系起来就成为解题的关键由已知 ，代入抛物线 C： y2=4x 的方程，消 x 得：:(1)l
6、ykx204k 、QClP直 线 交 抛 物 线 于 两 点 2041k解得 1k或设 ，M 是 PQ 的中点，则由韦达定理可知：12(,)(,)(,PxyQRxy12,yk将其代入直线 l 的 方程，得 21Mxky 四边形 PFQR 是平行四边形， 中点也是 中点 .RFPQ 243Mxky又 (1,0)(,k Mx 点 R 的轨迹方程为 .1),3(42xy（II）因为 P、 在第一象限，所以， ， 结合Q210yy2且 0k（I）得， )1,0(k点（0，8）与 PQ 中点所在直线方程为 令 y=0,得 N 点横82xky坐标为： 248Nkx因为 N 在点 A 右侧，令 ，得 解之得
7、 k0 或 1Nx2481k.841k 综合，得 k 的取值范围是 .点评：选择合适的桥梁，促成已知和未知之间的转化是解决问题的关键本题中的中点 M 就起到这样的作用实际上，转移点法中的 “转移”，参数法中的“参数”都表达了同样的意思高考真题1. （1995 年全国高考题）已知椭圆，直线 P2xy146x :128ylO PQR xyl是 上一点，射线 OP 交椭圆于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足l|OQ|OP|=|OR|2当点 P 在直线 l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.2. （1999 年全国高考题）如图，给出定点和直线 是直线 上的动0,aABxl.1:l点， 的角平分线交 于点 求点 的BOAC轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 值的a关系3（2001 年上海春季高考）已知椭圆 的C方程为 ，点 的坐标满足12yx),(baP过点 的直线 与椭圆交于 、2balA两点，点 为线段 的中点，求：BQAB（1）点 的轨迹方程；（2）点 的轨迹与坐标轴的交点的个数答案与提示：1 221153xy； 2 ； 3(1),0,xy220axayxa 点 Q 的轨迹方程为 ； （2）略 by
