1、1第 1 讲: 几个易错易混易忘数学问题分析例 1:设 2|850Ax， |10Bxa，若 AB，求实数 a 组成的集合的子集有多少个？易错点分析：此题由条件 A易知 ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。解析：集合 A 化简得 3,5，由 B知 A，故（）当 B时，即方程 10x无解，此时 a=0 符合已知条件（）当 时，即方程 a的解为 3 或 5，代入得 13a或 5。综上满足条件的 a 组成的集合为 0,5，故其子集共有 328个。练习 1:已知集合 2|4Ax、 2|10Bxax，若 BA，则实数a 的取值范围是 。答
2、案： 1a或 。例 2、已知 214yx,求 2xy的取值范围.易错点分析：此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、 y 满足 214y这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。解析：由于2，得( x+2)2=1- 4y1，-3 x-1，从而 x2+y2=-3x2-16x-12=+ 328，因此当 x=-1 时 x2+y2有最小值 1, 当 x=- 38时，x 2+y2有最大值 38。故 x2+y2的取值范围是1, 例 3、 21xaf是 R 上的奇函数， （1）求 a 的值， （2）求的反函数 1fx易错点分析：求解已知函数的反函数时
3、，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用 0fxf（或 0f） ，求得 a=1.2（2）由 1a，即 21xf，设 yfx,则 21xy，由于 y，故 x，12logy，而xf 21,x，所以 112logxf例 4:已知函数 ()(,fxab为常数）,且方程 ()120fx有两个实根为 123,4.x（1）求函数 f的解析式； （2）设 1k,解关于 的不等式： ()kfx解（1）将 得024,3221 xbax分 别 代 入 方 程 ).()(,184692xfba所 以解 得（2）不等式即为 02)1(,2)(2 xkxkx可 化 为即 .0)(1)(kx当 ).
4、,(,2x解 集 为当 );,2(),101)2( xk 解 集 为不 等 式 为时 .,kx解 集 为时当例 5、已知函数 22lg35fmxmx （1）如果函数 x的定义域为 R,求实数 m 的取值范围。（2）如果函数 f的值域为 R,求实数 m 的取值范围。易错点分析：此题学生易忽视对 23是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为 R 和值域为 R 的含义理解不透彻导致错解。解：（1）据题意知若函数的定义域为 R 即对任意的 x 值 22315mxx0恒成立，令 22315gxmxm，当 =0 时，即 或 。经验证当 1时适合，当 30时，据二次函数知识若对任
5、意 x 值函数值大于零恒成3立，只需230m解之得 1m或 94，综上所知 m 的取值范围为 或 。（2）如果函数 fx的值域为 R 即对数的真数 22315xmx能取到任意的正数，令 22315gmx当 =0 时，即 或 2。经验证当 时适合，当 0时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需20m解之得 94，综上可知满足题意的 m 的取值范围是 2。例 6、已知二次函数 ()fx满足 (1)0f，且 21()xfx对一切实数 x恒成立. (1)求 f； (2)求 f的解析式； (3)求证： 1()nifk().nN易错点分析：对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次
6、不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。解：（1）由已知令 1x得： 2(1)1f().f（2）令 2()0fabc由 ,0f得： 01abc,bc即 2()fxa则 2()xfx对任意实数 x恒成立就是 210()a对任意实数恒成立，即： 2120,()04a1,4c 则21()4fxx（3）由（2）知 21()4f 故 214()(1)2)fkk1()2k1()3nifkn n故原不等式成立例 7、记 2fxabxc，若不等式40fx的解集为 1,3，试解关于 t 的不等式 28ftft。易错点分析：此题虽然不能求出 a,b,c 的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知 1
7、,3是方程 2abc的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在 2,上是增函数。解：由题意知 1213fxaxax，且 0故二次函数在区间 ,上是增函数。又因为 28,tt，故由二次函数的单调性知不等式 28ftft等价于 28tt即 260t故 3t即不等式的解为： 3。例 8、设无穷等差数列a n的前 n 项和为 Sn.()若首项 1a，公差 1d，求满足 2)(2k的正整数 k；32()求所有的无穷等差数列a n，使得对于一切正整数 k 都有 2)(2kS成立.易错点分析：本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第()时极易根据条件“对于一切
8、正整数 k 都有 2)(2kS成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。解：（I）当 1,231da时， nndnaSn 21 1)(23)(由 24)( kkSk得 ，即 04k 又 ,0所 以 .（II）设数列 an的公差为 d，则在 2)(2nS中分别取 k=1,2,得 211241 )(34,)( daS即由（1）得 .01a或当 ,6(, da或得代 入时若 21 )(,0,knSSd从 而则 成立 ,若 知由则 163,18)6,3 n,)(239Ss（1
9、）（2）5故所得数列不符合题意.当 20,)2(64)2(,1 dda 或解 得得代 入时若 ;,102成 立从 而则 knSSad若 成 立从 而则 21 )(,)1(3, nSn .综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列：a n : an=0，即 0，0，0，；a n : an=1，即 1，1，1，；a n : an=2n1，即 1，3，5，例 9、1、已知在 ABC 中，sinA （ sinBcosB ） sinC0，sinBcos2C0，求角 A、 B、 C 的大小.2、在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 .2coscabCB （）求角 B 的大小 （）若 4
10、,13ab，求ABC 的面积.易错点分析：本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思维受阻或解答出现增解现象。解法一 由 0sin)co(sinCA得 .0)sin(cosinsi BABA所以 .0coB即 cos因为 ),0(B所以 si，从而 .si由 ),(知 .4从而、43C.由 .)43(2csin02conBC得 即.si2sinB亦 即由此得 .125,3,1osC所以 ,A.15,3B解法二：由 ).23sin(2cosin0cosi CC得由 0、 ，所以 3B或 即 .223BC或由 0si)c(sinBA得 0)sin(cosisi
11、ABA所以 .0ncon即 .)os(is因为 si，所以 si由 4),0A知 从而 43CB，知 B+2C= 23不合要求.再由 21BC，得 .125,所以 ,A.125,CB2.思维分析根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。（）解法一：由正弦定理 RCcBbAasinsi得 .sin,si,sinCRcba将上式代入已知 .i2o2oCA得6即 .0sincosincosi2BCBA .0)sin(cosi2CBA故 A+B+C=， .0.)( A.21cs,0sin为三角形的内角， 3. 解法二：由余弦定理得 bcaCacbB2os,o将上式代入 .cs2cC
12、得整理得 .22cbaBaB1cos为三角形的内角， 32B. （）将 3,4,13b代入余弦定理 acbos22得.).1(6,cos2)(22 cac.4sinBSABC例 10、设 )2,(),0(),(),sin,c1(),c1( cb ， a与 c的夹角为 1 b与 的夹角为 2，且 232求 的值.易错点分析：此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。解： ),2sin,(cos2)cosin2,cos( aib i(0,)(,)(0,)(,)2故有： |2cosa|sinb 21coscos
13、|a1,222icssi,|nbc0,22因 62,21，从而 .16sinsi练习：已知向量 (cos,in)m和 in,co,2，且 82,5m求7cos28的值. 解法一： (cosin2,cosin),mn 2)(42(cosin4cos()1cos()4由已知 ，得 奎 屯王 新 敞新 疆 又85mn7()252()()148所以 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆216cos()9,84cos5解法二： 22nn2|mn2(cosi)(si)cos)cs(2in)sico 4si41(48由已知 ，得 ，825mn|cos)|5592,88 奎 屯王 新 敞新 疆cos
14、()0(8例 11、ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 3 4 5 = 。 OA OB OC 0求数量积， ， ， ；求 ABC 的面积。 OA OB OB OC OC OA思维分析：第 1 由题意可知 3 、4 、5 三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量 OA OB OC移项平方即可。第 2 问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。解析：| |=| |=| |=1 由 3 4 5 = 得：3 4 =5 OA OB OC OA OB OC 0 OA OB OC两边平方得：9 224 16 2=25 2 =0 OA OA OB OB OC OA OB同理：
15、由 4 5 =3 求得 = OB OC OA OB OC 45由 3 5 =4 求得 = OA OC OB OA OC 35由 =0,故 0s= | | |= OA OB 12 OA OB12由 = 得 cosBOC= OB OC 45 45sinBOC= 0BCs= | | |sinBOC= ，35 12 OB OC 3108由 = 得 cosCOA= OC OA 35 35sinCOA= 0ACs= | | |sinCOA=45 12 OC OA 25即 ABCs= 0 B= =12 310 2565练习：（1） （2005 全国卷）ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a,b,c
16、，已知 a,b,c 成等比数列，且 cosB 34。 （1）求 cotA+cotC 的值；（2）设 32，求 c的值。解：（）由 ,47)3(1sin,co得由 b2=ac 及正弦定理得 .sin2AB于是 BCAACCA 2sin)(sincoicotat .74sin1i2B（）由 .,2,43cos,2cs23 bcaB即可 得由得由余弦定理：b 2=a2+c22accosB 得 a2+c2=b2+2accosB=5.,945)(2 ca例 12、已知二次函数 f(x)对任意 xR ，都有 f(1 x)=f(1 x)成立，设向量 =(sinx,2)， =(2sinx, )， a b 12
17、=(cos2x,1)， =(1,2)，当 x0, 时，求不等式 f( ) f( )的解集. c d a b c d易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。解：设 f(x)的二次项系数为 m，其图象上的两点为 A(1x,y 1)、B(1x,y 2)，因为 =1，f(1x)=f(1x) ，(1 x) (1 x)2所以 y1=y2 由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称，若 m0，则 x1 时，f(x)是增函数；若 m0，则 x1 时，f(x)是减函数。 =（sinx，2）（2sinx, ）=2sin 2x11， =（cos2x，1）(1,2)=cos2x21 a b 12 c d当 m0 时，f( )f( )f(2sin2x1)f(cos2x2) a b c d2sin2x1cos2x21cos2x1cos2x2cos2x02k 2x2k 3,kzk 4x k ,k z90x 4 x 3当 m0 时，同理可得 0x 或 x综上所述，不等式 f( )f( )的解集是：当 m0 时，为x| 4x 3； a b c d当 m0 时，为x|0x 或 4x。
