1、第 2 节 消元第一课时 代入消元法（1）要点突破一、代入法解二元一次方程组由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。代入法解二元一次方程组需要注意以下几点：正确用代入法解二元一次方程组的一般步骤；从方程组中选一个系数比较简单的方程变形；求得的两个未知数的值要用大括号括起来。二、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有 x（或 y）的代数式表示y（或 x） ，即变成 yaxb（或 xayb）的形式。将 yaxb（或 xayb）代入另一个方程中，消去 y（或
2、x）得到一个关于关于x（或 y）的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出 x（或 y）的值；把求得的 x（或 y）的值代入 yaxb（或 xayb）中，求出 y（或 x）的值。把求得的 x，y 的值用“”联立起来，就是方程组的解。典例剖析：例 （2007年南京市）解方程组 425xy思路探索：由xy4变形得y4x，把代入求得x的值。解析：由得：y4x把代入得： (4)x解得：x3把x3代入得：y1这个方程组的解为 1y规律总结：利用代入法解二元一次方程组的一般步骤：1选择一个系数比较简单的二元一次方程，把这个方程化成 （或 ）ykxbkyb的形式。2将 （或 ）代入另一个方程，得到一个关于x（
3、或y）的一元一次方ykxbkb程，解这个一元一次方程，求出x（或y）的值。3将求得的x（或y）的值代入 （或 ）中，求出另一个未知数。xkyb课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题 5 分，共 30 分）1、已知 ，用含 x 的式子表示 y _，用含有 y 的代数式表示35xyx_.2、方程 的一个解中 ，那么这个解中，y_.532xy2x3、若方程 的解也是方程 的解，则 x_，y_.1354、用代入消元法解方程组 可以消去未知数_，把_代入_.27yx5、若 是方程 的解，则 k _。3125xky366、若 是方程组 的解，则 m_，n_.71mxny二、耐心选一选，你会开心（每题 5
4、 分，共 30 分）7、下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单，321xy正确的是（ ）A、由，得 ，把代入，得23yx3yB、由，得 ，把代入，得12()xC、由，得 ，把代入，得12yD、由代入，得 （把 3x 看作一个整体）y8、对于方程 3x2y50，用含 y 的代数式表示 x，应是（ ）A、y6x10 B、 C、 D、325x1(25)3y615xy9、若 ，则 的值是（ ）30x2A、14 B、4 C、12 D、1210、已知 x3y0，则 的值为（ ）32yxA、 B、 C、3 D、313111、若方程组 的解 x 与 y 相等，则 a 的值等于（ ）43()xyaA、4 B、1
5、0 C、11 D、1212、已知 是方程组 的解，则 a，b 间的关系是（ ）2xy12cxbyA、 B、 C、 D、491ba321ab491ba491ba三、细心做一做，你会成功（共 40 分）13、用代入法解下列方程组（1） （2）37xy 41yx=314、用代入法解下列方程组（1） （2）23xy 45(1)()xy-15、已知 是方程组 的解，求 a，b 的值.21xy431axyb16、已知 xy30，xy20，求 的值.21(3)75xy第二课时 代入消元法（2）要点突破本节课继续学习代入消元法，代入消元法的第一步是选一个系数比较简单的方程，怎么的方程才是系数比较简单的方程，并
6、不是系数越小，要根据具体问题具体讨论，如这个方程中 x 的系数成倍数关系，我们就应该把第一方程直接代入第二个方28354xy程。学习了本节课的内容，你还能发现许多巧妙的代入方法。典例剖析：例1：解方程组 5613()782xy思路探索：本题如果直接使用代入法解题，计算过程较繁琐，仔细观察题目我们可以发现两个方程中y的系数正好呈倍数关系，因此我们可以把6y看作一个整体代入（2）式。解析：由方程（1） ，得 6135yx把代入方程，得 。整理，得7()1840x 52xy规律总结：本题是将6y作为一个整体代入方程（2） ，这种方法叫整体代入法。整体代入法适合两个方程中有呈倍数关系的的方程组，是解方
7、程或方程组常常采取的一种方法。 例 2：（2007 上海市）2001 年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为 269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了 2003 年、2007 年相关数据已知 2007 年药品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍，结合表中信息，求 2003年和 2007 年的药品降价金额年份 2001 2003 2004 2005 2007降价金额（亿元） 54 35 40思路探索： 我们可以设表中缺失的两个数据为x、y，根据题目中提供的两个相等关系“已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍” “累计降价的总金额为2
8、69亿元”列出两个二元一次方程，从而得出一个二元一次方程组。解析：设 2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 亿元、 亿元 xy根据题意，得 5430269yxy解方程组，得 21y答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元规律总结：列二元一次方程组解决实际问题，设出两个未知数，根据题目中的两个相等关系，列出一个二元一次方程组，解这个二元一次方程组。 课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题 5 分，共 30 分）1、在式子 中，当 x5，y1 时，这个式子的值为 0；当 x3，y5 时，它的mxn值是 28，则 m_，n_.2、已知方程组 与 的解相同，则
9、a_，b_。35471xy46axby3、已知 a3b2ab151，则 的值为_。2234、若关于 x、y 的二元一次方程组 的解 x 与 y 的差是 7，则 k_。351xyk5、若 x 时，关于 x、y 的二元一次方程组 的解，x、y 互为倒数，则122aba2b_。6、把一个长方形的长减少 4cm，宽增加 2cm，得到一个正方形，它的面积与原长方形的面积相等，则原来长方形的长为_，宽为_。二、耐心选一选，你会开心（每题 5 分，共 20 分）7、解方程组 的最好方法是（ ）3476(1)902mnA、由（1）得 ，再代入（2） B、由（2）得 ，再代入（1）2509nmC、由（1）得 ，
10、再代入（2） D、由（2）得 ，再代入（1）374n8、已知 和 都是方程 的解，则（ ）xy1yaxbA、 B、 C、 D、125ab23ab12b12ab9、已知甲、乙两人的收入之比为 32，支出之比为 74，一年后，两人各余 400 元，若甲的收入为 x 元，支出为 y 元，可列出的方程组为（ ）A、 B、 C、 D、40273y40327x40237xy 40273xy10、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的。驴子抱怨负担太重，骡子 说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那
11、么驴子原来所托货物的袋数是（ ）A5 B6 C7 D8三、细心做一做，你会成功（共 50 分）11、已知方程 的解为 及 ，求 3m7n 的值.10mxny12xy12、解方程：（1） （2） （3）3214)(5)xy（ ） （ ）（4517xy 52xy13、已知方程组 有正整数解，求 k 的值.6293xyk14、解方程组：23(2)145()40xy15、开学后书店向学校推销两种素质教育图书，如果按原价买这两种书共需 880 元，书店推销时，第一种书打了八折，第二中书打了七五折，结果两种书共少用了 200 元。那么这两种书的原价各是多少元？第三课时 消元（3）要点突破一、加减消元法通过
12、加减达到消元目的，从而求得方程组的解的方法叫做加减消元法。加减消元法的理论依据是：等量加等量，和相等；等量减等量，差相等；互为相反数两数相加得 0。二、什么时候可以运用加减消元法当方程组中两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，我们就可以运用加减消元法，运用时我们只需将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，注意：正确用加减法解二元一次方程组的一般步骤；求解不完整，只求一个未知数的值；方程两边同乘以一个不等于零的数，容易出现漏项。运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程同一个未知数的系数，如果系数相等，那就将这两个方程直接相减；如果系数互为相反数，则
13、将两个方程相加，就可以消去该未知数。典例剖析：例 :（2007 年长春）方程组 的解是（ ）3421xy，A、 B、 C、 D、1xy1yy21xy思路探索：观察方程组，我们可以发现y的系数分别是3和3，它们是一对互为相反数，我们将方程和方程相加就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。解析：得：3x3x1把x1代入方程代入方程13y4y1解得： 规律总结：当二元一次方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，这时我们可以将两个方程通过相加或相减达到消元的目的。课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题 5 分，共 30 分）1、方程组 中，x 系数的特点是_，方程组 中，y2315y 548
14、76x的系数的特点是_，这两个方程组 用_消元法解较方便。2、用加减法解方程组295xy解：，得_，即_.，得_，即_.所以方程组的解为_.3、用加减法解方程组 可将方程两边同乘以_，再与方程相278xy_。4、方程组 的解_（填“是”或“不是” ）方程 的一个解。1325yx 321xy5、若 和 能同时成立，则 a_，b_。234ab5a6、一个两位数的十位数与个位数的和是 9，如果这个两位数加上 27，那么恰好成为个位数与十位数对调后组成的两位数，求原来的两位数为_。二、耐心选一选，你会开心（每题 5 分，共 30 分）7、用加减法解方程组 时，得（ ）238xyA、 B、 C、 D、5
15、y1 12y 58y8、已知 ，那么 的值是（ ）278xxyA、1 B、0 C、1 D、29、方程组 将23 得（ ）36254xy A、3y2 B、4y10 C、y0 D、7y1010、关于 x、y 的二元一次方程组 的解是二元一次方程 的一个24xya35280xy解，则 a( )A、3 B、2 C、7 D、611、若方程组 的解中 x 与 y 相等，则 k 的值为（ ）3xykA、1 B、 C、 D、122312、已知方程组 的解是 ，则 m，n 的关系是（ ）3mxayn4xyA、 B、 C、 D、1651616 165mn三、细心做一做，你会成功（共 40 分）13、用加减消元法解
16、方程组（1） （2）231xy 230.8xy（3） （4）2(1)4xyx 2325()()6xyxy14、甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错 C，解得23AxByC1xy.求 A、B、C 的值。26xy15、若方程组 与 有公共解，求 、 的值.451xyab39418xyabab16、下面给出的三个方程组 ， 及 的解相同吗？234567xy234xy59678xy你能得出什么结论？将上述三方程组推导为一般形式，并证明你的结论。第四课时 消元（4）要点突破一、加减消元法的一般步骤：（1）根据“方程两边都乘（或除以）同一个不等于 0 的数，所得方程与原方程是同解方程”的原理，将
17、原方程组化成有一个未知数的系数的绝对值相等的形式，即同一个未知数的系数相等或互为相反数。（2）根据“方程两边都加上（或减去）同一个数，所得方程与原来方程是同解方程”的原理，将变形后的两个方程相加（或相减） ，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。（5）将两个未知数的值用“”合写在一起。注意：事实上，所有的二元一次方程都可以用“代入法”解，也都可以用“加减法”解。但是，通过比较，我们发现对于同一个方程组，用两种方法解有“繁” 、 “简”之别。所以，我们应该根据方程组的结构特点，选择最优方法。典例剖析：例 解方程组312xy方法1：（代入法）由得 3xy把代入得 ， 解得：y2123y314把y 代入得， 14 7314xy方法2：（加减法）原方程组可化为： 41320xy 则2得:7x1，解得 ，把 ，代入式得：71x，解得：y4714 314xy
